Методическое пособие 514

Двумя близкими поперечными сечениями вырежем часть балки длиной dz (рис. 4.14). Мысленно разрежем балку, испытывающую изгиб, продольным сечением. Рассмотрим равновесие верхнего элемента площадью

сечения F и шириной основания b , приложив к

нему нагрузки со стороны отброшенных частей. Касательные напряжения на взаимноперпендикулярных гранях равны и направлены от общего ребра, согласно теореме парности. Составим уравнение равновесия:

Подставим (4.35) в (4.33):

80

Это формула Журавского.

4.5.2. Расчёт на прочность при поперечном изгибе

Для нормальных напряжений проводится по тем же критериям, что и при чистом изгибе:

плоскостью поперечного сечения изогнутой балки в точке B1 .

81

Для описания деформации балки в плоскости yz используются две характеристики:

1)прогиб y – линейное вертикальное перемещение BB1 центра тяжести сечения;

2)угол поворота сечения – угол, на который поворачивается поперечное сечение балки относительно его первоначального положения.

Вследствие малости углов:

82

Подставим (4.43) в (4.11) и получим дифференциальное уравнение упругой линии балки:

Интегрируя (4.44) и учитывая (4.40), получим уравнение углов поворота:

83

где [ y] и [ ] – допускаемые значения прогиба и угла

поворота, задаваемые из конструктивных и технологических соображений. Обычно

[ y] (0.0001 0.0004)l ,

По условиям жесткости (4.53) выполняют те же виды расчетов, что по условию прочности (4.20).

4.7. ЭПЮРЫ ВНУТРЕННИХ СИЛ ПРИ ИЗГИБЕ

При решении статически определимых задач используется следующий алгоритм:

1)Определение сил реакций (при необходимости) из условий равновесия.

2)Разбиение вала на участки. Границами участков являются сечения, в которых приложены сосредоточенные силы, приложены сосредоточенные моменты, начинается/заканчивается распределенная нагрузка, меняется геометрия сечения.

3)Составление уравнений для перерезывающей силы и момента на участках.

4)Построение эпюр Q(z) и M (z) .

5)Проверка на прочность и жёсткость.

Если рассчитывается статически неопределимая балка, то дополнительно надо провести раскрытие статической неопределимости: установить степень статической неопределимости; рассматривая схему деформирования балки; составить уравнение совместности перемещений; в уравнении совместности перемещений заменить углы поворота сечений через крутящие моменты и жесткости ступней вала.

84

4.8. ЗАДАЧА И1 К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ

Консольная или духопорная стальная балка, нагружена сосредоточенными силами Pi , распределенной нагрузкой

интенсивностью qi и внешними моментами mi (рис. И1.0– И1.9). Марка стали: Ст. 3, предел текучести T 225 МПа.

Определить силы реакции. Построить эпюры поперечной силы и изгибающего момента в поперечном сечении балки. Определить из условия прочности размеры сечения для балки

(рис. И1):

а) круглого сплошного сечения (диаметр D );

б) прямоугольного сечения (размеры b и h , считая h 1,5b );

в) двутавра; г) швеллера;

д) поставленных друг к другу вплотную одинаковых несвязанных швеллеров.

Выбрать рациональное сечение, проведя оценку коэффициентов экономичности.

Численные данные приведены в таблице Р1, где n – коэффициент запаса прочности.

Указания. Задача И1 – на расчет на прочность при изгибе статически определимой балки. Решение задачи проводится в соответствии с алгоритмом, описанным в разделе 4.7. Ход решения подобной задачи приведен в примере И1.

85

Таблица И1

87