- •Н.В. Акамсина, д.К. Проскурин, ю.С. Сербулов, е.А. Шипилова методы принятия решений
- •230400 «Информационные системы и технологии»
- •Часть 1. Табличный редактор Microsoft® Excel 9
- •Часть 2. Лабораторный практикум 24
- •2.1. Постановка задачи 55
- •3.1. Постановка задачи 84
- •4.1. Постановка задачи 96
- •Введение
- •Часть 1. Табличный редактор Microsoft® Excel
- •1. Возможности Excel при работе с функциями
- •1.1. Математические функции
- •1.2. Инженерные функции
- •1.3. Логические функции
- •2. Решение алгебраических уравнений
- •2.1. Инструмент Подбор параметра
- •2.2. Инструмент Поиск решения
- •Часть 2. Лабораторный практикум Теоретические сведения
- •Этапы решения графического метода задач линейного программирования
- •1.3. Задания
- •1.4. Ход работы
- •Контрольные вопросы
- •2.2. Теоретический материал для изучения
- •2.3. Задания
- •2.4. Ход работы
- •Контрольные вопросы
- •3.3. Задания
- •3.4. Ход работы
- •4.3. Задания
- •4.4. Ход работы
- •Контрольные вопросы
- •Оформление отчета
- •Заключение
- •Библиографический Список рекомендуемой литературы
- •3 94006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
Этапы решения графического метода задач линейного программирования
Пусть задача линейного программирования задана в двумерном пространстве, т. е. ограничения содержат две переменные, т.е. она может быть решена графически. Графический метод решения ЗЛП состоит из следующих этапов.
Этап 1
Сначала на координатной плоскости x1Ox2 строится допустимая многоугольная область (область допустимых решений, область определения), соответствующая ограничениям.
При этом могут быть получены следующие области:
Основной случай – получающаяся область имеет вид ограниченного выпуклого многоугольника (рис. 2.2, а).
Неосновной случай – получается неограниченный выпуклый многоугольник, имеющий вид, подобный изображенному на рис. 2.2, б.
Возможен случай, когда неравенства противоречат друг другу и допустимая область вообще пуста.
Рис. 2.2. Области определения решения:
а – основной случай, б – неосновной случай
Этап 2
Строится вектор , показывающий направление целевой функции. Этот вектор показывает направление наискорейшего изменения целевой функции. Прямая , перпендикулярная вектору–градиенту, является линией уровня целевой функции. В любой точке линии уровня целевая функция принимает одно и то же значение.
Приравняем целевую функцию постоянной величине “a”. Меняя значение “a”, получим семейство параллельных прямых, каждая из которых является линией уровня.
Важное свойство линии уровня линейной функции состоит в том, что при параллельном смещении линии в одну сторону уровень только возрастает, а при смещении в другую сторону – убывает.
Этап 3
При поиске максимума ЦФ необходимо передвигать целевую прямую в направлении вектора , при поиске минимума ЦФ – против направления вектора . Последняя по ходу движения вершина ОДР будет точкой максимума или минимума ЦФ.
Вычисляют координаты точки и значение целевой функции в этой точке. Для нахождения ее координат достаточно решить два уравнения прямых, получаемых из соответствующих ограничений и дающих в пересечении точку максимума.
Если такой точки (точек) не существует, то можно сделать вывод о неограниченности ЦФ на множестве планов сверху (при поиске максимума) или снизу (при поиске минимум).
Пример. Решить задачу линейного программирования графическим способом.
Вернемся к целевой функции: . Допустим, значение функции L = 1 (абсолютно произвольно выбранное число), тогда . Данное уравнение является уравнением прямой на плоскости. Известно, что данная прямая перпендикулярна вектору, координатами которого являются коэффициенты функции, а именно вектору .
Следовательно, с геометрической точки зрения, исходная функция L изображается как множество прямых, перпендикулярных вектору .
Рис. 2.3. Допустимая область решения
Построим вектор , который изображен на рис. 2.3. Видно, что значение функции будет возрастать при перемещении прямой в направлении вектора . Будем перемещать прямую, перпендикулярную вектору , до тех пор, пока она полностью не пройдет область допустимых решений. В нашем случае касание прямой перед выходом из области допустимых решений произойдет в точке пересечении прямых и . В данной точке значение функции будет наибольшим.
Решая совместно эти два уравнения, получим координаты этой точки x1 = 1; x2 = 2. При этом значение целевой функции , что и дает ее максимальное значение.
Следует обратить внимание на то, что оптимальный план, как правило, соответствует какой-то вершине многоугольника, изображающего допустимую область. Но может случиться так, что решение не будет единственным. Но и в этом случае вершины, соответствующие границам этой стороны, дают оптимальные планы нашей задачи линейного программирования. Таким образом, вершины допустимой области играют в решении задач линейного программирования особую роль. Если допустимая область не ограничена, то и значение целевой функции может быть неограниченным.
Подводя итог, можно сформулировать следующие положения:
Допустимая область – это выпуклый многоугольник.
Оптимум достигается в вершине допустимой области (если допустимая область ограничена и не пуста).
Ограниченность целевой функции в допустимой области является необходимым и достаточным условием разрешимости задачи.