2.2. Вырожденный электронный газ в металлах

Распределение электронов по различным квантовым состояниям в той или иной системе подчиняется принципу Паули, согласно которому в одном состоянии (с одинаковым набором четырех квантовых чисел) не может быть более одного электрона.

Отсюда следует, что все свободные электроны в металле не могут располагаться на одном самом низшем энергетическом уровне даже при 0 К. Согласно принципу Паули, электроны вынуждены последовательно заполнять энергетические уровни в направлении возрастания энергии.

Для фермионов среднее число частиц в квантовом состоянии и вероятность заселённости квантового состояния совпадают, так как квантовое состояние либо может быть не занято, либо в нем будет находиться одна частица. Это означает, что для фермионов

, (2.7)

где – функция распределения электронов по состояниям (2.2).

Если – химический потенциал электронного газа при

Т = 0 К, то согласно (2.2) и (2.7), среднее число электронов в квантовом состоянии с энергией Е равно

. (2.8)

Из (2.8) следует, что при Т = 0 К функция распределения при и , если .

График этой функции приведен на рис. 2.1 а, из которого следует, что при Т = 0 К все нижние квантовые состояния, вплоть до состояния с энергией, , заняты электронами, а все состояния с энергией, большей , свободны.

а)	б)
Рис. 2.1

Следовательно, есть максимальная кинетическая энергия, которую могут иметь электроны проводимости в металле, при 0 К. Величину принято называть энергией или уровнем Ферми и обозначать .

Энергия Ферми рассматривается как параметр распределения ферми-частиц, а само распределение Ферми-Дирака обычно записывают в виде

. (2.9)

Для металлов при не слишком высоких температурах выполняется неравенство .

Это означает, что электронный газ в металлах практически всегда находится в состоянии сильного вырождения. Температура Т₀ вырождения находится из условия . Она определяет границу, выше которой квантовые эффекты перестают быть существенными. Соответствующие расчёты показывают, что для электронов в металле , т.е. для всех температур, при которых металл может существовать в твердом состоянии, электронный газ в металле вырожден.

При температурах, отличных от 0 К, функция распределения Ферми-Дирака, плавно изменяется от 1 до 0 в узкой области энергий порядка кТ в окрестности (рис. 2.1, б).

Из (2.8) видно, что при функция распределения при любой температуре (рис. 2.1, б).

Поэтому со статистической точки зрения уровень Ферми при любой температуре представляет собой энергетический уровень, вероятность заполнения которого равна .

Если принять условие тождественности энергетических состояний двух электронов с одинаковым набором трех квантовых чисел n, ℓ, m_ℓ, но с противоположными направлениями спинов, то можно считать, что на одном энергетическом уровне может находиться два электрона.

На рис. 2.2 наглядно представлено распределение электронов по состояниям при Т = 0 К (рис. 2.2 а) и Т > 0 К (рис. 2.2 б).

а)	б)
Рис. 2.2

Работа выхода электронов из металла определяется расстоянием от уровня Ферми до нулевого энергетического уровня (рис. 2.2 а). При Т > 0 К энергетические переходы осуществляют электроны вблизи уровня Ферми в полосе шириной 2кТ (рис. 2.2 б).

В металлах, где концентрация свободных электронов очень высока (≈ 10²⁸ м^-3), электронный газ всегда находится в вырожденном состоянии и описывается распределением Ферми-Дирака.

С невырожденным электронным газом приходится иметь дело в собственных (беспримесных) и в слаболегированных полупроводниках. Концентрация свободных электронов в таких полупроводниках значительно ниже, чем в металлах, и колеблется в зависимости от содержания активных примесей от 10¹⁶ – 10¹⁹ до 10²³– 10²⁴ м^-3. При таких концентрациях электронный газ становится невырожденным и может описываться распределением Максвелла-Больцмана.