Методическое пособие 165
.pdfФГБОУ ВО "Воронежский государственный технический университет"
Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к выполнению курсовой работы по дисциплине «Математика» для студентов направлений 22.03.02 «Металлургия», 27.03.01 «Стандартизация и метрология» »
Воронеж 2016
Составитель: канд. физ.– мат. наук В.В. Ломакин
УДК 519.2
Методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплине «Матема-
тика» для студентов направлений 22.03.02 «Металлургия», 27.03.01 «Стандартизация и
метрология»/ ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»;
сост. В.В. Ломакин. Воронеж, 2016, 23 с.
Методические указания составлены в целях оказания помощи студентам при выполнении ими курсовой работы по математике, которая содержит теоретическую и практическую части, связанные с разделом «Корреляционно–регрессионный анализ». Даны подробные рекомендации по проведению расчетов, варианты теоретического и практического заданий. Также приведены детальные требования к оформлению курсовой работы и график работы над ней.
Методические указания подготовлены в электронном виде и содержатся в файле Мет.указ.курс.раб(ЛП,СТ).pdf.
Табл.3. Библиогр.: 6 назв
Рецензент кандидат техн. наук, доц. В.В. Пешков
Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. И.Л. Батаронов
Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета
ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет», 2016
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КУРСОВОЙ РАБОТЫ
Методические указания составлены в соответствии с рабочими программами по специальности "Математика" для студентов направлений 22.03.02 «Металлургия» и
27.03.01 «Стандартизация и метрология» » Курсовая работа предусматривает более подробное изучение раздела «Корреляци-
онно-регрессионный анализ» и практики его применения при исследовании статистиче-
ских данных, относящихся к технологическим процессам или социально-экономическим явлениям.
Целями курсовой работы являются:
–развитие у студентов логического и алгоритмического мышления;
–углубление навыков самостоятельной работы с математической литературой;
–овладение методами корреляционно-регрессионного анализа, используемыми при анализе статистических данных.
Для достижения этих целей ставятся задачи:
– собрать и проанализировать литературные данные, относящиеся к рассматривае-
мому разделу корреляционно-регрессионного анализа;
–написать реферативный обзор этого раздела;
–обработать предлагаемые статистические данные, применяя методы корреляци-
онно-регрессионного анализа.
При написании курсовой работы студенту необходимо соблюдать следующие ос-
новные требования:
-достаточно высокий теоретический уровень;
-творческий подход к изучаемому материалу;
-обоснованное применение статистических методов исследования для обработки и анализа статистических данных;
-всесторонний анализ выводов, полученных в результате обработки этих данных;
– правильное научное оформление курсовой работы.
2. ЭТАПЫ ПОДГОТОВКИ КУРСОВОЙ РАБОТЫ
На первом этапе выполнения курсовой работы необходимо изучить имеющуюся учебную и научную литературу по предложенной теме (см. Приложение 1.) и составить план для теоретической части курсовой работы.
На втором этапе необходимо в соответствии с планом написать реферат (15-20
стр.) по рассматриваемой теме и поместить его в первый раздел.
На третьем этапе следует провести корреляционно-регрессионный анализ пред-
ложенных данных (см. Приложение 2.) и записать полученные результаты с выводами во втором разделе.
3. СОДЕРЖАНИЕ КУРСОВОЙ РАБОТЫ
Во введении обосновывается актуальность выбранной темы, формулируются цель и задачи исследования, называется объект и предмет курсовой работы. Объем введения не должен превышать 2-х страниц.
В первом разделе на основании изученных литературных источников ясно и дос-
тупно излагается рассматриваемая тема, освещаются основные понятия этой темы и ее практическое значение (с привлечением конкретных примеров). При этом широко исполь-
зуются учебники, специальные монографии, учебные пособия и методические рекоменда-
ции, материалы периодических экономических изданий. Список литературы должен со-
держать не менее 15 источников, включая ссылки на Интернет-сайты.
При написании данного раздела обязательны ссылки в квадратных скобках на ис-
пользуемые литературные источники. В конце реферата необходимо сформулировать чет-
кие обобщающие выводы об изученной теме и ее практической значимости. Также хоро-
шо бы привести предложения по устранению недостатков и совершенствованию предмета рассмотрения.
Во втором разделе на основании имеющихся данных определяются параметры линейной парной регрессии, производится проверка статистической значимости этих па-
раметров и проводятся их интервальные оценки.
Действия с числовыми данными лучше проводить в последовательности, представ-
ленной в приведенных ниже рекомендациях. При оформлении практической части курсо-
вой работы не следует повторять полностью эти подробные рекомендации, необходимо излагать текст самостоятельно.
2
4. ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ КУРСОВОЙ РАБОТЫ
Примерный объем курсовой работы 30-40 страниц машинописного текста, напеча-
танного через 1,5 интервала шрифтом "Times New Roman» 14 пт. на одной стороне стан-
дартного листа формата А4. Поля должны составлять: левое – 3 см.; правое – 1,5 см.;
верхнее и нижнее по 2 см. Все формулы следует набирать с помощью редактора формул
Windows или Microsoft Equation.
Работа должна иметь титульный лист с указанием наименования учебного учреж-
дения, кафедры, темы работы, фамилии исполнителя, курса, группы, факультета, фамилии руководителя, место выполнения и даты (см. Приложения 3, 4).
После титульного листа в работе размещают содержание курсовой работы (см.
аналогичное в конце данных указаний) с указанием страниц. В содержании приводится полное название разделов и их подразделов. При этом они должны точно соответствовать названиям разделов (подразделов), приведенных в тексте курсовой работы (здесь и далее использовано [1] )
Все страницы работы должны быть пронумерованы арабскими цифрами, простав-
ленными по центру внизу страницы (листа). Титульный лист и содержание не нумеруют
(но учитывают их при подсчете страниц: титульный лист является первой страницей). На последней странице автор ставит свою подпись и дату окончания выполнения работы.
По результатам обработки цифровых данных составляются таблицы, каждая из ко-
торых должна иметь название и быть пронумерована. Примечания к таблице размещают непосредственно под ней. Нумеруют таблицы в пределах каждого раздела двумя арабски-
ми цифрами ( например,: Таблица 2.1.), первая из которых есть номер раздела, вторая – номер таблицы. Допускается также сквозная нумерация в пределах всей курсовой работы до приложений. Приложения нумеруются отдельно.
Нумерационный заголовок располагается с левой стороны листа над таблицей. За-
головок таблицы должен отражать ее содержание, быть точным, кратким, без точки в кон-
це. Размещать таблицу следует после первой ссылки на нее в тексте, но не позднее сле-
дующей страницы. При переносе таблицы на другую страницу указываются слова: «Про-
должение таблицы 3.2» или «Окончание таблицы 3.2». Ссылка в тексте на таблицу дается по типу (таблица 3.2 или табл. 3.2).
Дробные числа в таблицах приводят в графах в виде десятичных дробей, причем числовые значения в пределах одной графы должны иметь одинаковое количество знаков после запятой.
3
Иногда статистические таблицы дополняются графиками, когда ставится цель под-
черкнуть какую-то особенность данных, провести их сравнение. Часто график использу-
ется и вне связи с таблицей. Вместе с тем график не может включить столько данных,
сколько может войти в таблицу; и на нем показываются всегда округленные данные. Гра-
фик обязательно сопровождается заголовком – над или под полем графика. В заголовке указывается, какой показатель изображен, в каких единицах измерения, где и когда он оп-
ределен.
Схемы, фотографии, графики, помещенные в курсовой работе, именуются рисун-
ками (или иллюстрациями). Все рисунки должны быть последовательно пронумерованы арабскими цифрами отдельно от таблиц. Обычно используется сквозная или индексаци-
онная (подглавная) нумерация, при которой номер рисунка состоит из номера раздела и порядкового номера рисунка, разделенных точкой, например, Рис.1.1. Рисунки должны иметь наименование и пояснительные данные (подрисуночный текст). Точка в конце под-
рисуночной подписи не ставится. Повторное упоминание об иллюстративном материале в тексте работы оформляется так: (см. табл. 1.1) или (см. рис. 1.1).
Пояснение значений, символов и числовых коэффициентов следует приводить не-
посредственно под формулой в той же последовательности, как и в формуле. Значение каждого символа и числового коэффициента следует давать с новой строки, первую стро-
ку пояснения начинают со слова «где» без двоеточия. Уравнения и формулы следует вы-
делять из текста в отдельную строку. Выше и ниже каждой формулы или уравнения должно быть оставлено не менее одной свободной строки. Если уравнение не умещается в одну строку, оно должно быть перенесено после знака равенства (=) или после знака плюс
(+), или после других математических знаков с их обязательным повторением в новой строке. Формулы и уравнения в работе следует нумеровать порядковой нумерацией в пре-
делах всей работы арабскими цифрами в круглых скобках в крайнем правом положении напротив формулы. Допускается нумерация формул в пределах раздела.
В курсовой работе могут использоваться узкоспециализированные сокращения. В
таких случаях необходимо один раз детально расшифровать, а в последующем их не по-
вторять.
Вспомогательный материал с промежуточными расчетами, первичными докумен-
тами, нормативные и справочные материалы оформляются в виде приложений, помеща-
ются в конце работы после библиографического списка и включаются в общую нумера-
цию страниц работы. В общий объем работы приложения не входят. Нумерация приложе-
ний осуществляется в правом верхнем углу арабскими цифрами, например, Приложение
1. Объемные таблицы и схемы можно вынести в приложение.
4
Библиографический список (список использованной литературы) включает в себя библиографические описания источников, составленные по ГОСТ 7.1–2003 и помещается в работе после заключения. Библиографические описания располагаются в алфавитном порядке. Описания на иностранных языках, а также ссылки на Интернет-ресурсы приво-
дятся в конце списка в соответствии с латинским алфавитом. Во главе списка приводятся нормативные акты Российской Федерации (законы, указы, постановления и т.д.), затем книги, статьи из журналов и газет, Интернет-ресурсы и другие источники.
Сведения о книгах включают: фамилию и инициалы автора, наименование книги,
место издательства и год издания, страницы, на которых расположен использованный ма-
териал. Если авторов три и более, указывается фамилия первого автора и ставится « и
др.». Сведения о статье из журналов и газет включают: фамилию и инициалы автора, за-
главие статьи, наименование журнала (газеты), год выпуска, том и номер издания, страни-
цы, на которых помещена статья. Наименование журнала или газеты пишут без кавычек.
При использовании материалов сети Интернет ссылка на сайт обязательна, при чем следу-
ет указывать дату копирования информации (т.к. сайты периодически обновляются).
В тексте курсовой работы следует делать ссылки на работы, из которых заимство-
ван материал или цитаты ( указывают фамилию автора и в квадратных скобках номер, под которым эта работа приведена в списке использованной литературы). Не допускаются подстраничные и внутритекстовые сноски. Нумерация ссылок ведется арабскими цифра-
ми независимо от деления текста курсовой работы на главы и параграфы. Ссылки одно-
временно на несколько источников допускаются в незначительных количествах: «Ряд ав-
торов [15], [32]…». При этом в квадратные скобки заключается номер каждого отдельно взятого источника. Знаки препинания, имеющиеся в тексте, окружающем ссылку, ставятся за ссылкой. Не допускается наличие ссылок во введении и заключении [1].
5
5. РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОГО ЗАДАНИЯ КУРСОВОЙ РАБОТЫ
Провести корреляционно-регрессионный анализ следующих данных:
|
|
xi |
161 |
|
183 |
149 |
|
119 |
|
230 |
|
201 |
|
278 |
|
219 |
|
180 |
|
185 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yi |
790 |
|
570 |
860 |
|
1010 |
|
520 |
|
650 |
|
570 |
|
620 |
|
730 |
|
730 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
139 |
|
129 |
|
91 |
|
|
132 |
|
|
160 |
|
|
290 |
|
|
160 |
|
|
231 |
|
|
316 |
|
|
213 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yi |
|
690 |
|
1060 |
|
1860 |
|
840 |
|
|
800 |
|
|
490 |
|
|
800 |
|
|
510 |
|
|
450 |
|
|
540 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
xi |
|
138 |
|
139 |
|
180 |
|
230 |
|
180 |
|
210 |
|
290 |
|
270 |
|
210 |
|
150 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
yj |
|
820 |
|
690 |
|
580 |
|
510 |
|
740 |
|
630 |
|
480 |
|
560 |
|
550 |
|
810 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.1. Графический метод и линейная регрессия.
Графический метод применяют для наглядного изображения формы связи между изучаемыми признаками генеральной совокупности. Для этого в прямоугольной системе координат необходимо построить график, откладывая по оси ординат индивидуальные значения результативного признака Y, а по оси абсцисс – индивидуальные значения фак-
торного (объясняющего) признака X. Совокупность получающихся точек называется по-
лем корреляции или корреляционным полем [2]. На основании полученного графика вы-
двигается гипотеза (для генеральной совокупности) о том, что связь между всеми возмож-
ными значениями признаков X и Y носит линейный характер: Y X . Этой связи со-
ответствует выборочное уравнение линейной парной регрессии (см. [2] – [6])
y |
y |
x bx a , |
(1) |
где a и b – статистические оценки параметров α и β, – случайная ошибка (отклонение,
возмущение).
Так как отклонения для каждого конкретного i–го наблюдения случайны и их зна-
чения в выборке неизвестны, то, как правило, считается, что – случайная величина с не-
зависимыми значениями и характеристиками M( ) 0, D 2
6
Оценки а и b параметров α и β проводятся по результатам выборки xi; yi ,
i 1,2,..., n с помощью метода наименьших квадратов, согласно которому
b |
xy |
|
x |
|
y |
, |
a |
y |
bx |
, |
(2) |
|||
|
|
|
|
x |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
где использовано обозначение
n |
|
xk yl 1 n xik yil . |
(3) |
i 1
С учетом (2) далее можно записать
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
xy |
x |
|
y |
|
|
|
y |
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
y |
y |
, |
|
x |
x |
, |
r |
|
, b r |
, |
(4) |
|||||||||||||||||||||||||
y |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|
xy |
|
x |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|||||
Выборочное уравнение линейной парной регрессии в этих обозначениях имеет вид:
y |
x |
y |
|
rxy |
|
y |
x |
x |
. |
(5) |
||
|
|
|
||||||||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5.2.Расчет параметров уравнения линейной парной регрессии.
Спомощью данных из исходной таблицы и (2) проводятся следующие расчеты:
|
|
1 |
n |
|
5763 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
21460 |
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||
x |
|
xi |
|
192,1; |
|
|
|
y |
|
yj |
|
715 |
715,3(3) ; |
||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
i 1 |
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j 1 |
|
|
|
30 |
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
1200261 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
17408000 |
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
x2 |
xi2 |
|
|
40008,7; |
|
|
|
y2 |
y2j |
580266 |
; |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i 1 |
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j 1 |
|
|
30 |
|
3 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
3800360 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
yi |
|
126678 |
126678,6(6) . |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n i 1 |
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Выборочные дисперсии и среднеквадратические отклонения согласно (3) равны
x2 x2 x 2 40008,7 192,1 2 3106,29,
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
y |
|
|
68564,8(8), |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
580266 |
|
|
715 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
x2 |
|
|
55,73; |
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
261,85. |
||||||||||||
|
x |
|
|
3106,29 |
|
y |
|
|
68564,89 |
|||||||||||||||||||
Для выборочной ковариации и выборочного коэффициента корреляции имеем
cov x, y xy x y 126678,67 192,1 715,33 10736,22,
7
r |
|
|
xy |
x |
|
y |
|
10736,22 |
0,7357. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
xy |
|
|
x |
y |
55,73 261,85 |
|
|||||
Коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1. Связи между признака-
ми могут быть слабыми и высокими (тесными). Эти критерии оцениваются следующим образом [5]:
Таблица 1. Шкала Чеддога
0,1< |
|
rxy |
|
<0,3 |
0,3< |
|
rxy |
|
<0,5 |
0,5< |
|
rxy |
|
<0,7 |
0,7< |
|
rxy |
|
<0,9 |
0,9< |
|
rxy |
|
<1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
слабая |
умеренная |
заметная |
высокая |
весьма высокая |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Связь между признаками также характеризует и знак коэффициента регрессии b
(или rxy ): если b 0, то связь между признаком Y и фактором X прямая, иначе – обратная.
В нашем случае rxy 0,7357 и связь между Y и X высокая и обратная.
Уравнение линейной парной регрессии для исходных данных имеет вид
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
x 192,1 |
|||
y x rxy |
x x y 0,7357 |
|||||||||||||
|
|
|
|
261,85 715,33 3,457x 1379,42 |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
x |
55,73 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
или
y |
x a bx 1379,42 3,46x. |
(6) |
Подставив в уравнение регрессии соответствующие значения х, можно определить выровненные (предсказанные) значения результативного показателя y(x) для каждого на-
блюдения.
5.3. Ошибка аппроксимации. Дисперсионный анализ.
Необходимо оценить качество уравнения линейной регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации (среднее отклонение рас-
четных значений от фактических) равна
|
|
1 |
n |
yi |
y |
xi |
1 |
n |
ei |
|
|
|
|
4,42 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
100%, |
A |
100% 14,72%. |
|||||||||||||
A |
|
|
|
|
|
|
|
100% |
|
|
|
|
|||||||||
n |
|
y |
i |
|
n |
|
y |
30 |
|||||||||||||
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
i 1 |
i |
|
|
|
|
|
|
||||
Поскольку ошибка меньше 15%, то (6) можно использовать в качестве выборочного ли-
нейного уравнения парной регрессии.
8