Методическое пособие 432

лучим схему на рис. 8.11 в. Запишем систему компонентных уравнений по закону Ома в виде

Уравнение второго закона Кирхгофа принимает вид

ur uL uC 0. (8.57)

Подставляя в него компонентные уравнения, получим дифференциальное однородное уравнение второго порядка для напряжения на емкости

В каноническом виде можно записать

где – коэффициент затухания (его размерность 1/с), а 0 –

резонансная частота колебательного контура. Тогда дифференциальное уравнение можно записать в виде

Запишем характеристическое уравнение

два корня которого имеют вид

131

Как видно, возможны три варианта корней характеристического уравнения, соответствующие трем режимам свободных колебаний в контуре:

1) два комплексных некратных корня (колебательный режим) при условии

0 или r 2 , (8.65)

где L/C – характеристическое сопротивление контура; 2) два действительных кратных корня (критический

Рассмотрим свободный процесс в колебательном режиме, который возникает при малом сопротивлении потерь в контуре (8.65). При этом условии из (8.64) запишем

– частота свободных колебаний в контуре. Как видно, име-

ются два комплексно-сопряженных корня с отрицательной действительной частью. Общее решение дифференциального уравнения (принужденная компонента отсутствует) имеет вид

Выразим через него ток индуктивности (в контуре) в виде

Подставим в (8.70) и (8.71) значение t 0 и приравня-

132

ем результаты начальным условиям (8.55), в результате получим систему уравнений для постоянных интегрирования

A1 p1 A2 p2 0.

Подставляя постоянные интегрирования в общее решение (8.70), получим

Используя выражения (8.68) для корней характеристического уравнения, можно записать

окончательно запишем выражение для свободного колеба-

133

Как видно, получена действительная функция времени, представляющая собой гармоническое колебание с частотой свободных колебаний СВ (8.61) и с затухающей по экспонен-

те амплитудой, множитель в показателе экспоненты (8.60)

– коэффициент затухания. Зависимость uC (t) при E 1В, r 20Ом, L 1мГн и C 1нФ показана на рис. 8.13.

Рис. 8.13

Пунктирной линией показано экспоненциальное затухание амплитуды свободных колебаний. При малом сопротивлении потерь r (большой добротности контура Q) колебания затухают медленно. В рассматриваемом случае добротность равна 50.

На рис. 8.14 показаны те же зависимости при больших сопротивлениях потерь r 200Ом (Q 5) и r 1000Ом (Q 1). Как видно, даже в последнем случае имеют место затухающие гармонические колебания.

134

Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения равно (1.30)

Выразим через uC ток в цепи (ток индуктивности)

Подставим значение t 0 и приравняем результат начальным условиям, тогда можно записать систему уравнений для постоянных интегрирования

тогда общее решение дифференциального уравнения принимает вид

Зависимость напряжения на емкости uC (t) в критиче-

ском режиме показана на рис. 8.16 сплошной линией, там же пунктиром отображается кривая в колебательном режиме.

Рис. 8.16

136

Рассмотрим свободный процесс в апериодическом режиме, который возникает при условии (8.67). При этом корни характеристического уравнения действительны, отрицательны и различны

Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид (8.70). Выражая из него ток в цепи (индуктивности) и используя начальные условия, получим значения постоянных интегрирования (8.69)

На рис. 8.17 сплошной линией показана зависимость напряжения на емкости в апериодическом режиме, штрихпунктирной линией показана аналогичная кривая в критическом режиме, а пунктирной – в колебательном.

137

139

В результате из восьмого уравнения с учетом (8.82) и (8.95) получим

Поделим обе части уравнения на множитель при старшей производной, тогда