Методическое пособие 568

1.4. Основы топологического описания цепи

Электрическая цепь – это совокупность соединенных между собой элементов, свойства которых описываются в тер-

минах тока и напряжения.

Физическое электронное устройство (цепь) состоит из различных физических элементов – резисторов, конденсаторов и т.д., каждый из которых имеет условно-графическое отображение согласно ЕСКД. Их соединение графически представляется принципиальной схемой, пример принципиальной схемы транзисторного усилителя показан на рис. 1.5. Точкой отмечены электрические соединения физических элементов.

Рис. 1.5

Соединения моделей элементов, образующих электри-

ческую цепь, называют эквивалентной схемой или схемой замещения. В ней физические элементы заменяются их моделями, которые могут состоять из одной или нескольких идеальных моделей (сопротивлений, емкостей, идеальных источников).

Резистор и конденсатор обычно отображаются идеальными моделями с теми же условно-графическими обозначениями (рис. 1.2). Катушка индуктивности отображается идеальной индуктивностью L , в ряде случаев требуется дополнительно учитывать сопротивление потерь r (рис. 1.2).

10

Эквивалентная схема цепи является топологическим описанием модели физической цепи.

Возможны различные варианты соединения элементов. Различают два простейших соединения двухполюсников: последовательное и параллельное. Более сложные соеди-

нения называют смешанными.

Последовательным называют соединение двухполюсников, при котором полюс одного подключен к полюсу другого (друг за другом), и в каждом из них протекает одинаковый ток. Пример последовательного соединения показан на рис. 1.6а. При последовательном соединении сопротивления элементов складываются.

Рис. 1.6

Параллельным называют соединение двух и более элементов (или соединений элементов) с общей парой точек подключения. Напряжения на параллельно соединенных элементах одинаковы. Пример показан на рис. 1.6б. При параллельном соединении складываются проводимости элементов.

Смешанное соединение элементов нельзя рассматривать как простое последовательное или параллельное. В цепи со смешанным соединением элементов (рис. 1.7) выделяются простые фрагменты с последовательным соединением элементов (e(t), R1 , R2C2 и R3L) или параллельным (например,

последовательно соединенным e(t), R1 параллельно подключена емкость C1 ).

На рис. 1.8 приведена принципиальная схема параллельного соединения катушки индуктивности и конденсатора

11

(такую цепь называют параллельным колебательным контуром) и ее эквивалентная схема (катушка индуктивности представляется последовательным соединением идеальной индуктивности и сопротивления).

Рис. 1.7 Рис. 1.8

В электрической цепи выделяются основные топологические элементы:

–ветвь – последовательное соединение нескольких, двухполюсников, в том числе и источников сигнала, в частном случае ветвь содержит один двухполюсный элемент;

–узел – точка подключения трех и более ветвей;

–контур – замкнутое (друг за другом) соединение двух

иболее ветвей.

Пример эквивалентной схемы электрической цепи с обозначением ветвей, узлов (отображаются жирными точками) и контуров показан на рис. 1.7. На схеме узел может представлять собой несколько точек соединения (такой распределенный узел на рис. 1.7 охвачен пунктирной линией).

При расчете электрических цепей большое значение имеют числа узлов q и ветвей p . В цепи на рис. 1.7 выделяются q 4 узлов и p 7 ветвей, в одной из которых присутствует идеальный источник тока.

12

2. ЦЕПЬ ПОСТОЯННОГО ТОКА

2.1.Модель цепи постоянного тока

Вцепи постоянного тока действуют постоянные напряжения и протекают постоянные токи. В этом случае индуктивность в цепи заменяется коротким замыканием, а емкость – разрывом (холостым ходом), а в модели используются только сопротивления.

Всопротивлении R напряжение U и ток I связаны уравнением закона Ома

G 1/R - проводимость резистивного элемента (измеряется в сименсах, См).

Токи и напряжения в цепи связаны уравнениями законов Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма сходящихся в узле токов равна нулю, при этом втекающие токи записываются с плюсом, а вытекающие – с минусом.

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма напряжений на ветвях замкнутого контура равна алгебраической сумме ЭДС источников напряжения, включенных в этот контур. Направление обхода контура выбирается по часовой стрелке, совпадающие с ним по направлению напряжения и ЭДС записываются со знаком плюс, а несовпадающие – минус.

2.2. Расчет цепи на основе закона Ома

Метод используется для расчета простых цепей с одним источником тока или напряжения и предусматривает вычисление сопротивлений (проводимостей) участков цепи, для которых известна или уже вычислена величина тока (или напряжения), с последующим определением по закону Ома неизвестного напряжения (или тока).

Все вычисления целесообразно проводить в международной системе единиц СИ.

13

Рассмотрим резистивный делитель напряжения, схе-

ма которого показана на рис. 2.1а при ЭДС E 15В, R1 5Ом,

R2 10 Ом.

Как видно, напряжение источника делится в соотношении 1/3 и 2/3. Коэффициент деления K можно записать в виде

K E R1 R2 15 1,5.

U2 R2 10

Резистивные делитель напряжения используются при реализации вольтметров.

Аналогично рассмотрим резистивный делитель тока, схема которого показана на рис. 2.1б при токе источника I0 1А, R1 5Ом, R2 10 Ом. При параллельном соединении сопротивлений общая проводимость равна сумме проводимо-

14

стей ветвей,

а для общего сопротивления получим

(формулу для сопротивления параллельного соединения двух резистивных элементов полезно запомнить).

По закону Ома определим напряжение на источнике то-

ка

Как видно, ток источника делится в соотношении 2/3 и 1/3, коэффициент деления равен

Резистивный делитель тока используется при реализа-

ции амперметров.

Рассмотрим пример расчета цепи со смешанным соединением элементов. Схема цепи показана на рис. 2.2, ток идеального источника равен I 1А, а сопротивления элементов R1 5Ом, R2 10 Ом, R3 20Ом.

Для определения токов ветвей I1 , I2 и напряжений на сопротивлениях U1 , U2 и U3 вычислим общее сопротивление цепи RОБЩ (параллельного соединения R2 и ветви из последо-

вательно соединенных сопротивлений R1 и R3),

15

Рис. 2.2

По закону Ома найдем напряжение U2 на полюсах ис-

точника тока (и на сопротивлении R2 )

U2 RОБЩ I0 7,1431 7,14 В,

а затем токи ветвей

Правильность расчета проверим с помощью первого закона Кирхгофа в виде I1 I2 I0, тогда I1 I2 0,286 0,714 1А, то есть результат совпадает с током источника.

Используем полученные токи ветвей для определения напряжений на сопротивлениях (величина U2 уже найдена)

U1 R1I1 5 0,286 1,43 В, U3 R3I1 20 0,286 5,72 В.

На основании второго закона Кирхгофа U2 U1 U3, то-

гда, складывая найденные напряжения, убеждаемся в его выполнении.

2.3. Мощность в цепи постоянного тока

Источник электрической энергии создает в цепи токи и напряжения, за счет которых в резистивных элементах потребляется мощность, преобразуемая ими в тепло.

16

Если через сопротивление R протекает постоянный ток I и на нем создается напряжение U , то потребляемая этим сопротивлением мощность с учетом (2.1) равна

Мощность измеряется в ваттах (Вт).

Например, в цепи на рис 2.2 потребляемые сопротивлениями R1 , R2 и R3 мощности соответственно равны

P1 I1 U1 0,409 Вт, P2 I2 U 2 5,098 Вт,

P3 I1 U3 1,636 Вт.

Общая потребляемая ими мощность равна

PОБЩ I1 U1 I2 U2 I1 U3 7,14 Вт.

Определим мощность P0 , отдаваемую источником тока в цепь,

P0 I0 U2 7,14 Вт,

которая, как видно, совпадает с общей потребляемой мощностью. Полученный результат является примером выполнения

условия баланса мощностей: сумма мощностей, потребляе-

мых в резистивных элементах цепи, равна сумме мощностей, отдаваемых в цепь всеми источниками.

Рис. 2.3

17

является полной фазой колебания, она прямо пропорциональна времени, а измеряется в радианах или градусах. При t 0

и является числом радиан, на которое увеличивается полная фаза гармонического колебания в единицу времени (1 с).

Начальная фаза измеряется в радианах или градусах. Она многозначна, так как период функции cos( ) равен 2 ,

и ее значения 300, (300+3600)=3900 и (300-3600)=-3300 являются эквивалентными. Для устранения неоднозначности принимают значения начальной фазы в интервале от 0 до 3600 (от 0 до 2 ) или от -1800 до 1800 (от до ).

Начальная фаза гармонического сигнала определяется его сдвигом во времени на величину t относительно стандартной записи сигнала s(t) Sm cos( t) (рис. 3.1). Если t 0,

то функция s(t t) смещена влево по оси времени относительно s(t) , а если s(t t), то вправо. Положительные значения временного сдвига t отсчитываются в направлении увеличения времени t, а отрицательные – в сторону его

В результате для начальной фазы можно записать

t . (3.7)

Значение начальной фазы зависит от выбора начала отсчета времени (t 0 ). При сдвиге начала отсчета времени меняется и начальная фаза.

19