3.2. Пример реализации алгоритма

Пример. Используя метод Хука – Дживса, вычислить минимум функции

F(x₁, x₂, x₃) = (x₁ – 2)² + (x₂ – 5)² + (x₃ + 2)⁴.

Начальная точка (4, -2, 3). Величина шага равна 1.

Пример реализации программы на языке Turbo Pascal.

const

n=3;

type

masx=array [1..n] of real;

var

x, b, y, p: masx; {массивы для точек}

i,j,fe: integer; {fe - счетчик для подсчета количества вычислений функции}

h, k , fi, fb: real; {h, k - шаг, fi - значение функции, fb - значение функции в базовой точке}

ps,bs: integer;

{признаки для указания вида исследования - в базисной точке (bs=1, ps=0) или в точке образца (bs=0, ps=1)}

EndAlg: boolean; {признак окончания подсчета минимума}

{функция, минимум которой требуется найти}

function FunZ (x: masx):real;

begin

FunZ:=sqr(x[1]-2)+sqr(x[2]-5)+sqr(x[3]+2)*sqr(x[3]+2);

fe:=fe+1;

end;

{процедура вывода на экран координат очередной найденной точки}

procedure PrintPoint;

begin

Write('Точка ');

for i:=1 to n do

begin

Write(x[i]:5:2,' ');

end;

WriteLn;

WriteLn;

end;

{процедура исследования поведения функции в окрестности базисной точки}

procedure IsslBaz;

begin

while j<=n do

begin

x[j]:=y[j]+k;

if FunZ(x)>fi then

begin

x[j]:=y[j]-k;

if FunZ(x)>fi then

x[j]:=y[j]

else

y[j]:=x[j];

end

else

y[j]:=x[j];

fi:=FunZ(x);

WriteLn('Исследующий поиск ',fi:5:2 );

PrintPoint;

j:=j+1;

end;

end;

{процедура поиска по образцу}

procedure PoiskPoObr;

begin

for i:=1 to n do

begin

p[i]:=2*y[i]-b[i];

b[i]:=y[i];

x[i]:=p[i];

y[i]:=x[i];

end;

fb:=fi;

ps:=1;

bs:=0;

fi:=FunZ(x);

WriteLn('Поиск по образцу ', fi:5:2);

PrintPoint;

j:=1;

end;

{Основная программа}

Begin

{Ввод исходных данных - координаты стартовой точки и шага}

WriteLn('Метод Хука-Дживса');

Writeln('vvod x1, x2, x3');

for i:=1 to n do

begin

WriteLn('Введите x[',i,']');

ReadLn(x[i]);

end;

WriteLn('Введите шаг');

ReadLn(h);

k:=h;

fe:=0;

for i:=1 to n do

begin

y[i]:=x[i];

p[i]:=x[i];

b[i]:=x[i];

end;

{Вычисление начального значения функции и вывод данного значения и стартовой точки на экран}

fi:=FunZ(x);

WriteLn(Начальное значение функции ',fi:5:2 );

PrintPoint;

{Установка признака исследования функции вокруг базисной точки}

ps:=0;

bs:=1;

j:=1;

fb:=fi;

EndAlg:=false;

while EndAlg=false do

begin

{Процедура исследования функции вокруг базисной точки}

IsslBaz;

{Если функция уменьшилась - проведение поиска по образцу}

if (fi<fb-0.00000001) then

PoiskPoObr

Else

{Если исследование по образцу уже проводилось вокруг шаблона Pi и уменьшение функции не было достигнуто, то следует изменить базисную точку для проведения нового исследования вокруг базовой точки (будет произведено в начале следующей итерации цикла}

if (ps=1) and (bs=0) then

begin

for i:=1 to n do

begin

p[i]:=b[i];

y[i]:=b[i];

x[i]:=b[i];

end;

bs:=1;

ps:=0;

fi:=FunZ(x);

fb:=fi;

WriteLn('Замена базисной точки ', fi:5:2);

PrintPoint;

j:=1;

end

else

{Иначе - уменьшить длину шага}

begin

k:=k/10;

WriteLn('Umenshit dlinu shaga');

WriteLn;

{Если шаг достаточно мал - установить признак окончания алгоритма}

if k<0.00000001 then EndAlg:=true;

end;

end;

{Вывод на экран результатов}

WriteLn('Минимум найден');

PrintPoint;

WriteLn('Min=', fb:5:2);

WriteLn('Кол-во вычислений = ', fe);

ReadLn;

end.

Приведенная выше программа реализует описанную процедуру. Одной или двух точек бывает недостаточно для определения начальной точки. Первая точка всегда должна выбираться осмотрительно. ЭВМ работает только с огра­ниченной точностью, и ошибки могут накапливаться в процессе сложных вы­числений, особенно если шаг имеет "неудобную" длину.

Поэтому в строке if (fi < fb – 0.00000001) then, где выясняется вопрос об изменении базисной точки, мы избегаем уменьшения длины шага из-за накаплива­ния ошибки введением длины шага, равной 10^-8. Мы отслеживаем, где про­изводится исследование - в базисной точке (BS = 1, PS = 0) или в точке об­разца (BS = 0, PS = 1). Как можно убедиться на практике, если не принима­ются такие меры предосторожности, даже программа с удовлетворительной логикой будет неработоспособна.

В приведенной программе минимальная длина шага равна 10^-8, но она мо­жет быть изменена (например, путем введения дополнительной переменной).

Результаты выполнения программы следующие:

– точка минимума – координаты (2, 5, -2);

– значение функции в точке минимума – 0;

– число вычислений значения функции – 64.