Методическое пособие 466

Плотность распределения (плотность вероятности)

Пусть имеется непрерывная случайная величина Х с функцией распределения F(x), которую мы предположим непрерывной и дифференцируемой.

Вычислим вероятность попадания этой величины на участок от х до

х+ х:

Р (х Х х+ х) = F(х+ х) - F(х),

т.е. приращение функции распределения на этом участке. Рассмотрим отношение этой вероятности к длине участка, т.е. среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участке, и будем приближать х к нулю. В пределе получим производную от функции распределения:

(1)

Кривая, изображающая плотность распределения случайной величины, называется кривой распределения (рис. 1.9). Плотность распределения, как и функция распределения, есть одна из форм закона распределения.

Основные свойства плотности распределения (x):

1.(x) 0, т. е. неотрицательная функция (лежит выше оси абсцисс), т.к. F(x) – неубывающая функция;

2.f (x)dx 1, т.к. F(+ )=1 , т.е. полная площадь, ограниченная кривой

распределения и осью абсцисс, равна 1.

3. Размерность (x) обратна размерности случайной величины х (см. формулу (1), где F(x) – вероятноять безразмерна).

43

Вероятностные оценки ряда наблюдений

Законы распределения. При выполнении повторных измерений одной и той же измеряемой величины легко убедиться, что результаты отдельных измерений отличаются друг от друга. Это отличие объясняется действием погрешностей, являющихся, как было отмечено, случайными величинами. Полным описанием случайной величины, а, следовательно, и погрешности, является ее закон распределения. Этим законом распределения и определяется характер появления различных результатов отдельных измерений в ряду наблюдений.

В практике электрических измерений встречаются различные законы распределения. Одним из наиболее распространенных законов распределения погрешностей является нормальный закон (Гаусса).

Математически нормальное распределение случайных погрешностей может быть представлено формулой

(2)

где f ( ) - плотность вероятности случайной погрешности ; - среднее квадратическое отклонение.

Характер кривых, описываемых уравнением (2) для двух значений , показан на рис. 1.10. Из этих кривых видно, что чем меньше , тем чаще встречаются малые случайные погрешности, т.е. тем точнее выполнены измерения.

Кроме нормального закона распределения погрешностей в практике электрических измерений сравнительно часто встречается закон равномерной плотности. При измерении какой-либо величины прибором всегда существуют

этих границ невозможно установить значение измеряемой величины, которое в пределах границ может быть различным, причем эти значения могут оказаться равновероятностными.

На рис. 1.11. показан закон равномерной плотности. Аналитически он может быть записан так:

В практике измерений встречаются и другие законы распределения, которые могут быть установлены на основании статистической обработки опытнных данных.

Основные характеристики законов распределения. Основными характеристиками законов распределения являются математическое ожидание и дисперсия. Математическое ожидание ряда наблюдений есть величина, относительно которой рассеиваются результаты отдельных измерений. Если систематическая погрешность отсутствует и разброс результатов отдельных измерений обусловлен только случайной погрешностью, то математическим ожиданием такого ряда наблюдений будет истинное значение измеряемой величины. Если же результаты отдельных измерений кроме случайной погрешности содержат постоянную систематическую погрешность, то математическое ожидание ряда наблюдений будет смещено от истинного значения измеряемой величины на значение систематической погрешности.

Дисперсия ряда наблюдений характеризует степень рассеивания (разброса) результатов отдельных наблюдений вокруг математического ожидания. Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс отдельных результатов, тем точнее выполнены измерения. Следовательно, дисперсия может служить характеристикой точности произведенных измерений. Однако дисперсия выражается в единицах в квадрате измеряемой величины. Поэтому в качестве характеристики точности ряда наблюдений наиболее часто применяют среднее квадратическое отклонение σ, равное корню квадратному из дисперсии с положительным знаком и выражаемое в единицах измеряемой величины. Среднее квадратическое отклонение, отнесенное к значению измеряемой величины, может быть выражено в относительных единицах или в процентах.

Оценки основных характеристик ряда наблюдений. Обычно математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение ряда наблюдений неизвестны. В этом случае их приходится оценивать по результатам полученного ряда наблюдений.

ряда наблюдений может служить среднее арифметическое результатов отдельных наблюдений

(3)

где а1, а2,…,аn – результаты отдельных наблюдений; n - число наблюдений. Оклонение между каждым из отдельных значений и средним арифмети-

ческим (разности 1 = а1 – АСР; 2 = а2 – АСР; …; n = an - ACP) называется

случайным отклонением результата наблюдения (или остаточной

погрешностью) и может иметь как положительный, так и отрицательный знак.

Одним из свойств среднего арифметического является то, что алгебраи-

ческая сумма остаточных погрешностей равна нулю, т.е. i =0; этим следует

пользоваться для контроля правильности подсчета Аср. При неограниченно

большом числе наблюдений Аср стремится к математическому ожиданию ряда

наблюдений.

Оценка дисперсии ряда наблюдений, согласно теории вероятностей,

может быть выражена через остаточные погрешности формулой

Оценкой среднего квадратического отклонения ряда наблюдений будет S 2 , т.е. S с положительным знаком.

При неограниченно большом числе наблюдений (практически n > 30) оценки S2 и S совпадают соответственно с дисперсией и средним квадратическим отклонением ряда наблюдений.

Измерения физических величин могут быть произведены с различной точностью. Иногда оказывается вполне достаточным знание приближенного значения измеряемой величины, полученного, например, по показанию прибора невысокой точности. Однако во многих научных исследованиях при

результата измерения или установить границы искомого параметра. Эту оценку можно получить на основании обработки результатов наблюдений.

Целью обработки результатов наблюдений является установление действительного значения измеряемой величины (которое может быть принято вместо истинного значения измеряемой величины) и степени близости действительного значения к истинному.

Действительное значение, как результат обработки отдельных наблюдений, содержащих случайные погрешности, само по себе неизбежно содержит случайную погрешность. Поэтому степень близости действительного и истинного значения измеряемой величины нужно оценивать с позиций теории вероятностей. Такой оценкой является доверительный интервал.

Доверительный интервал и доверительная вероятность. Если известен закон распределения погрешностей, можно определить вероятность появления погрешности , не выходящей за некоторые принятые границы. Этот интервал называют доверительным интервалом, а характеризующую его вероятность – доверительной вероятностью. В практике измерений применяют различные значения доверительной вероятности, например: 0,90; 0,95; 0,98; 0,99; 0,9973; и 0,999. Доверительный интервал и доверительную вероятность выбирают в зависимости от конкретных условий измерений. Так, например, при нормальном законе распределения случайных погрешностей со средним квадратическим отклонением часто пользуются доверительным интервалом от +3 до -3 , для которого доверительная вероятность равна 0,9973. Такая доверительная вероятность означает, что в среднем из 370 случайных погрешностей только одна погрешность по абсолютному значению будет больше 3 . Так как на практике число отдельных измерений редко превышает несколько десятков, появление даже одной случайной погрешности, большей, чем 3 , будет маловероятным событием, наличие же двух подобных погрешностей почти невозможно. Это позволяет с достаточным основанием утверждать, что все возможные случайные погрешности измерения, распределенные по нормальному закону, практически не превышают по абсолютному значению 3 (правило «трех сигм»).

Доверительный интервал является одной из основных форм выражения точности измерений. Одна из форм представления результата измерения может быть представлена в следующем виде:

А; от н до в; Р,

где А – результат измерения (действительное значение) в единицах измеряемой величины; , н, в – соответственно погрешность измерения с нижней и верхней ее границами в тех же единицах; Р – установленная вероятность, с которой погрешность измерения находится в этих границах.

т.е. Н =В = , то результат измерения будет записан так: А ; Р.

Существуют и другие формы представления результата измерения, однако любая из этих форм должна содержать необходимые данные, на основании которых может быть определен доверительный интервал для погрешности результата измерения.

В общем случае доверительный интервал может быть установлен, если известен вид закона распределения погрешности и основные характеристики этого закона.

1.7. Подготовка измерительного эксперимента

Получение необходимой измерительной информации с минимальными (или ограниченными) материальными и временными затратами требует внимательного подхода к подготовке и проведению эксперимента при измерении физических величин. Особую значимость это приобретает при постановке сложных дорогостоящих экспериментов. Важным в понимании места измерительного эксперимента является то обстоятельство, что измерения проводят не ради измерений, а для достижения цели, поставленной в том или ином исследовании или испытании. В связи с этим при подготовке измерительного эксперимента, прежде всего, решается вопрос: для чего измерять? Решение этого вопроса оказывает существенное влияние на всю процедуру измерения, включающую подготовку, проведение и обработку результатов измерений. В зависимости от цели измерения решаются такие задачи, как что измерять, с какой точностью измерять, как измерять и чем измерять. Ответы на эти вопросы определяют содержание подготовки эксперимента при измерении физических величин.

Перед проведением эксперимента в первую очередь необходимо составить возможно полную модель объекта. Так, измеряя напряжение питающей сети переменного тока, мы знаем, что кривая напряжения должна иметь синусоидальную форму, частоту 50 Гц и возможное значение примерно 220 В. Отклонение параметров сигнала от заранее установленной модели (в частности, отклонение кривой напряжения питающей сети от синусоидальной формы) может привести к неправильным результатам измерений. Если нет уверенности в правильности (адекватности) модели, то следует уточнить ее, проведя ряд дополнительных измерений, или выбрать средство измерений, показания которого не зависят от одного или нескольких неинформативных параметров модели.

Модели одного и того же объекта измерений могут быть различными. Выбор той или иной модели диктуется задачами и условиями измерений. Так, измеряя сопротивление резистора, необходимо пользоваться различными его моделями в зависимости от частотного диапазона тока, протекающего через данный резистор. На высоких частотах48следует учитывать влияние собствен-

ных емкостей и индуктивностей, а на СВЧ — влияние поверхностного эффекта. Правильный выбор модели позволяет верно трактовать результаты

измерений и обеспечивает при прочих условиях необходимую точность измерений.

Следующей задачей, решаемой при подготовке эксперимента, является

обоснование необходимой точности эксперимента. В такой постановке решение этой задачи является достаточно сложным, так как должно учитывать поставленные цели, технические возможности, а также экономические и временные затраты. Стремление получить результат с максимально возможной точностью не всегда оправдан на практике. Точность измерительного эксперимента должна быть согласована с основной целью измерения. Необоснованный «запас по точности» может сделать эксперимент неоправданным по сложности и стоимости. Иногда допускаемая погрешность, которая должна быть обеспечена в результате эксперимента, задается заранее.

Для обеспечения требуемой точности результатов измерения необходимо учитывать влияние на точность результатов метода измерения, средства измерений, а также внешних факторов. При этом возникает трудная задача: какими должны быть составляющие погрешности, чтобы суммарная погрешность не превышала требуемую. Решается она обычно просмотром вариантов измерений, с подсчетом каждый раз суммарной погрешности и выбором наиболее удобного, простого и, естественно, удовлетворяющего требуемой точности.

При подготовке измерительного эксперимента должна быть выработана методика проведения эксперимента, определяющая совокупность приемов и способов использования средств измерений, средств вычислений и вспомогательных средств, обеспечивающих получение результата измерений с необходимой точностью. Разработка методики выполнения измерений неразрывно связана с обеспечением требуемой точности. При этом необходимо учитывать, проводятся ли прямые, косвенные, совместные или совокупные измерения, используется ли метод непосредственной оценки или методы сравнения с мерой, производятся ли однократные или многократные измерения и др. В результате этого этапа подготовки эксперимента должна быть разработана схема измерений, процедура (план) проведения эксперимента, подготовлена методика обработки результатов наблюдений и оценки влияния условий проведения эксперимента на полученные результаты измерений.

В настоящее время при проведении сложных измерительных экспериментов начинают применять теорию планирования эксперимента, позволяющую выработать наиболее оптимальный план проведения эксперимента.

Важным этапом подготовки эксперимента является выбор средств измерений, соответствующих принятым моделям и измеряемым величинам. Критерии, по которым выбирают49средства измерений, определяются

целями и условиями проведения эксперимента. Это могут быть показывающие или регистрирующие приборы, лабораторные или переносные, аналоговые или цифровые, позволяющие вводить информацию в ЭВМ, и т. д. Однако во всех случаях необходимо правильно оценивать влияние метрологических характеристик приборов на результаты измерений. Рассмотрим некоторые основные факторы, которые следует учитывать при выборе средств измерений.

Воздействие средства измерений на объект. Средство измерений,

подключенное к объекту измерения, может существенно исказить измеряемую величину, что приведет к неверному результату измерения. Так, включая амперметр в измеряемую цепь, мы уменьшаем ток в этой цепи за счет сопротивления самого амперметра или, измеряя температуру некоторого тела с помощью термопары, подключением термопары мы изменяем температурный режим этого тела. Для уменьшения этого влияния необходимо, чтобы мощность, потребляемая от объекта (или выделяемая на объекте) средством измерений, была относительно небольшой. Ориентировочно относительную погрешность, вызванную потреблением мощности Ри от измеряемого объекта, можно оценить формулой

β Ри /P, где P – мощность, выделяемая на объекте измерения. В тех случаях, когда средство измерений выделяет на объекте некоторую мощность (при измерении параметров электрических цепей), также следует оценить влияние средства на измеряемую величину. Например, при измерении малых сопротивлений двойными мостами постоянного тока через измеряемый объект протекает большой ток (5 А и более), что может вызвать нагрев объекта и изменение его сопротивления.

Неполная адекватность принятой модели объекту измерений.

Измерительные приборы следует по возможности выбирать такими, показания которых не зависят (или минимально зависят) от неинформативных параметров принятой модели измеряемой величины. В этом случае эксперимент может быть проведен меньшим числом приборов и с большей точностью.

Так, при необходимости измерить действующее значение переменного напряжения лучше выбрать, например, электронный вольтметр действующего значения, а не электронный вольтметр среднего значения, градуированный в действующих значениях. Последний при отличии формы кривой напряжения от синусоидальной дает неверные результаты измерений, для коррекции которых требуются дополнительные измерения для уточнения модели объекта. Хотя такой подход также возможен, однако следует иметь в виду, что результат измерения будет иметь большую погрешность, зависящую, в частности, от неточности оценки модели измеряемой величины.

Погрешности, вносимые средствами измерений. Составляющими погрешности результата измерений (иногда основными) являются погрешности, вносимые используемыми средствами50измерений. Эти погрешности

оцениваются по метрологическим характеристикам выбранных средств измерений. Не следует необоснованно применять средства измерений высокой точности, что обычно приводит к усложнению и удорожанию эксперимента. Кроме того, при выборе средства измерений следует учитывать влияние внешних факторов (температуры, электромагнитных и электростатических полей и др.) на используемые средства.

Пределы измерений. Для многих измерительных приборов погрешность измерения минимальна на верхнем пределе измерений. Руководствуясь этим, следует выбирать такие пределы измерения, при которых ожидаемые показания прибора будут находиться ближе к верхнему пределу. Например, измеряя напряжение 10 В двумя вольтметрами, имеющими одинаковые классы точности (1, 0), но разные верхние пределы (15 и 150 В), получим относительные погрешности измерения, соответственно, ±1,5 и ±15 %. (Если предел измерения 15 В, то погрешность равна 1% от 15 В, т.е. ±0,15 В, или 1,5% от 10 В).

Частотный диапазон. Выбирая частотный диапазон средства измерений, необходимо, прежде всего, обеспечить неискаженное прохождение сигналов измерительной информации. Для этого частотный диапазон средства измерений должен быть шире частотного спектра входных сигналов. С другой стороны, среди прочих причин появление погрешности измерения вызывают помехи, влияние которых растет с увеличением частотного диапазона. Поэтому не следует стремиться использовать средства измерений с необоснованно широким частотным диапазоном. При заметном влиянии помех наилучшими будут средства, которые при минимальном искажении сигналов измерительной информации максимально отфильтровывают помеху.

Рассмотренный перечень факторов, который необходимо учитывать при выборе средства измерений, не является исчерпывающим. Он может быть дополнен требованиями быстродействия, исключения влияния внешних факторов, конструктивного оптимального исполнения и т. д. Важно отметить, что при подготовке эксперимента необходимо учитывать влияние на результаты измерения характеристик средства измерений, указанных в соответствующих нормативно-технических документах этих средств.

Таким образом, правильное понимание цели измерений, предварительная (доопытная) оценка модели объекта измерений, обоснованный выбор методики проведения эксперимента и соответствующих средств измерений, обеспечивающих в совокупности необходимую точность, являются основными задачами подготовки эксперимента при измерении физических величин.

1.8. Обработка результатов измерений

Методы обработки результатов измерений определяются числом измерений

результатов измерений для различных сочетаний указанных вариантов подробно рассмотрен в [45].

Например, последовательность обработки результатов измерений при прямых многократных равноточных измерениях включает следующие этапы:

исправляют результаты наблюдений исключением (если это возможно) систематической погрешности;

вычисляют среднее арифметическое значение A измеряемой величины; вычисляют среднее квадратическое отклонение ; исключают промахи; определяют закон распределения случайной составляющей;

при заданном значении доверительной вероятности P и числа измерений n , по таблицам определяют коэффициент Стьюдента t p ;

Находят границы доверительного интервала для случайной погрешности t p ;

По формулам, приведенным в ГОСТ 8.207-76, вычисляют доверительный интервал ;

Окончательный результат записывают в виде A при вероятности P .

1.9. Средства измерений и их свойства

1.9.1. Классификация средств измерений

Свойства измерений – технические средства, используемые при измерениях и имеющие нормированные метрологические свойства. По назначению средства измерений разделяют на меры, измерительные преобразователи, измерительные приборы, измерительные установки и измерительные системы

(рис. 1.12).