Методическое пособие 106
.pdfУровень значимости q 1 – целесообразно выбираемый
критерий проверки доверительной вероятности, позволяющий судить об оценке статистических параметров; обычно берется уровень значимости
q 0,05 или |
q 0,01. |
|
|
|
|
||
Величина |
|
называется доверительной |
вероятностью |
если |
|||
выполняется соотношение |
~ |
|
|
|
|||
|
|
|
~ |
|
|
(1.12) |
|
где a |
|
|
P(a 1 |
a a 2 ) , |
a - |
|
|
- точное значение некоторого параметра; |
оценка параметра; |
||||||
1 , 2 |
- наперед |
заданная |
величина ошибки |
для |
левого и |
правого |
интервалов, определяемая доверительной вероятностью .
Доверительный интервал ~ 1 ~ 2 определяет область
I (a ;a )
возможных значений несмещенной оценки a для данного параметра a . Если закон распределения симметричный (как закон Гаусса или
распределение Стьюдента), то доверительный интервал берется симметричным относительно математического ожидания.
Обычно доверительная вероятность задается, а доверительный
интервал вычисляется. |
|
|
Например: |
при доверительной вероятности 0,8 , |
уровень |
значимости q (1 0,8) 0,2 . |
|
|
Пусть для |
измеряемого параметра x ( n 20 30 ) |
получена |
несмещенная оценка m~x . Для того, чтобы оценить возможную ошибку необходимо назначить доверительную вероятность (например,=0,8, 0,9, 0,95, или 0,99) такую, при которой случайное событие можно считать практически достоверным. Найдем такое значение , для
которого выполняется условие |
|
|
|
|
|||||
P |
|
~ |
xi |
|
. |
|
|
(1.13) |
|
|
|
|
|
||||||
|
mx |
|
|
|
|||||
Тогда диапазон практически |
возможных значений ошибки, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
возникающей при замене x на mx , будет . |
|
|
|||||||
Перепишем (1.13) в виде |
|
|
|
|
|||||
~ |
~ |
. |
|
|
(1.14) |
||||
P mx |
x mx |
|
|
||||||
Равенство |
(1.14) означает, что неизвестное |
значение |
параметра x |
||||||
будет накрыто |
интервалом |
~ |
~ |
с |
доверительной |
||||
I mx ;mx |
вероятностью .
9
Границы интервала I : m~x x1 и m~x x2 называются
доверительными границами.
При использовании метода доверительных интервалов необходимо иметь в виду два случая:
точность измерения известна ( x задана);
точность измерения неизвестна.
Ив том и другом случае попадание истинного значения x в
доверительный интервал гарантируется с заданной |
доверительной |
вероятностью |
|
P m~x x m~x ,
где m~x - среднеарифметическое значение величины x , полученное при обработке экспериментальных данных; - положительная величина
ошибки, определяемая доверительной вероятностью.
Таким образом, определение границ доверительного интервала в обоих случаях сводится к вычислению
|
|
tкр ~x . |
|
|
||
|
|
|
n |
|
|
|
Тогда выражение для доверительного интервала примет следующий |
||||||
вид |
~x |
|
|
~x |
|
|
~ |
|
~ |
) , |
(1.15) |
||
I (mx tкр |
n |
; mx tкр |
n |
|||
|
|
|
|
|
||
где tкр - коэффициент доверительной вероятности. |
|
|||||
Доверительный интервал для математического ожидания. |
Когда |
точность измерения x известна, доверительную оценку математического
ожидания можно представить через функцию Лапласа, предположив, что ошибки измерения подчиняются нормальному закону распределения, которое описывает поведение случайных величин при бесконечно большом числе наблюдений. В этом случае вероятность ошибки (13)
P m~x xi можно записать через функцию Лапласа
Ф(x)( |
~x 2) , |
(1.16) |
где ~x x n ; n - количество измерений; Ф(x) - функция Лапласа (приложение, табл. 4).
Разрешив уравнение (16) относительно , получим
10
|
|
|
t |
x |
. |
(1.17) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
n |
|
|
где t |
|
2Ф(x) 1( ) - |
коэффициент доверительной вероятности; |
Ф(x) 1( ) - обратная функция Лапласа, т.е. такое значение аргумента, для которого функция Лапласа равна .
Таким образом, получим значение доверительной вероятности для
математического ожидания |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
mx x |
|
t |
x |
. |
|
|
|
|
|
(1.18) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Границы |
доверительного |
интервала |
при |
заданной |
доверительной |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
x |
|
|
вероятности |
определяются |
соотношениями |
|
xн mx t n |
и |
||||||||||
~ |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xв mx t |
n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Коэффициент доверительной вероятности t |
по Лапласу для n |
|||||||||||||
определяется в зависимости от по таблице 1.3. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0,8 |
|
0,85 |
|
0,9 |
|
0,95 |
|
0,98 |
0,99 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
t |
|
1,282 |
|
|
1,439 |
|
1,643 |
|
1,960 |
|
2,325 |
2,576 |
|
В том случае, когда точность измерения неизвестна, для определения доверительного интервала используют распределение Стьюдента ( t - распределение), которое обеспечивает возможность определения доверительных интервалов при ограниченном числе измерений.
Коэффициент доверительной вероятности t |
Стьюдента для степени |
||
свободы r n 1 определяется по |
таблице (приложение, |
табл.1) в |
|
зависимости от уровня значимости |
критерия |
проверки |
q 1 . |
Доверительны интервал для математического ожидания (1.19) будет интервалом, соответствующим доверительной вероятности .
I |
~ |
~ |
|
t |
|
~x |
~ |
|
t |
|
~x |
) . |
|
(1.19) |
(m |
x |
|
|
; m |
x |
|
|
|
||||||
|
, m |
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Доверительный |
интервал |
|
для дисперсии |
2 |
. В случае |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
использования для обработки данных вариационного ряда применяют хиквадрат 2 распределение (критерий Пирсона)
2 k ni npi 2 (1.20)
1npi
счислом степеней свободы r k 1 s , где k - число интервалов; s -
число неизвестных параметров закона распределения (для нормального
s 2 , для экспоненциального |
s 1, для Вейсбула-Гнеденко |
s 3). |
Поэтому для нормального распределения число степеней свободы r k 1. n - число независимых переменных, разбитых на k интервалов;
n - количество результатов в i - ом интервале; |
p* n n - наблюдаемая |
|
i |
i |
i |
частота попаданий измерений в каждый интервал; pi - теоретическая
вероятность попадания.
Построение доверительного интервала для дисперсии основано на том, что вероятность выхода случайной величины за пределы интервала
|
|
|
(n 1) ~2 |
|
(n 1) ~2 |
|
|
|
I , ~ |
|
|
x |
, |
|
x |
|
(1.21) |
|
2 |
|
2 |
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
вправо и влево были одинаковы и равны q 1 . |
|
|||||||
Чтобы построить интервал I |
с такими свойствами, необходимо по |
таблице 2 приложения найти соответствующие два значения критерия Пирсона 2 : одно 12 , отвечающее вероятности P1 q ; второе 22 – вероятности P2 1 q . Далее по формуле (1.21) вычисляются левая и
правая границы доверительного интервала для ~x2 , соответствующего
доверительной вероятности .
Пример 1. Произведено 10 независимых измерений нормально распределенной случайной величины, характеризующей в мм отклонение расстояния между форсунками смесительной головки ЖРД от требуемого по техническим условиям. Необходимо: 1) построить статистический ряд и гистограмму, найти оценки для математического ожидания и дисперсии; 2) построить соответствующие доверительные интервалы для математического ожиданииидисперсиипри 0,95 .
Результаты опытов представлены в виде простого статистического ряда (таб. 1.3).
Таблица 1.3
12
i |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
xi |
|
2,5 |
-0,2 |
-2,3 |
-1,25 |
-1,1 |
0,4 |
1,2 |
-2,5 |
0,5 |
-0,7 |
|
Еслирасположитьрезультатыопытов последовательно от xmin до xmax |
то простой статистический ряд примет вид представленный в таблице 1.4.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
Таблица 1.4 |
|
i |
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
7 |
8 |
9 |
10 |
||
xi |
-2,5 |
-2,3 |
|
-1,25 |
|
-1,1 |
|
-0,7 |
-0,2 |
|
0,4 |
0,5 |
1,2 |
2,5 |
|
|
Преобразуем |
выборку |
в интервальную |
форму статистического |
|||||||||||
(вариационного) ряда по формулам (1.7),(1.8). Здесь: |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
k 1 3,2 lg10 1 3,2 4 ; |
|
|
|
||||||||
|
|
x |
|
xmax xmin |
2,5 ( 2,5) 1,25 . |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
Найдем ni - число попаданий случайной величины в каждый разряд.
Последовательным просмотром всех численных значений отнесем каждое измерение к конкретному интервалу и подсчитаем количество измерений,
приходящихся на каждый интервал. Для значений xi попадающих на границы интервалов к ni и ni 1 прибавляем по 0,5. Далее разделим ni на
общее число измерений |
n и определим частоты попадания измерений в |
|||||||||||||
каждый |
интервал |
p . Вычислим также по |
формуле |
среднее |
значение |
|||||||||
|
|
xi |
xi 1 |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
каждого |
|
интервала. Результаты вычислений |
сведем в |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
i |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
таблицу 1.4, и построим гистограмму (рис.1.3). |
|
|
Таблица1.5 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x |
|
|
-2,5; -1,25 |
|
-1,25; 0 |
|
0; 1,25 |
|
1,25; 2,5 |
|||
|
|
ni |
|
|
|
2,5 |
|
|
3,5 |
|
3 |
|
|
1 |
|
pi ni n |
|
|
0,25 |
|
|
0,35 |
|
0,3 |
|
|
0,1 |
||
|
pi* i |
|
|
0,2 |
|
|
0,28 |
|
0,24 |
|
|
0,08 |
||
|
|
xi |
|
|
|
-1,875 |
|
|
-0,625 |
|
0,625 |
|
1,875 |
|
|
Вычислим |
~ |
~ |
2 |
по формулам (1.10) и (1.11): |
|
|
|
||||||
|
mx и x |
|
|
|
13
~ |
|
k |
|
|
* |
|
~2 |
|
n |
k |
|
~ |
|
|
2 |
|
|
; x |
xi xi 1 |
|
|
m |
|
x |
p |
|
; |
|
|
|
|
(x |
m |
|
) |
|
p |
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||
|
x |
i 1 |
i |
i |
|
|
x |
|
n 1i 1 |
i |
|
x |
|
|
i |
i |
|
m~x 1,875 0,25 ( 0,625) 0,35 0,625 0,3 1,875 0,10,469 0,219 0,188 0,188 0,312.
~x2 10101 ( 1,563)2 0,25 ( 0,313)2 0,35 (0,878)2 0,3 (4,783)2 0,1
109 0,611 0,034 0,263 0,478 1,54.
Тогда ~x |
1,54 1,24 . |
Рис. 1.3. Гистограмма
|
~ |
|
Построим доверительный интервал для mx . |
||
Для 0,95 , |
q 1 0,95 0,05 , |
r n 1 10 1 9 по |
таблице 1 приложения найдем коэффициент Стьюдента tкр 2,262 . По формуле (1.13) вычислим допустимую ошибку
tкр |
~x |
2,262 |
1,24 |
0,888 . |
|
n |
|
10 |
|
|
~ |
|
|
|
Доверительный интервал для mx будет |
|
|
I~ 0,312 0,888; 0,312 0,888 1,2; 0,536 . ;
,m
xн 1,2 ; xв 0,536 . P 1,2 x 0,536 0,95 .
Построим доверительный интервал для ~x2 .
14
|
Вычислим вероятности |
|
|
|
P1 и P2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
P1 1 q 1 0,05 0,95 ; |
P2 q 0,05 0,05 . |
|
|||||||||||||||||||||
|
По таблице 2 приложения, для полученных P , P и |
r n 1 9 , |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
найдем критерии Пирса 2 |
|
2,53 и |
2 |
19,68 . |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Вычислим |
|
левую |
|
и |
|
правую |
|
границы |
доверительного интервала |
||||||||||||||
|
|
(n 1) ~2 |
|
(n |
1) |
~2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
I |
~ 2 |
|
|
|
|
x |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
левая граница - |
|
(n 1) ~x2 |
|
|
|
(10 1) 1,54 |
|
0,70 , |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
19,68 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
правая граница - |
(n 1) ~x2 |
|
|
|
(10 1) 1,54 |
5,48 . |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
2,53 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Доверительный интервал для дисперсии |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I , 2 |
|
(0,70; 5,48) . |
|
|
|||||||||||
Ответ: |
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
~2 |
1,54 |
; |
||||
|
|
|
mx 0,312 |
|
|
I |
|
|
x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
I ,m 1,2;0,536 ; |
~ 2 (0,70; 5,48) . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание к лабораторной работе №1
Произведено n независимых измерений над нормально
распределенной случайной величиной X , характеризующей процент выхода бракованных форсунок с технологической линии. Результаты опытов сведены в таблицы 1.6 - 1.15.
Необходимо, используя данные варианта задания:
1)Преобразовать простой статистический ряд в вариационный и построить гистограмму случайного процесса;
2)Найти математическое ожидания m~x и дисперсию ~x2 для
оценки статистического ряда.
3) Построить соответствующие доверительные интервалы для математического ожидания m~x и дисперсии ~x2 с заданной доверительной вероятностью .
Порядок выполнения работы
15
1. Преобразовать простой статистический ряд в форму вариационного ряда и построить гистограмму:
- вычислить количество интервалов k и длину разрядов ; - определить количество попаданий в интервалы ni ;
- вычислить наблюдаемую частоту попаданий pi ;
- оформить статистический ряд в виде таблицы; - построить гистограмму.
xидисперсии ~x2 .
3.Построить доверительный интервал для m~x с заданной~2. Найтиоценкидляматематическогоожидания m
доверительной вероятностью :
- найти r и по заданному вычислить q ;
- по таблице 1 приложения найти критерий Стьюдента tкр ;
- построить доверительный интервал I ~ .
,m
4. Построить доверительный интервал для ~x2 ; - по значению q вычислить вероятности P1 и P2 ;
- по таблице 2 приложения найти критерии Пирса 12 , 22 ;
-построить доверительный интервал I , ~2 .
5.Сделать выводы, оформить работу.
Контрольные вопросы
1)Простой статистический ряд.
2)Математическое ожидание.
3)Дисперсия.
4)Гистограмма.
5)Функция Лапласа.
6)Закон нормального распределения.
7)Доверительная вероятность.
8)Доверительный интервал.
16
Таблицы №№ 1.6 -1.15 вариантов задания для выполнения лабораторной работы №1
Таблица № |
Таблица№ |
Таблица№ |
Таблица№ |
Таблица№ |
||||||
|
1.6 |
|
1.7 |
|
1.8 |
|
1.9 |
|
1.10 |
|
0,95 |
0,9 |
0,8 |
0,95 |
0,98 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
xi |
i |
xi |
i |
xi |
i |
xi |
i |
|
xi |
1 |
2,201 |
1 |
10,95 |
1 |
4,77 |
1 |
7,49 |
1 |
|
7,89 |
2 |
3,19 |
2 |
8,23 |
2 |
3,75 |
2 |
5,56 |
2 |
|
7,52 |
3 |
1,99 |
3 |
12,88 |
3 |
3,79 |
3 |
5,80 |
3 |
|
6,29 |
4 |
2,03 |
4 |
10,47 |
4 |
6,39 |
4 |
5,87 |
4 |
|
7,86 |
5 |
3,04 |
5 |
11,47 |
5 |
5,98 |
5 |
5,39 |
5 |
|
5,84 |
6 |
0,19 |
6 |
11,68 |
6 |
4,23 |
6 |
4,34 |
6 |
|
8,88 |
7 |
3,16 |
7 |
11,18 |
7 |
4,40 |
7 |
5,25 |
7 |
|
7,44 |
8 |
1,33 |
8 |
10,00 |
8 |
5,00 |
8 |
7,161 |
8 |
|
7,22 |
9 |
0,42 |
9 |
9,42 |
9 |
5,212 |
9 |
7,22 |
9 |
|
7,25 |
10 |
2,58 |
10 |
10,86 |
10 |
3,54 |
10 |
5,3 |
10 |
|
8,22 |
11 |
3,88 |
11 |
9,44 |
11 |
5,41 |
11 |
8,20 |
11 |
|
6,47 |
12 |
2,73 |
12 |
10,81 |
12 |
5,12 |
12 |
6,83 |
12 |
|
7,67 |
13 |
2,59 |
13 |
9,73 |
13 |
4,94 |
13 |
6,90 |
13 |
|
6,89 |
14 |
1,08 |
14 |
11,08 |
14 |
4,49 |
14 |
6,51 |
14 |
|
8,52 |
15 |
2,09 |
15 |
11,06 |
15 |
4,84 |
15 |
5,29 |
15 |
|
6,69 |
16 |
3,5 |
16 |
10,99 |
16 |
3,77 |
16 |
6,86 |
16 |
|
8,72 |
17 |
0,9 |
17 |
9,9 |
17 |
5,25 |
17 |
4,84 |
17 |
|
6,58 |
18 |
2,28 |
18 |
10,54 |
18 |
5,14 |
18 |
7,88 |
18 |
|
6.57 |
19 |
2,14 |
19 |
8,65 |
19 |
6,49 |
19 |
6,34 |
19 |
|
7,65 |
20 |
1,72 |
20 |
9,56 |
20 |
4,56 |
20 |
5,08 |
20 |
|
6,95 |
17
|
|
|
|
|
|
Продолжение таблицы №№ 1.6 -1.15 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица |
Таблица |
Таблица |
Таблица |
Таблица |
||||||
№1.11 |
|
№1.12 |
№1.13 |
№1.14 |
№1.15 |
|||||
0,95 |
0,99 |
0,9 |
0,8 |
0,99 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
xi |
i |
|
xi |
i |
xi |
i |
xi |
i |
xi |
1 |
7,89 |
1 |
|
8.14 |
1 |
2.55 |
1 |
10.00 |
1 |
14.04 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
9,52 |
2 |
|
8.73 |
2 |
3.54 |
2 |
9.41 |
2 |
14.92 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
7,88 |
3 |
|
9.61 |
3 |
2.21 |
3 |
10.86 |
3 |
15.83 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
9,72 |
4 |
|
9.21 |
4 |
4.4 |
4 |
9.44 |
4 |
15.43 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
7,57 |
5 |
|
7.34 |
5 |
4.57 |
5 |
10.81 |
5 |
14.27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
7,57 |
6 |
|
9.88 |
6 |
3.06 |
6 |
9.73 |
6 |
15.42 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
8,65 |
7 |
|
9.14 |
7 |
1.8 |
7 |
11.08 |
7 |
14.73 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
6,87 |
8 |
|
10.11 |
8 |
1.45 |
8 |
11.16 |
8 |
13.75 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
7,92 |
9 |
|
10.05 |
9 |
3.71 |
9 |
10.99 |
9 |
13.79 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
8,07 |
10 |
|
9.08 |
10 |
2.22 |
10 |
9.90 |
10 |
16.39 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
5,86 |
11 |
|
8.48 |
11 |
2.55 |
11 |
10.54 |
11 |
15.98 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
7,50 |
12 |
|
9.12 |
12 |
1.31 |
12 |
10.10 |
12 |
15.89 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
8,83 |
13 |
|
8.54 |
13 |
4.49 |
13 |
8.65 |
13 |
15.51 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
8,08 |
14 |
|
9.54 |
14 |
2.26 |
14 |
9.56 |
14 |
14.28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
8,56 |
15 |
|
8.21 |
15 |
3.42 |
15 |
9.44 |
15 |
15.86 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
7,25 |
16 |
|
10.41 |
16 |
1.9 |
16 |
9.49 |
16 |
13.84 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
8,61 |
17 |
|
10.57 |
17 |
2.61 |
17 |
8.81 |
17 |
16.88 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
7,77 |
18 |
|
9.06 |
18 |
3.28 |
18 |
6.72 |
18 |
15.43 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
8,59 |
19 |
|
7.73 |
19 |
4.23 |
19 |
10.43 |
19 |
15.21 |
|
|
|
|
|
|
|
20 |
11,35 |
|
|
20 |
7,04 |
20 |
|
10,85 |
20 |
4.22 |
20 |
15.25 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2. Лабораторная работа 2. Выравнивание статистических рядов
Цель лабораторной работы - для заданного объема статистического
18