Примеры решения задач к контрольной работе
Пример 1. Для графа построить матрицу смежности, матрицу инцидентности.
Решение. Каждую вершину графа обозначили
как указано на рис. 1. Матрицей смежности
в нашей задаче является квадратная
матрица размера
,
каждый элемент которой
представляет сумму дуг, идущих из
вершины
к вершине
:
.
Матрицей инцидентности
является матрица размера
,
каждый элемент которой
равен 1, если
-тая
дуга выходит из
-той
вершины, равен -1, если
-тая
дуга входит в
-тую
вершину, равен 0, если такой дуги нет.
Матрица
может быть представлена с помощью
таблицы
|
1-2 |
1-4 |
2-3 |
2-4 |
3-4 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
-1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
|
0 |
-1 |
0 |
-1 |
-1 |
Пример №2. По матрице смежности построить граф
.
Решение. Данная матрица смежности имеет
четыре строки и столбца, т.е. ориентированный
граф содержит четыре вершины. Проанализируем
элементы матрицы смежности. Элемент
,
значит, при вершине 1 нет петель. Элемент
,
поэтому из вершины 1 к вершине 2 выходят
две стрелки. Элемент
,
значит, из вершины 1 к вершине 3 вышла
одна стрелка. Равенство
говорит об отсутствии стрелки, идущей
из вершины 1 к вершине 4. Судя по второй
строке матрицы смежности, из вершины 2
стрелка идет только к вершине 3. По
аналогии из вершины 3 стрелки (дуги) в
первую и четвертую вершины. Наконец, из
четвертой вершины стрелки идут в первую
и вторую вершины. Все вышесказанное
позволяет построить описанный матрицей
смежности граф:
Рис.2.
Пример №3. Выделить компоненты связности ориентированного графа, изображенного на рис. 6.
Решение.
Для орграфа, изображенного на рис. 6, построим матрицу достижимости R, контрдостижимости Q и взаимодостижимости H
Матрица достижимости R орграфа, изображенного на рис. 6 , представлена с помощью таблицы
|
v1 |
v2 |
v3 |
v4 |
v5 |
v6 |
v7 |
v1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
v2 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
v3 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
v4 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
v5 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
v6 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
v7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
При заполнении таблицы учитывалось,
что
элемент матрицы равен 1, если существует
путь из вершины
к вершине
,
и равен 0, если такого пути не существует.
Матрица контрдостижимости Q орграфа может быть получена транспонированием матрицы достижимости R, и представлена с помощью таблицы
|
v1 |
v2 |
v3 |
v4 |
v5 |
v6 |
v7 |
v1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
v2 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
v3 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
v4 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
v5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
v6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
v7 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Матрица взаимодостижимости H орграфа, получается с помощью почленного перемножения элементов матрицы достижимости R и матрицы контрдостижимости Q
|
v1 |
v2 |
v3 |
v4 |
v5 |
v6 |
v7 |
v1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
v2 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
v3 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
v4 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
v5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
v6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
v7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
Анализируя матрицу взаимодостижимости, находим следующие классы взаимодостижимых вершин: {v1,v2,v3,v4}, {v5,v6}, {v7}. Сильносвязные компоненты орграфа представлены на рис. 7.
Пример №4. Найти минимальный путь в нагруженном графе от вершины до вершины .
Решение. Нагруженным графом называется такой ориентированный граф G(V, X, W), каждой дуге которого поставлено в соответствие неотрицательное число, называемое весом дуги (весовой функцией).
Используем алгоритм Дейкстры. Присвоим
вершине метку 0. Каждая другая вершина
в качестве метки получает стоимость
ребра. Если к вершине ведут несколько
путей, то для метки выбирается наименьшее
значение. Так, например, метка
равна 2, метка
равна 2+2=4, метка
равна 3, метка
равна
6, метка
равна 8. Путь
,
,
,
,
.
Является минимальным длинной (стоимостью)
8.