Методическое пособие 826

Научный журнал строительства и архитектуры

10

СТРОИТЕЛЬНЫЕ КОНСТРУКЦИИ, ЗДАНИЯ И СООРУЖЕНИЯ

DOI 0.25987/VSTU.2019.56.4.001

УДК 624.012.45

РАСЧЕТНЫЕ МОДЕЛИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ С ПРОСТРАНСТВЕННЫМИ ТРЕЩИНАМИ

В. С. Федоров 1, Вл. И. Колчунов 2, А. А. Покусаев 3, Н. В. Наумов 4

1Академик РААСН, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой строительных конструкций, зданий и сооружений, e-mail: fvs_skzs@mail.ru

2Д-р техн. наук, проф. кафедры уникальных зданий и сооружений, e-mail: vlik52@mail.ru

3Аспирант кафедры строительных конструкций, зданий и сооружений

4Аспирант кафедры уникальных зданий и сооружений, e-mail: lich1992@hotmail.com

Постановка задачи. Предлагается модель деформирования железобетонных конструкций с пространственными трещинами.

Результаты. Приведены рабочие предпосылки и выведены определяющие уравнения модели сопротивления железобетонных конструкций кручению с изгибом.

Выводы. Рассмотрены способы расчета сопротивления железобетонных конструкций, а также расчета расстояния между пространственными трещинами и ширины их раскрытия при совместном действии изгибающего момента, крутящего момента и поперечной силы во второй стадии на- пряженно-деформированного состояния для двух случаев (случай 1 — при появлении пространственных трещин первого типа на нижней грани железобетонной конструкции, случай 2 — при появлении пространственных трещин первого типа на боковой грани железобетонной конструкции).

Ключевые слова: методика расчета, кручение с изгибом, напряженно-деформированное состояние, железобетонные конструкции, пространственная трещина.

Введение. Сопротивление железобетонных конструкций по пространственным сечениям рассматривается как сложное в том случае, если на конструкцию, помимо изгибающих моментов, поперечных сил, действуют крутящие моменты. При действии крутящих моментов в железобетонной конструкции образуется спиральная трещина, которая в пределах трех граней элемента вместе с замыкающей ее сжатой зоной по четвертой грани образует пространственное сечение.

Построение расчетных моделей сложного сопротивления кручению с изгибом становится все более актуальным [1, 2], во-первых, потому, что таких исследований проведено сравнительно мало [3—10], во-вторых, оно вызвано назревшей необходимостью учета пространственной работы подавляющего большинства железобетонных конструкций все более оригинальных зданий и сооружений, существенно изменяющих архитектурный облик современных городов [13—15]; в-третьих, становится уже общепризнанным постулатом, что нет ничего практичнее хорошей теории их расчета [16—23].

© Федоров В. С., Колчунов Вл. И., Покусаев А. А., Наумов Н. В., 2019

11

Научный журнал строительства и архитектуры

Вдействующих нормах [12] для расчета работы конструкций при кручении с изгибом применяются весьма громоздкие формулы. Несмотря на это, нормы не учитывают влияния сложного напряженного состояния на величину предельных напряжений в сжатом бетоне — Rb. Из-за этого теряется не только инженерная обозримость решения, но и его необходимая точность.

Встатье А. С. Залесова [8] сделан заметный шаг вперед — уравнения равновесия для рассматриваемой задачи записываются применительно к поперечной и продольной вертикальным плоскостям, что значительно упрощает расчетные формулы по сравнению с нормативными; учитываются осевые усилия в поперечной арматуре, расположенной у боковых граней элемента (в нормах же учитываются только усилия в арматуре, расположенной

уграни, противоположной той, у которой находится сжатая зона). Однако используемые здесь уравнения деформирования пространственного сечения и замена этого сечения упрощенным диагональным не находят подтверждения в целом ряде экспериментов. Принятие продольных напряжений в бетоне сжатой зоны, равных Rb, не имеет соответствующего обоснования для сложного напряженного состояния этой зоны; при определении проекции опасной пространственной трещины не используется условие минимума функции многих переменных и т. п.

Вданной статье авторами предлагается способ расчета, лишенный отмеченных недостатков.

1. Рабочие предпосылки модели сопротивления железобетонных конструкций кручению с изгибом. В основу построения предложенного способа положены следующие расчетные предпосылки:

образование пространственной трещины на нижней грани железобетонного элемента происходит перпендикулярно направлению главных деформаций удлинения бетона, а расположение конца фронта пространственной трещины у сжатой грани железобетонного элемента совпадает с направлением главных деформаций укорочения бетона — таким образом, пространственная трещина имеет спиралеобразную форму с тремя возможными схемами расположения сжатой зоны (рис. 1);

в качестве расчетной принимается схема, состоящая из приопорного блока, образуемого пространственной трещиной и вертикальным сечением, проходящим через конец фронта этой трещины в сжатом бетоне, и второго блока, образуемого вертикальным сечением, проходящим перпендикулярно продольной оси железобетонного элемента по краю пространственной трещины (рис. 1);

в качестве расчетных усилий в пространственном сечении учитываются: нормальные и касательные усилия в бетоне сжатой зоны; составляющие осевых усилий в арматуре, расположенной у грани, противоположной той, у которой находится сжатая зона; составляющие осевых усилий в поперечной арматуре, расположенной у боковых граней железобетонного элемента;

для средних фибровых деформаций сжатого бетона и растянутой арматуры в сечении I−I считается справедливой гипотеза их пропорциональности высотам сжатой и растянутой зон сечения;

связь междуинтенсивностьюдеформацийεі и интенсивностьюнапряженийσі бетона. При решении прямой инженерной задачи между внешними воздействиями всегда зада-

но их соотношение (Q: M: T). Таким образом, определив одно из них, например, опорную реакцию Rsup, легко отыскиваются остальные воздействия, например, M и T.

Из условий равновесия в сечении I−I и в пространственном сечении отыскиваются следующие расчетные параметры (рис. 1): предельная опорная реакция Rsup; высота сжатой зоны x в сечении I—I; напряжения в продольной арматуре σs в месте пересечения ее с пространственной трещиной; высота сжатой зоны бетона xв в вертикальной плоскости, проходящей через конец фронта пространственной трещины; погонное усилие в поперечной арматуре, рас-

12

положенной у боковых граней пространственного сечения qsw,Q, вызываемое поперечной силой; погонное усилие в поперечной арматуре, расположенной у боковых граней пространственного сечения qsw,T, вызываемое крутящим моментом; погонное усилие в поперечной арматуре, расположенной у нижней грани пространственного сечения qsw,σ, вызываемое крутящим моментом.

Рис. 1. Расчетная схема сопротивления железобетонной конструкции при совместном действии изгибающего момента, крутящего момента и поперечной силы (случай 1):

— сжатая зона пространственного сечения; — сжатая зона сечения I−I

Касательное напряжение τQ и касательное напряжение кручения в сжатом бетоне τT определяются путем проецирования диаграммы σі−εі на плоскость τ−γ (с учетом распределения пропорционально отношению Q: T) и на плоскость I−I и проецированием составляющих напряжений плоскости k на плоскость, перпендикулярную продольной оси железобетонного элемента.

Для построения расчетных уравнений отделим от железобетонного элемента с помощью метода сечений два блока (рис. 1). Первый блок отделяем поперечным сечением I−I, проходящим в конце пространственной трещины. Этот блок находится в равновесии под действием внешних усилий.

2. Определяющие уравнения модели сопротивления железобетонных конструкций кручению с изгибом. Из уравнения равновесия моментов внутренних и внешних сил в этом I—I сечении по отношению к оси z относительно точки приложения равнодействующей усилий в растянутой арматуре (∑MO,I = 0) получим:

где ϕy(хb, х) — статико-геометрический параметр, учитывающий расположение центра тяжести сжатой зоны бетона в сечении I—I (на участке хb эпюра сжимающих напряжений прямоугольная, на участке х−хb — треугольная); Rsup — опорная реакция в первом блоке (рис. 1), (для второй группы предельных состояний этот параметр известен); а — расстояние по горизонтали от опоры до сечения I—I. Из этого уравнения отыскивается неизвестное σb,І.

Следует заметить, что для предельных состояний второй группы опорная реакция в первом блоке Rsup является известным параметром. В дальнейшем нам понадобится аналогичный параметр в момент образования первой пространственной трещины, Rsup,crc, который известен из решения задачи образования пространственных трещин.

13

Научный журнал строительства и архитектуры

Из уравнения равновесия проекций всех сил, действующих в сечении I−I на ось x, находим высоту сжатой зоны бетона x в этом сечении (∑X = 0;):

где ϕпр(σі, εі) — параметр, учитывающий проецирование диаграммы σі−εі на направление, перпендикулярное плоскости k (рис. 1); ϕα — параметр, учитывающий проецирование составляющих напряжений в плоскости k на плоскость I—I, перпендикулярную продольной оси железобетонного элемента; ϕy,1(хb, х) — параметр, равный с точностью до числового коэффициента параметруϕy(хb, х).

Из уравнения равновесия моментов внутренних и внешних сил, действующих в сечении I—I относительно оси, перпендикулярной к этому сечению и проходящей через точку приложения равнодействующей усилий в сжатой зоне (Tb,I = 0), получим:

где τT — касательное напряжение кручения в сжатом бетоне, определяемое проецированием диаграммы σі−εі на плоскость τ−γ и на плоскость I−I и распределяемое пропорционально отношению Q: T.

Из этого уравнения определяем неизвестное Т (для первой группы предельных состояний), а если Т задано через соотношение Rsup: T и при рассмотрении второй группы предельных состояний, это уравнение используется для определения τT.

При этом проверяется условие:

где τT,pl — касательное напряжение кручения в сжатом бетоне (с учетом отношения Q: T), соответствующее максимальному на диаграмме σі−εі. Если условие (4) не выполняется, тогда τT полагается равным τT,pl, а из преобразованного уравнения (3) отыскивается параметр ypl (рис. 1):

где σ0 — предварительные напряжения в напрягаемой арматуре в момент снижения величины предварительного напряжения в бетоне до нуля воздействием на конструкцию внешних сил с учетом потерь предварительного напряжения в напрягаемой арматуре, соответствующих рассматриваемой стадии работы конструкции.

При этом необходима проверка условия:

Если условие (7) не выполняется, то σs,і полагается равным Rs.

Второй приопорный блок отделяем от железобетонного элемента пространственным сечением, образуемым спиралеобразной трещиной и вертикальным сечением, проходящим по сжатой зоне бетона через конец фронта пространственной трещины.

Равновесие этого блока обеспечивается выполнением следующих условий.

Сумма моментов всех внутренних и внешних сил, действующих в вертикальной продольной плоскости относительно оси z, проходящей через точку приложения равнодействующей усилий в сжатой зоне, равна нулю (∑Mb = 0, блок II):

14

где аm,b — расстояние по горизонтали от опоры до центра тяжести сжатой зоны бетона в сечении k.

Следует заметить, что в этом уравнении моменты

c2

qsw, T 8 ,

возникающие на боковых гранях от продольных усилий в поперечной арматуре, взаимно уравновешиваются относительно точки B. Это же следует отнести к моментам, вызываемым «нагельными» составляющими в продольной арматуре [11]. Из уравнения (8) определяется неизвестное σs.

Здесь необходимо также сделать оговорку по поводу параметра σb (напряжения в сжатом бетоне сечения k, рис. 1). Этот параметр определяется из уравнения равновесия моментов внутренних и внешних сил в пространственном сечении по отношению к оси z относительно точки ОК приложения равнодействующей усилий (сечение k, рис. 1) в сжатом бетоне (∑MО,К = 0); получим:

где аm,S — расстояние по горизонтали от опоры до центра тяжести всей продольной арматуры в сечении k. Из уравнения (9) определяется неизвестное σb.

Сумма проекций всех сил, действующих в пространственном сечении на ось x равна нулю (∑X = 0, блок II):

где ϕα(c) — параметр, равный с точностью до числового коэффициента параметру ϕα; q2sw — погонное »нагельное» усилие в хомутах [11], возникающее на боковых гранях железобетонного элемента (на рис. 1 условно не показано). Из уравнения (10) отыскивается неизвестноеxb.

Сумма проекций всех сил, действующих в пространственном сечении на ось y, равна нулю (∑Y = 0, блок II):

где τQ — касательное напряжение в сжатом бетоне, определяемое проецированием диаграммы σі−εі на плоскость τ−γ (с учетом распределения пропорционально отношению Q: T) и проецированием составляющих напряжений плоскости k на плоскость, перпендикулярную продольной оси железобетонного элемента; qsw,Q — погонное усилие в хомутах, возникающее на боковых гранях железобетонного элемента от поперечной силы Q (рис. 1); Qs — «нагельные» усилия в продольной арматуре [11] (на рис. 1 не показано). Из уравнения (11) отыскивается неизвестное qsw,Q.

Сумма моментов внутренних и внешних сил в вертикальной поперечной плоскости относительно оси x, проходящей через точку приложения равнодействующей усилий в сжатой зоне, равна нулю (∑Tb = 0, блок II):

где τT — касательное напряжение, вызванное кручением в сжатом бетоне, определяемое проецированием диаграммы σі−εі на плоскость τ−γ (с учетом распределения пропорционально отношению Q: T) и проецированием составляющих напряжений плоскости k на плоскость, перпендикулярную продольной оси железобетонного элемента; — коэффициент наполне-

15

Научный журнал строительства и архитектуры

ния эпюры касательных напряжений кручения в сжатом бетоне; qsw,Т — погонное усилие в хомутах, возникающее на боковых гранях железобетонного элемента от крутящего момента Т (рис. 1, а); qsw,σ — погонное усилие в хомутах, возникающее на нижней грани железобетонного элемента от крутящего момента Т (рис. 1). Из уравнения (12) отыскивается неизвестное qsw,T.

Сумма проекций всех сил, действующих в пространственном сечении на ось z равна нулю (∑Z = 0, блок II):

где ϕα1 — параметр, учитывающий проецирование составляющих напряжений в плоскости k на плоскость, параллельную продольной оси железобетонного элемента, и равный с точностью до числового коэффициента параметруϕα.

Из уравнения (13) отыскивается неизвестное qsw,σ.

Таким образом, рассмотренный способ расчета сопротивления железобетонных конструкций при совместном действии изгибающего момента, крутящего момента и поперечной силы для второй стадии напряженно-деформированного состояния (случай 1) можно использовать при появлении пространственных трещин первого типа на нижней грани конструкции.

Вторая схема реализуется при сопротивлении железобетонных элементов, подверженных совместному воздействию крутящих моментов и поперечных сил.

Расчетная схема сопротивления железобетонной конструкции при совместном действии изгибающего момента, крутящего момента и поперечной силы (случай 2) показана на рис. 2.

Рис. 2. Расчетная схема сопротивления железобетонной конструкции при совместном действии изгибающего момента, крутящего момента и поперечной силы (случай 2):

— сжатая зона пространственного сечения; — сжатая зона сечения I−I

Для построения расчетных уравнений отделим от железобетонного элемента с помощью метода сечений два блока (рис. 2). Первый блок отделяем поперечным сечением I−I, проходящим в конце пространственной трещины. Этот блок находится в равновесии под действием внешних усилий, приложенных к блоку со стороны опоры, и внутренних усилий, возникающих в месте проведения сечения.

16

Из уравнения равновесия моментов внутренних и внешних сил в этом сечении I−I относительно точки О1, проходящей через точку приложения равнодействующей усилий в растянутой арматуре (∑MO,I = 0), получим:

где αm,S — расстояние по горизонтали от опоры по направлению оси у до центра тяжести рабочей продольной арматуры в сечении I−I (точка О1). При этом необходимо сделать акцент на том, что момент, создаваемый Rsup·αm,S будет крутящим по отношению к оси х и относительно т. О1; момент М будет изгибающим по отношению к оси у и относительно точки О1; момент, создаваемый σb,IAb[h0−ϕy,2(хb, х)·х], будет изгибающим по отношению к оси z и относительно точки О1. Здесь ϕy,2(хb, х) — статико-геометрический параметр, учитывающий расположение центра тяжести сжатой зоны бетона в сечении I−I (на участке хb эпюра сжимающих напряжений прямоугольная, на участке х−хb — треугольная); Rsup — опорная реакция в первом блоке (рис. 2), (для второй группы предельных состояний этот параметр известен). Из этого уравнения отыскивается неизвестноеσb,I.

Из уравнения равновесия проекций всех сил, действующих в сечении I−I на ось x, находим высоту сжатой зоны бетона x в этом сечении. Уравнение принимает вид:

где ϕпр(σі, εі) — параметр, учитывающий проецирование диаграммы σі−εі на направление, перпендикулярное плоскости k (рис. 2); ϕα — параметр, учитывающий проецирование составляющих напряжений в плоскости k на плоскость I−I, перпендикулярную продольной оси железобетонного элемента; ϕy,2(хb, х) — параметр, равный с точностью до числового коэффициента параметруϕy(хb, х).

Из уравнения равновесия моментов внутренних и внешних сил, действующих в сечении I−I относительно оси, перпендикулярной к этому сечению и проходящей через точку приложения равнодействующей усилий в сжатой зоне (Tb,I = 0), получим:

Из этого уравнения определяем неизвестное Т (для первой группы предельных состояний), а если Т задано через соотношение Rsup: T и при рассмотрении второй группы предельных состояний, это уравнение используется для определения τT.

Это уравнение совпадает с уравнением (16). При этом проверяется условие (17):

Если условие (17) не выполняется, тогда τT полагается равным τT,pl, а из преобразованного уравнения (16) отыскивается параметр ypl (см. уравнение (18) и рис. 2):

Следует заметить, что для схемы II эпюра τT, как правило, близка к прямоугольной. Из гипотезы пропорциональности продольных деформаций (уравнение аналогично (19)

находим σs,I:

При этом необходима проверка условия (20). Если условие (20) не выполняется, то σs,I полагается равным Rs:

17

Научный журнал строительства и архитектуры

При рассмотрении второго блока так же, как и в первой схеме, составляются уравнения равновесия.

Сумма моментов по отношению к оси z относительно точки приложения равнодействующей усилий в сжатой зоне равна нулю (∑Mb = 0, блок II):

Из уравнения (21) определяется неизвестное σs.

Из уравнения равновесия моментов внутренних и внешних сил в пространственном сечении по отношению к оси z относительно точки ОК приложения равнодействующей усилий (сечение k, рис. 2) в сжатом бетоне (∑MО,К = 0) вычисляются напряжения в сжатом бетоне сечения k σb:

Из уравнения суммы проекций всех сил, действующих в пространственном сечении на ось x, отыскивается неизвестное xb (∑X = 0, блок II).

Сумма моментов внутренних и внешних сил в вертикальной поперечной плоскости относительно оси x, проходящей через точку приложения равнодействующей усилий в сжатой зоне, равна нулю (∑Tb = 0, блок II):

Из уравнения (24) отыскивается неизвестное qsw,T.

Сумма проекций всех сил, действующих в пространственном сечении на ось z, равна нулю (∑Z = 0, блок II):

Из уравнения (25) отыскивается неизвестное qsw,Q.

Неизвестное qsw отыскивается из следующих соображений. Это погонное усилие возникает на боковой грани от действия Т+Rsup eQ также, как и погонное усилие qsw,Т, возникающее на верхней и нижней гранях, поэтому отличие его от последнего будет состоять в том, чтобы учесть соотношение b2: h2 и характеристики используемой арматуры. Тогда

«Нагельные усилия» в продольной Qs и поперечной арматуре qsw,2 определяются из специальной модели «нагельного эффекта», рассмотренной в работе [11].

Таким образом, рассмотренный способ расчета сопротивления железобетонных конструкций при совместном действии изгибающего момента, крутящего момента и поперечной силы для второй стадии напряженно-деформированного состояния (случай 2) можно использовать при появлении пространственных трещин первого типа на боковой грани конструкции.

18

3. Расчет расстояния между пространственными трещинами и ширины их раскрытия в железобетонных конструкциях при кручении с изгибом (случай 1). При расчете сопротивления железобетонных конструкций на действию поперечных сил, изгибающих и крутящих моментов возникает необходимость в оценке сложного напряженнодеформированного состояния, которое еще более усложняется при наличии пространственных трещин.

После образования трещин сплошность бетона нарушается и применение формул механики твердого деформированного тела уже не правомерно. Тем не менее для определения действительного напряженно-деформированного состояния железобетонных конструкций возникает необходимость в рассмотрении полной картины трещинообразования в процессе нагружения. При этом важно не только располагать различными уровнями трещинообразования пространственных трещин, но и иметь их полную картину.

В первую очередь необходимо нанести весь веер пространственных трещин всех типов. После определения опасной пространственной трещины по критерию образования или наибольшей ширины их раскрытия необходимо нанести всю картину пространственных трещин.

При этом, как показала практика расчетов и проектирования железобетонных конструкций, расстояния между пространственными трещинами первого вида для первого уровня трещинообразования lcrc,1, расположенными вдоль поперечной или продольной арматуры, могут быть определены из следующего соотношения (рис. 3, 4):

Рис. 3. Расчетная схема к определению расстояния междутрещинами первого вида (случай 1): а — схема усилий и выбор системы координат к образованию первой пространственной трещины

19