13. Система двух случайных величин

13.1. Понятие о системе нескольких случайных величин

До сих пор рассматривались случайные величины, возможные значения которых определялись одним числом. Такие величины называют одномерными. Например, число очков, которое может выпасть при бросании игральной кости, — дискретная одномерная величина; расстояние от орудия до места падения снаряда — непрерывная одномерная случайная величина.

Кроме одномерных случайных величин изучают величины, возможные значения которых определяются двумя, тремя,. .., п числами. Такие величины называются естественно двумерными, трехмерными, . . ., n-мерными.

Будем обозначать через (X, Y) двумерную случайную величину. Каждую из величин X и Y называют составляющей (компонентой); обе величины X и Y, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин. Аналогично п -мерную величину можно рассматривать как систему п случайных величин. Например, трехмерная величина (X, Y, Z) определяет систему случайных величин X, Y и Z. Например, станок-автомат штампует стальные плитки. Если контролируемыми размерами являются длина X и ширина Y, то имеем двумерную случайную величину (X, Y); если же контролируется и высота Z, то имеем трехмерную величину (X, Y, Z).

Двумерную случайную величину (X, Y) геометрически можно истолковать либо как случайную точку М (X, Y) на плоскости (как точку со случайными координатами), либо как случайный вектор . Трехмерную случайную величину геометрически можно истолковать как точку М (Х, Y, Z) в трехмерном пространстве или как вектор .

Целесообразно различать дискретные (составляющие этих величин дискретны) и непрерывные (составляющие этих величин непрерывны) многомерные случайные величины.

13.2. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины

Законом распределения дискретной двумерной случайной величины называют перечень возможных значений этой величины, то есть пар чисел и их вероятностей р (i = 1, 2, .... п; j = 1, 2, .... т). Обычно закон распределения задают в виде таблицы с двойным входом (табл. 15).

Первая строка таблицы содержит все возможные значения составляющей X, а первый столбец — все возможные значения составляющей Y. В клетке, стоящей на пере­сечении «столбца » и «строки », указана вероятность р того, что двумерная случайная величина примет значение .

Так как события образуют полную группу, то сумма вероятностей, помещенных во всех клетках таблицы, равна единице.

Таблица 15

Y	X
	р	р		р		р
	р	р		р		р
	р	р		р		р

Зная закон распределения двумерной дискретной случайной величины, можно найти законы распределения каждой из составляющих. Действительно, например, события , , …, несовместны, поэтому вероятность Р того, что X примет значение , по теореме сложения такова:

Р = р + р +…+ р .

В общем случае, для того, чтобы найти вероятность Р , надо просуммировать вероятности столбца . Аналогично сложив вероятности «строки », получим вероятность Р .

Вероятность события, состоящего в том, что X примет значение, меньшее x, и при этом Y примет значение, меньшее y, обозначим через . Если x и y будут изменяться, то будет изменяться и , то есть - функция от x и y.

Функцией распределения двумерной случайной величины называют функцию , определяющую для каждой пары чисел x и y вероятность того, что X примет значение, меньшее x, и при этом Y примет значение, меньшее y:

.

Геометрически это равенство можно истолковать так:

есть вероятность того, что случайная точка попадет в бесконечный квадрант с вершиной , расположенный левее и ниже этой вершины (рис. 7).

Свойства функции распределения двумерной случайной величины

1. Значения функции распределения удовлетворяют двойному неравенству .

2. есть неубывающая функция по каждому аргументу , если ; , если ;

3. Имеют место предельные соотношения:

1) ; 2) ; 3) ;

4) .

4. а) При y= функция распределения системы становится функцией распределения составляющей X: .

б) При x= функция распределения становится функцией распределения составляющей Y: .