1. Прямое преобразование Лапласа
Преобразованием Лапласа функции действительного переменного называется функция комплексного переменного , определяемая формулой
.
(1)
Функция называется оригиналом и должна удовлетворять условиям:
1)
кусочно-непрерывная однозначная функция
2)
3)
.
Эти условия обеспечивают абсолютную сходимость несобственного интеграла (1.1) в полуплоскости Re.
Функцию называют изображением для , она является аналитической в области Re. Соответствие между оригиналом и его изображением обозначают символически или .
Для нахождения изображений наряду с формулой (1) могут быть использованы следующие свойства:
1.
Линейность. Если
то
где
– любые комплексные постоянные.
2.
Теорема подобия. Если , то
.
3. Смещение изображения. Если , то , где – любое комплексное число.
4. Запаздывание оригинала. Если , то для любого . Здесь – единичная функция Хэвисайда, которая равна 1 при и 0 при .
5. Дифференцирование изображения. Если , то
…..………
.
6. Интегрирование оригинала. Если , то .
7. Интегрирование изображения. Если и является оригиналом, то .
8.
Умножение изображений. Если
,
а и непрерывны на промежутке , то
(2)
9. Формула Дюамеля. Если , то
2. Обратное преобразование Лапласа
Рассмотрим теперь обратную задачу: по известному изображению будем находить оригинал . Сделать это по формуле обращения
крайне затруднительно, поэтому при отыскании оригиналов следует использовать таблицу изображений, свойства преобразования Лапласа и теорему разложения: если – изолированные особые точки дробно-рационального изображения , то оригинал находится по формуле
.
(3)
Заметим,
что если
и все особые точки являются простыми
полюсами, то:
(4)
3. Теорема об изображении периодических оригиналов
Теорема:
Если , где
и
,
а – периодическая функция
,
то
.
(5)
Доказательство: Представим изображение функции в виде суммы интегралов:
Первый
интеграл оставим без изменений, во
втором выполним подстановку
,
в третьем интеграле возьмем подстановку
. Получим:
Так как по условию нам дано, что функция периодическая, то . Вынесем за знак интеграла множители, которые не нужно интегрировать. Получим:
Но
при
,
следовательно:
Тогда
Выражение, стоящее в скобках является бесконечно убывающей геометрической прогрессией со знаменателем , сумма которой равна , следовательно , что и требовалось доказать.
4. Теорема о дифференцировании оригиналов
Теорема:
Если функции
…,
являются оригиналами и , то
,
,
………………… (6)
Доказательство: Согласно формуле (1) , тогда
.
Вычислив этот интеграл по частям, и учитывая, что , получим:
тогда
Аналогичным образом получаем формулу для n-ой производной:
.
5. Расчетные задания
Задача
1. Найти изображение функций и
,
если
Используя свойство 5 и таблицу изображений, получаем:
.
Применив свойство о смещении изображения, получим:
.
По формуле (6) имеем:
.
Задача 2. Найти изображение функции, заданной графически.
Составим уравнения наклонных прямых. Уравнение первой прямой имеет вид:
Уравнение второй прямой имеет вид:
.
Таким образом, будет иметь аналитически заданную функцию:
Используя
функцию Хэвисайда,
запишем в виде:
Применяя свойство 4 о запаздывании оригинала, получим:
Задача
3. Функция
при
равна нулю, а при является периодической:
Найдем изображение данной функции. По формуле (5) прямого преобразования Лапласа мы имеем:
.
По формуле (1) найдем:
Из тригонометрии мы знаем, что , тогда преобразуем изображение к следующему виду:
.
После вычисления определённых интегралов и подстановки пределов получим:
По формуле (3) имеем:
Задача 4. С помощью вычетов найти оригинал для изображения Ответ записать в действительной форме.
Найдем особые точки данной функции. Для этого приравняем знаменатель функции к 0:
Получим
3 полюса:
Во всех 3 случаях кратность полюсов
равна 1.
По формуле (4) будем иметь:
Задача 5. Найти оригинал по заданному изображению
Преобразуем данное изображение к следующему виду:
Пусть , тогда Найдем особые точки функции . Для этого приравняем знаменатель функции к 0:
Получим
2 полюса:
.
Кратность первого полюса кратность
второго .
По формуле (3) будем иметь:
После сложения вычетов получим:
По свойству о запаздывании оригинала получаем:
Задача
6. Операционным методом решить
дифференциальное уравнение при заданных
начальных условиях
.
Пусть , тогда по формуле (2) получим:
Операторное уравнение будет иметь вид:
Выразим
из данного уравнения
:
Найдем особые точки данного изображения. Для этого приравняем знаменатель к 0:
Получим два полюса и . Кратность обоих полюсов равна двум.
По формуле (3) будем иметь:
Суммируя вычеты и применяя формулу Эйлера, получим:
Задача
7. По формуле Дюамеля найти решения
дифференциальных уравнений
,
удовлетворяющих условиям
.
Составим вспомогательное уравнение, заменив правую часть единичной функцией Хэвисайда:
Пусть , тогда по формуле (2) получим:
Операторное уравнение будет иметь вид:
Найдем особые точки данного изображения. Для этого приравняем знаменатель к 0:
Получим
три полюса
и Кратность всех полюсов равна 1.
По формуле (4) будем иметь:
Тогда:
По формуле Дюамеля получим решение первого заданного уравнения:
.
После вычисления интегралов и подстановки пределов получим:
Аналогичным образом по формуле Дюамеля получим решение второго уравнения:
После вычисления интеграла и подстановки пределов получим:
Задача 8. Решить систему дифференциальных уравнений операционным методом.
Пусть
,
тогда по формуле (2) получим:
Система операторных уравнений будет иметь вид:
Выразим из первого уравнений и подставим его во второе уравнение системы:
Найдем особые точки данной функции. Для этого приравняем знаменатель к 0:
Получим
три простых полюса
и
По формуле (4) будем иметь:
Из первого уравнения заданной системы найдем
Проверка:
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Кретова Л.Д., Ускова Н.Б., Бондарев А.В. Методические указания к практическим и индивидуальным занятиям по разделу «Операционное исчисление» курса «Математика» по направлению 211000.62 «Конструирование и технология электронных средств» профилю «Проектирование и технология радиоэлектронных средств» и направлению 200100.62 «Приборостроение» профилю «Приборостроение» очной формы обучения. Воронеж: ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет», 2014. ( на магнитном носителе)
2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. М., 1985. Т. 2.
3. Кретова Л.Д., Ускова Н.Б., Посметьев В.В. Дифференциальные уравнения. Функции комплексного переменного: учебное пособие. Воронеж: ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет», 2007.
4. Матвеев Б.В. Общая электротехника и электроника. Ч. 2. Переходные процессы и спектры: учебное пособие. Воронеж: ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет», 2007.
Содержание
Введение |
1 |
Задание к курсовой работе |
2 |
Этапы выполнения курсовой работы |
2 |
Приложение А. Образец титульного листа |
7 |
Приложение Б. Образец выполнения курсовой работы |
8 |
Библиографический список |
23 |