Методическое пособие 614

изменения температуры при условии, что tc

> tn ; б) график изменения температуры при

условии, что tn > tc .

Моделирование

температурного ре-

температурой tc . Начальная температура пла-

жима датчика. Более детальный анализ из-

менения температуры датчика может бытьстины tn . При этом выполняется условие

проведен на основе математической модели

tc > tn . Между ограничивающими поверхно-

температурного поля

внутренней структуры

стями пластины и окружающей средой проис -

датчика. С позиции

моделирования датчик ходит теплообмен по закону Ньютона. Необ-

представляет собой пластину достаточно тон -

ходимо найти распределение температуры по

кую, что позволяет допустить рассмотрение

толщине пластины, а также время достиже-

этой пластины конечных размеров, как пла-

ния значения температуры на поверхности

стину неограниченной протяженности тол-

пластины равной температуре окружающей

щиной 2R [1]. В начальный момент времени

среды с погрешностью, не превышающей 5%.

t пластина помещается в среду с постоянной

Научный журнал «Комплексная безопасность»

Запишем уравнение теплопроводно-

откуда

получим

два

обыкновенных

сти [1]

дифференциальных уравнений

¶t(x, t)

= a

¶2t(x,t)

.

(1)

dK(t)

+ k 2K (t )= 0 ,

(7)

¶t

¶x2

dt

k 2

где t(x,t) – распределение температуры

d 2 X (x)

+

X (x )= 0 .

(8)

по толщине пластины; x

– координата; t

dx2

a

– время; a =

l

– коэффициент темпера-

Соответственно

решениями

уравне-

ний (7) и (8) будут [2, 3]

c pr

туропроводности; l – коэффициент теп-

K (t)= C1 exp(- k 2t),

(9)

лопроводности;

c p – теплоемкость мате-

æ

k

x

ö

æ

k

ö

(10)

риала пластины; r – плотность материала

X (x )= C2 sinç

a

÷

+C3 cosç

a

x ÷

è

ø

è

ø

пластины.

После подстановки (9) и (10) в (6) по-

Введём в рассмотрение относитель-

лучим

ную температуру вида

T (x,t =) exp(- k

2

é

æ

k

ö

æ

k

öù

T (x, t)= tc -t(x, t)

(2)

t)êB1 sinç

x÷

+ B2 cosç

x÷ú

ë

è

a

ø

è

a

øû

Для

расчетной

схемы

на

. рис3

,(11)

начальные условия будут

где B1 = C2C1 и B2 = C3C1 .

при x = ±R и t = 0

Для определения констант в уравне-

t(x,t)= tn

ü

(3)

нии (11) учтем начальные условия (3) и за-

ý,

пишем систему уравнений

T (x,t =) T0 = tc -tn þ

ü

2

é

æ

k

ö

æ

k

öù

а граничные условия основываются

T (R,0 )= T0 = exp(- k

0)êB1 sinç

R ÷

+ B2 cosç

R ÷ú

ï ,

ë

è

a

ø

è

a

øû

ï

на предположении, что количество тепла,

2

é

æ

k

ö

æ

k

öù

ý

ï

поступившее от окружающей среды к пла -

T (- R,0)= T0 = exp(- k

0)êB1 sinç

(- R ÷)+ B2 cosç

(- R ÷)úï

откуда

ë

è

a

ø

è

a

øû

þ

стине равно количеству тепла, распро-

страняющегося

по

толщине

пластины,

B1 = 0,

B2 =

T0

.

(12)

имеют вид

æ

k

ö

¶t(x,t)

+ a[tc -T (R,t ])= 0 ,

cosç

R ÷

a

-l

(4)

è

ø

Для определения неизвестной вели-

¶x

где a – коэффициент теплоотдачи.

чины k

воспользуемся граничным

усло-

С учетом замены(2) уравнение (1)

вием (4), в котором определим входящие в

примет вид

него величины

ù .(13)

2

¶t(x, t)

2

é

æ

k

ö

k

æ

k

ö

k

¶T (x,t)

= a

¶

T (x,t)

.

(5)

= -exp(- k

t)êB1 cosç

x ÷

- B2 sin ç

x ÷

ú

¶x

ë

è

a

ø

a

è

a

ø

a

û

¶t

¶x2

T (R,t =) exp(- k

2

é

æ

k

R

ö

æ

k

öù

.(14)

Для решения уравнения (5), являю-

t)êB1 sinç

a

÷ + B2 cosç

a

R ÷ú

щегося дифференциальным уравнением в

ë

è

ø

è

øû

Теперь, с учетом (13) и (14) уравне-

частных производных

второго

порядка,

ние (4) можно записать в виде

применим метод разделения

переменных

ö

k

ù

2

é

æ

k

ö

k

æ

k

[1]. Решение уравнения (5) представим в

lexp(- k

t)êB1 cosç

x ÷

- B2 sinç

x ÷

ú

+

(15)

ë

è

a

ø

a

è

a

ø

a û

виде произведения двух функций

é

2

é

æ

k

ö

æ k

öùù

T (x,t)= X (x)×K (t).

(6)

+ aêtc - exp(- k

t)êB1 sinç

R ÷ + B2 cosç

R ÷úú = 0

ë

ë

è

a

ø

è

a

øûû

m = 1

9 +12 ×x B - 3 .

(19)

2

t i

2

Из

условия (2)

имеем

t(x, t)= tc -T (x, t)

и учитывая (11), (12) и

(19) можно записать искомое решение

Параметры датчика

Материал

Алюминий

Коэффициент теплопроводности l ,

203,5

Вт/(м·К)

Плотность r, кг/м3

2700

Толщина датчика 2R , м

2·10-5

Теплоемкость cp , Дж/(кг·К)

930

Температура среды tc , К

70

Коэффициент теплоотдачи a ,

209

Начальная температура датчика tn , К

20

Вт/(м2·К)

Научный журнал «Комплексная безопасность»

среды,

tn – начальная температура поверхности датчика.

Из

уравнения (20)

можно определить

чения измеренной температуры на поверхно-

время достижения границы 5% погрешности

сти датчика. Например, если в качестве пиро-

1

æ

tc

ö

2

метра

использовать

бесконтактные термо-

t = -

ç

0.05

÷

и учитывая дан-

метры фирмы TESTO, частота измерений ко-

2

m

a

lnç

÷R

è

tc -tn ø

торых составляет 0.5 с-1, то общая частота из-

ные табл., получим t = 0.26 секунды.

мерений составит 0.76 с-1. За одну минуту си-

Выводы. Рассмотренный метод измере-

стема сможет выполнить около 80 измерений,

ния температуры газовой среды в объеме по-

т.е. можно получить достаточно объективную

мещения

обладает

неплохим

быстродей-

динамики

изменения температуры

ствием. Поверхность датчика нагревается до

картину

газовой среды в помещении. Эта информация

температуры окружающей его газовой среды

может быть использована в системах -кон

за 0.26 с, т.е. частота отклика датчика на из-

троля, сигнализации и управления пожарной

менение

температуры

составит0.26 с-1. К

безопасностью, а так же в научных исследо-

этому нужно учесть еще время, затрачивае-

ваниях, связанных с исследованием тепловых

мое самим пирометром на формирование зна -

процессов в газовых средах.