Методическое пособие 466

на выходе цифро-аналогового преобразователя.

4. Сигналы, дискретные по времени и квантованные по информативному параметру. Теоретической моделью такого сигнала (рис. 1.3, л) является дискретная последовательность yj(ti) значений непрерывного сигнала y(t)=kx(t) (рис. 1.3, б), принимающая только разрешенные уровни yj и определенная в дискретные моменты времени ti. Такому виду сигналов также соответствуют, например, сигналы при кодово-импульсной модуляции, при которой в моменты времени ti каждому разрешенному уровню yj ставится в соответствие определенный код – комбинация условных сигналов, в частности импульсов постоянного тока высокого уровня, обозначаемых 1, и импульсов низкого уровня, обозначаемых 0. Так, на рис. 1.3, м показаны две кодовые комбинации – 0101 и 1010, соответствующие уровням у4 и у8 (рис. 1.3, л) в моменты времени t1 и tm.

Приведенные примеры сигналов широко используются в электрических средствах измерений. Однако следует иметь в виду, что находят применение и другие сигналы.

1.5. Погрешности измерений

Основные понятия и виды погрешностей

Процедура измерений состоит из следующих основных этапов: принятия объекта модели измерения, выбор метода измерений, проведение эксперимента для получения численного значения результата измерения. Различного рода недостатки, присущие этим этапам, приводят к тому, что результат измерения отличается от истинного значения измеряемой величины.

Результат измерения практически всегда отличается от истинного значения физической величины – значения, которое выражает размер величины абсолютно точно. Истинное значение физической величины определить невозможно.

Отличие результата измерения от истинного значения объясняется несовершенством средств измерений, несовершенством способа применения средства измерений, влиянием условий выполнения измерения, участием человека с его ограниченными возможностями и т.д.

Отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины называют погрешностью измерения. Погрешность измерения х=х – хи, где х – измеренное значение; хи – истинное значение.

Поскольку истинное значение неизвестно, практически погрешность измерения оценивают, исходя из свойств средства измерений, условий проведения эксперимента и анализа полученных результатов. Полученный результат отличается от истинного значения, поэтому результат измерения имеет ценность только в том случае, если дана оценка погрешности полученного значения измеряемой величины. Причем чаще всего определяют не конкретную погрешность 33результата, а степень недостоверности

– границы зоны, в которой находится погрешность.

Часто применяют понятие «точность измерения», имея при этом в виду качество измерения, отражающее близость результата измерения к истинному значению измеряемой величины. Высокая точность измерения соответствует малой погрешности измерения.

В зависимости от способа выражения погрешности измерения различают абсолютную и относительную погрешности. Абсолютную погрешность х=х – х0 выражают в единицах измеряемой величины. Более наглядной характеристикой точности при сравнении различных результатов измерения является относительная погрешность = х/ х0 х/ х. Знак относительной погрешности определяется знаком х. Относительная погрешность может быть выражена в процентах.

В зависимости от источника возникновения погрешности делят на:

-инструментальные;

-методические;

-погрешности вычислений;

-погрешности, вносимые оператором.

Инструментальные погрешности

Погрешности, обусловленные несовершенством свойств используемых средств измерений, образуют инструментальную составляющую погрешности измерений. Допускаемые значения основной погрешности средств измерений указывают в нормативно-технической документации и на самих средствах. В условиях эксперимента у применяемых средств измерений могут возникнуть дополнительные погрешности из-за влияния внешних факторов (например, температуры окружающей среды, внешнего магнитного поля), неправильной установки прибора (например, вертикальная или наклонная установка прибора, который должен устанавливаться горизонтально).

Следует также иметь в виду, что включение средства измерений в цепь, где производится измерение, может изменить режим цепи за счет взаимодействия средства измерений и цепью (с объектом измерения).

Методические погрешности

Причины возникновения погрешности могут быть различными. Измерительные преобразования осуществляются с использованием различных физических явлений, на основании которых можно установить соотношение между измеряемой величиной объекта исследования и выходным сигналом средства измерений, по которому оценивается результат измерения. Точно установить это соотношение никогда не удается вследствие:

его принимаемой модели;

2)невозможности точного учета влияния внешних факторов;

3)недостаточной разработанности теории физических явлений, положенных в основу измерения;

4)использование простых, но приближенных аналитических зависимостей вместо более точных, но сложных.

Врезультате принимаемая зависимость между измеряемой величиной и выходным сигналом средства измерений всегда отличается от реальной, что приводит к погрешности, которую называют методической погрешностью измерения.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий методическую погрешность измерения.

Объектом исследования является источник переменного напряжения, амплитудное значение которого Um нужно измерить. На основании предварительного изучения объекта исследования за его модель принят генератор напряжения синусоидальной формы. Используя вольтметр, предназначенный для измерений действующих значений переменных напряжений, и зная соотношение между действующим и амплитудным значением синусоидального напряжения, получаем результат измерения в виде Um 2UV , где UV - показание вольтметра. Более тщательное изучение объекта

могло выявить, что форма измеряемого напряжения отличается от синусоидальной и более правильное соотношение между значением измеряемой величины и показанием вольтметра U m kUV , где k 2 . Таким образом, несовершенство принятой модели объекта исследования приводит к методической погрешности измерения U 2UV kUV .

Эту погрешность можно уменьшить, либо расчитав значение k на основе анализа формы кривой измеряемого напряжения, либо заменив средство измерений, взяв вольтметр, предназначенный для измерений амплитудных значений переменных напряжений, или осциллограф.

Погрешности вычислений

При проведение эксперимента может появиться необходимость в обработке промежуточных результатов измерения. Для этих целей удобно использовать средства вычислительной техники (микрокалькуляторы, микро-ЭВМ). Они могут внести свою составляющую погрешности, обусловленную неточностью выполнения вычислительных операций.

Погрешности, вносимые оператором

В процессе измерения часто принимает участие экспериментатор. Он может внести субъективную погрешность, которая является следствием индивидуальных свойств человека, обусловленных физическими особенностями его организма, 35скоростью реакции или

укоренившимися неправильными навыками. Например, если нескольким экспериментаторам поручить установить одно и тоже значение тока в цепи по аналоговому амперметру, то при всей тщательности установки значения тока будут отличаться друг от друга.

Погрешности в статическом и динамическом режимах

В зависимости от режима работы (статического или динамического) используемого средства измерений различают погрешности в статическом режиме (статические погрешности) и погрешности в динамическом режиме. В статическом режиме измеряемая величина и выходной сигнал (например, отклонение указателя), по которому оценивают результат измерения, являются неизменными во времени. В динамическом режиме выходной сигнал изменяется во времени. Типичным примером динамического режима работы средства измерений является измерение изменяющейся во времени величины. Особенностью динамического режима является то, что, помимо перечисленных выше погрешностей, характерных для статического режима, здесь возникает погрешность, обусловленная инерционными свойствами средства измерений. Инерция (тепловая, механическая, электрическая) средства измерений приводит к тому, что выходной сигнал не сможет успевать правильно реагировать на быстрые изменения входной измеряемой величины, искажая таким образом представление о характере этих измерений. Погрешность, обусловленную инерционными свойствами, называют динамической погрешностью и определяют ее как разность между погрешностью в динамическом режиме и статической погрешностью, соответствующей значению измеряемой величины в данный момент времени.

Поясним это на примере. Для измерения постоянной температуры некоторой среды в эту среду вносят термочувствительный измерительный преобразователь, являющийся составной частью используемого средства измерений температуры. Вследствие тепловой

погрешность xСТ xY x0 , а погрешность в динамическом режиме x(t) = x(t) - xo

По закономерностям проявления погрешности измерений делят на:

-систематические;

-случайные;

-грубые.

Систематические погрешности. Наличие систематических погрешностей может быть обнаружено путем анализа условий проведения эксперимента или повторными измерениями одного и того же значения измеряемой величины разными методами или приборами. Примером постоянной систематической погрешности может быть погрешность, обусловленная несоответствием истинного значения меры.

Примером переменной систематической погрешности может быть погрешность от закономерного изменения напряжения вспомогательного источника питания (разряд аккумулятора), если результат измерения зависит от значения этого напряжения.

Систематические погрешности могут быть в значительной степени исключены или уменьшены:

1)устранением источников погрешностей;

2)введение поправок, устанавливаемых на основании предварительного изучения погрешностей мер и приборов, применяемых при измерении;

3)использованием поправочных формул и кривых, выражающих зависимость показаний приборов от внешних условий (напр. температуры) и т.д.

Систематические погрешности могут быть также исключены путем нескольких проведенных определенным образом измерений. Применение того или иного способа зависит от требуемой точности, условий проведения эксперимента, наличия поправочных формул и других причин.

Следует иметь в виду, что полностью исключить систематические погрешности невозможно, так как методы и средства, с помощью которых обнаруживаются и оцениваются систематические погрешности, сами имеют свои погрешности. Поэтому всегда остается неисключенный остаток систематической погрешности.

Случайные погрешности. Эти погрешности, как правило, выражаются сложной совокупностью изменяющихся факторов, обычно неизвестных экспериментатору и трудно поддающихся анализу. Иногда причины, вызывающие случайные погрешности, могут быть известны (например, наводки от внешних электромагнитных полей), но если эти причины сами по себе имеют случайный, хаотический характер, то и погрешности, вызываемые ими, будут тоже случайными.

результат измерения (например, экранируют цепи). При невозможности устранения этих причин или когда они неизвестны, влияние случайных погрешностей на результат измерения можно уменьшить путем проведения многократных измерений одного и того же значения измеряемой величины с дальнейшей статистической обработкой полученных результатов методами теории вероятностей.

Грубая погрешность измерения существенно превышает ожидаемую погрешность при данных условиях. Результат измерения, содержащий грубую погрешность, иногда называют промахом. Он возникает при внезапных кратковременных изменениях условий эксперимента, например, при кратковременном отключении источника питания, механическом ударе, при неправильном отсчете экспериментатором показаний средств измерений и т.п. Грубые погрешности по своей природе тоже случайны и не могут быть предсказаны заранее. Промахи можно выявить путем обработки методами теории вероятностей результатов повторных измерений одного и того же значения измеряемой величины. После выявления они должны быть исключены.

Результат измерения всегда содержит как систематическую, так и случайную погрешности. Поэтому погрешность результата измерения х в общем случае можно рассматривать как случайную величину, тогда систематическая погрешность хС есть математическое ожидание этой величины, а случайная погрешность х – центрированная случайная величина. При этом х = хС + х.

1.6. Вероятностный подход к описанию погрешностей

От детерминистского к вероятностному подходу

На первой стадии изучения любых физических закономерностей задача состоит в том, чтобы выявить и четко определить (детерминировать) основные количественные соотношения этих закономерностей.

Таким образом, детерминистский подход неизбежен при решении исходных задач науки. Но при детерминистском подходе мы полагаем, что если на тело с массой m в течение времени t действовала сила F по направлению оси х, то это тело придет в движение именно по направлению оси х и остановится в точке А (рис 1.5, а), пройдя путь S и затратив на трение всю энергию, полученную им за время действия силы. Однако от опыта к опыту траектории движения тела оказываются разными, и оно останавливается с различными вероятностями в точках А’, А’’, А’’’ … области Z, расположенной вокруг точки

А (рис. 1.5, б).

38

Рис. 1.5. Траектория движения тела

Описание такой ситуации, когда следствия одной и той же причины оказываются разнообразными, дает статистическая физика, а результат детерминистского подхода рассматривается лишь как среднее значение (математическое ожидание) исходов опыта. При этом вероятностный подход не только не противоречит детерминистскому, а дополняет его вероятностным описанием возможных отклонений от среднего. Тем не менее, переход от детерминистского мышления, когда каждое следствие совершенно однозначно связано со своей причиной, к вероятностному, когда следствия одной и той же причины могут быть различными, оказывается очень трудным. Физика пережила этот период еще в позапрошлом веке, и теперь статистическая термодинамика или вероятностная (квантовая) механика воспринимаются как само собой разумеющиеся.

В теории измерительной техники дело обстоит далеко не так. Теория вероятностей существует уже более 100 лет, теория информации – более 20 лет, однако в теории измерительной техники они еще только-только начинают использоваться. В результате этого вопросы вероятностной и информационной теории погрешностей еще весьма слабо исследованы. Не исследован даже простейший вопрос – каковы законы распределения вероятностей погрешностей тех или иных приборов, каковы законы распределения вероятностей различных влияющих факторов и т.п. Однако наукой накоплен уже большой материал по вероятностной и информационной теории погрешностей, который, как это будет видно из дальнейшего изложения, позволяет решать многие практические вопросы.

Создавшееся положение в теории погрешностей в значительной степени объясняется тем, что детерминистские ограничения параметров средств измерений в виде «от - до», « не больше чем» и т.п. с первого взгляда кажутся более четкими и определенными, чем вероятностные сообщения о том, что «среднеквадратическое значение погрешности равно n%», когда с разными вероятностями возможно появление погрешностей и в n%, и в 2 n%, и даже 3 n%.

При детерминистском подходе кажется очевидным, что ток 1мА, протекая по резистору с сопротивлением 1 кОм, создаст на нем напряжение, равное 1 В. Однако ответ на этот вопрос вряд ли может быть однозначным. Действительно, говоря о токе 1 мА и 39сопротивлении 1 кОм, мы

подразумеваем не точные или мгновенные значения в каждом отдельном случае, а лишь некоторые средние значения. Таким образом, падение напряжения 1 В есть математическое ожидание результата, а практически его реализации могут лежать в некоторой его области вокруг 1 В (0,999 В, 1,000 В, 1,001 В и т.д.), причем разброс значений определяется вероятностными характеристиками и тока, и сопротивления. Такой вероятностный подход позволяет одновременно представлять как саму номинальную (детерминированную) функцию преобразования, так и присущую этому преобразованию неопределенность, т.е. его погрешности.

До недавнего времени в основе оценки погрешностей лежало предположение о существовании такого «предельного» значения погрешности, которое данное средство измерений «не имеет право» превзойти. Но в действительности никакого точного значения такой «предельной» погрешности не существует. Поэтому попытка указать точное значение границы погрешностей столь же бесперспективна, как и попытка указать точное значение границы области Z на рис. 1.5, б. Если эта граница будет указана близко к точке А, то в некоторых случаях тело будет и вне этой области. Если же границу удалить на столько, чтобы она не была превзойдена, то она будет на столько далеко располагаться от точки А, что уже будет нести мало информации о районе наибольшего числа фактических реализаций. Конечно, в подобных ситуациях возможны и любые «перестраховочные» оценки, исходящие «из наихудшего стечения обстоятельств». Однако такой метод оценки практически лишается содержания, если эти «наихудшие стечения обстоятельств» бывают крайне редко и вовсе не соответствуют наиболее часто встречающимся ситуациям, определяющим фактические условия работы прибора. Интуитивно чувствуя эти обстоятельства, каждый исследователь в какое-то число раз отступает от такой «предельной» оценки, а этот произвол приводит к неизвестности «запасов» оценок, указываемых в паспортах средств измерений, в результатах научных работ и т.п.

Объективно разобраться во всех этих вопросах можно, используя теорию вероятностей и основанную на ней теорию информации.

Основные сведения из теории вероятностей

Понятие вероятности

1.Стрелок из 100 выстрелов 92 раза попадает в цель, причем стабильно.

2.На заводе постоянно 98,4 % изделий годные, а 1,6 % изделий идет в брак. Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных случаев m к общему числу случаев n

Если все случаи не благоприятны, 40то m = 0 и P(A) = 0,

Вероятность выпуска годных изделий: 98,4/100 = 0,984;

Случайная величина – это величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно, какое именно.

Случайная величина будет полностью описана с вероятностной точки зрения, если мы точно укажем, какой вероятностью обладает каждое из событий, или, иначе говоря, установим так называемый закон распределения случайной величины.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Простейшая форма задания этого закона – таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины х и соответствующие им вероятности

р.

Графический закон распределения случайной величины может быть изображен так: по оси абсцисс откладываем возможные значения случайных величин, а по оси ординат – вероятности этих значений. Соединив точки,

получим многоугольник распределения (рис. 1.6.).

Непрерывная случайная величина имеет бесчисленное множество возможных значений, поэтому многоугольник

превращается в плавную кривую.

Удобнее воспользоваться не вероятностью события Х=х, а вероятностью событий Х< х, т.е. случайная величина Х принимает значения, меньшие некоторой текущей переменной x. Вероятность этого события, очевидно, зависит от х, и есть некоторая функция от х. Эта функция называется функцией распределения случайной величины Х и обозначается F(x): F(x)=P(X<x).

полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения, т.к. является одной из форм закона распределения.

Общие свойства функции распределения:

1.F(x) есть не убывающая функция,

2.При х = : F(x) = 0,

3.F(+ ) = 1.

Запишем в виде таблицы закон распределения случайной величины х при пяти опытах:

Построим функцию распределения:

1.х 0, F(x) = 0,

2.0 < x 1, F(x) = 0.2401,

3.1 < x 2, F(x) = 0.6517,

4.2 < x 3, F(x) = 0.9163,

5.3 < x 4, F(x) = 0.9919,

6.x > 4, F(x) = 1.

Рис. 1.7. График функции распределения

Получим график функции распределения F(x) (рис. 1.7).

Функция распределения непрерывной величины – непрерывная (рис. 1.8).