Методическое пособие 620

75

4.Дисциплина обслуживания определяет правила выбора заявки из очереди при назначении на обслуживание. Возможны следующие дисциплины обслуживания:

а) первым пришел - первым обслуживается.

6) последним пришел - первый обслуживается. в) обслуживание в случайном порядке.

г) Из очереди в момент освобождения одного из каналов выбирается самая приоритетная заявка (относительный приоритет).

д) В момент поступления очередной заявки прерывается обслуживание низкоприоритетной заявки (абсолютный приоритет). Прерванная заявка ставится либо в начало общей очереди, либо очереди заявок соответствующего приоритета. Обслуживание прерванных заявок может производиться либо с начала, либо от момента прерывания.

5.Продолжительность обслуживания

Заявки обслуживаются в течение случайного времени независимо одна от другой, закон распределения продолжительности обслуживания одинаков для всех заявок. Например, по показательному закону с параметром , т.е.

M[tобс]=1/ .

6. Время пребывания (случайное) в системе заявок некоторого типа может быть ограничено ("нетерпеливые" заявки). Превышение этого времени приводит к уходу заявки из СМО, даже если началось обслуживание.

5.2. Характеристики СМО

Характеристики СМО - это числовые характеристики случайного процесса, описывающего СМО

Пусть (t) - число заявок в системе, т.е. в очереди и на обслуживании, в

76

Часто у СМО существует установившийся режим, т.е. существует при

Pi(0)

Piуст

Pi(0)

t

1. Показатели загруженности СМО

mj - среднее число заявок в системе, т.е. математическое ожидание случайной величины с таблицей распределения

mj=0 P0+1 P1+2 P2+ ... +(n+m) Pn+m

mk - среднее число занятых каналов, т.е. математическое ожидание случайной величины с таблицей распределения

2. Пропускная способность СМО

- вероятность отказа в обслуживании, т.е. доля получивших отказ заявок среди общего числа поступивших в СМО заявок.

Если входящий поток заявок стационарен, а заявки «терпеливы», то отказ поступает в случае прихода заявки во время пребывания системы в самом загруженном состоянии Sn+m, т.е. Pотк=Pn+m.

77

q - относительная пропускная способность, т.е. доля обслуженных зая-

вок

q=1-Pотк

Q - абсолютная пропускная способность, т.е. среднее число заявок, выходящих за единицу времени из системы обслуженными. Иначе, Q - интенсивность потока обслуженных заявок.

Если - интенсивность входящего потока, то Q= q.

3. Характеристики ожидания

ml - средняя длина очереди, т.е. математическое ожидание случайной величины с таблицей распределения

Действительно, в установившемся режиме интенсивность потока заявок из очереди в узел обслуживания ml/tсрож должна совпадать с интенсивностью выходящего потока Q.

5.3. Одноканальная СМО с отказами, пуассоновским входящим потоком и показательным распределением времени обслуживания

Пусть - интенсивность входящего потока, - интенсивность обслуживания. Тогда граф состояний марковского процесса, описывающий дан-

Теорема 5. Всякий процесс гибели и размножения имеет установившийся режим. Уравнения для вероятностей состояний в установившемся режиме получаются из дифференциальных уравнений А.Н. Колмогорова заменой производных dPi/dt на нуль.

Таким образом, для вероятностей состояний процесса гибели и размножения в установившемся режиме

Прибавим ко второму уравнению первое и получим

0 2 P2 2 P1

Прибавим получившееся уравнение к следующему уравнению и полу-

чим

0 2 P2 2 P1

Продолжая этот процесс, придем к системе уравнений

Последнее уравнение оказывается лишним, его следует заменить уравнением P0+P1+ ... +Pn=1, после чего, выражая все неизвестные через одно из них P0, получим

81

роятности состояний в установившемся режиме n - канальной СМО без ограничений на длину очереди m= . При /n 1 установившегося режима не существует.

Пример.

Пусть n=1, m=1. Тогда граф состояний и вероятности состояний в установившемся режиме

При = получаем P0=P1=P2=1/3, т.е третья часть заявок получает отказ, хотя интенсивности поступления заявок и обслуживания равны, и есть возможность ожидания одной заявки в очереди.

Рассмотреть случай 1) n=2, m=1; 2) n=1, m=2.

Если mj=0 P0+1 P1+...+M PM - среднее число заявок, находящихся в СМО, т.е. неработающих агрегатов, то суммарные средние потери предприятия от простоя агрегатов и оплаты механиков

Cпростоя = mj + Cмеханика

Следует рассчитать величину критерия эффективности для каждого из механиков и выбрать того из них, для которого эта величина минимальна.

Входящий поток в данном случае ординарный, но не стационарный и без отсутствия последействия.

5.6. Исследование СМО методом статистического моделирования

Если время обслуживания распределено равномерно, процесс, описывающий СМО, не марковский и к нему не применимы уравнения Колмогорова. В этом случае числовые характеристики процесса можно оценить методом статистического моделирования.

Пример.

Электронное устройство способно обработать каждый из сигналов, поступающих пуассоновским потоком с интенсивностью сигн/мкс, в течение равномерно распределенного на отрезке [a,b] случайного времени. Занятое обработкой очередного сигнала устройство может запомнить следующий сигнал, а последующие при этом теряются. Требуется оценить характеристики установившегося режима работы устройства.

Моделью задачи является одноканальная n=1 СМО с предельной длиной очереди m=1, пуассоновским входящим потоком с интенсивностью и равномерно распределенным на отрезке [a,b] временем обслуживания. Известно, что при этих условиях существует установившийся режим.

1. Моделирования моментов поступления сигналов.

84

Пусть i - интервал между моментами прибытия (i-1)-го и i-го сигналов, i - очередное случайное число из равномерно распределенных на отрезке

пределена по показательному закону. Тогда момент поступления i-го сигнала ti=ti-1+ i, где t0=0 - момент начала моделирования.

Количество заявок N, учитываемых при моделировании, определяется с учетом требований к точности и надежности статистических оценок, а также затрат машинного времени при реализации моделирования на ЭВМ.

2. Моделирование продолжительности обслуживания

Пусть tiоб - продолжительность обслуживания i-й заявки в случае ее поступления в узел обслуживания, i - очередное случайное число, равномерно распределенное на отрезке [0,1].

Положим tiоб = a+(b-a) i, так как СВ tiоб равномерно распределена на отрезке [a,b].

3. Моделирование процесса функционирования СМО

Данная СМО может находиться в состояниях: S0 - нет заявок, S1 - одна заявка обслуживается, очередь пуста, S2 - две заявки, одна обслуживается, одна в очереди.

Обозначим через Ti суммарное время пребывания процесса в состоянии Si, i=0,1,2, через Tсум - общее время моделирования, например, момент поступления N-й заявки.

При моделировании без применения ЭВМ строится диаграмма процесса функционирования СМО. Проводятся несколько параллельных прямых: одна для указания времени поступления заявок, по одной для каждого канала (для регистрации промежутков его занятости), по одной прямой для каждого состояния (для подсчета Ti). Для рассматриваемого примера соответствующие пять прямых изображены на рисунке 5.2.

S1

S2