§ 5. Тестовые задания

1. Непрерывная случайная величина Х задана пло­тностью распределения:

f(x) = k (3x + 3) в интервале (­–1; 0);

f(x) = 0 вне этого интервала.

Найти: а) нормировочный коэффициент k; б) функцию распределения F(x); в) математическое ожидание M(X); д) дисперсию D(X); г) вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (–0,5; 0).

2. Непрерывная случайная величина Х задана пло­тностью распределения:

f(x) = k (4 – x) в интервале (­1; 2);

f(x) = 0 вне этого интервала.

Найти: а) нормировочный коэффициент k; б) функцию распределения F(x); в) математическое ожидание M(X); д) дисперсию D(X); г) вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (1,5; 2).

3. Непрерывная случайная величина Х задана пло­тностью распределения:

f(x) = k (4x – 4) в интервале (­1; 2);

f(x) = 0 вне этого интервала.

Найти: а) нормировочный коэффициент k; б) функцию распределения F(x); в) математическое ожидание M(X); д) дисперсию D(X); г) вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (1,5; 2).

4. Непрерывная случайная величина Х задана пло­тностью распределения:

f(x) = k (2 – x) в интервале (­0; 2);

f(x) = 0 вне этого интервала.

Найти: а) нормировочный коэффициент k; б) функцию распределения F(x); в) математическое ожидание M(X); д) дисперсию D(X); г) вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (0; 1).

1. По данному распределению

Х_i –3 –2 –1 0

p_i 0.3 0.5 0.1 0.1

найти: а) функцию распределения F(x);б) математическое ожидание M(X); в) дисперсию D(X).

6. По данному распределению

Х_i –4 –1 –2 5

Р_i 0.2 0. 3 0.1 0.4

найти: а) функцию распределения F(x);б) математическое ожидание M(X); в) дисперсию D(X).

7. По данному распределению

x_i –6 –3 0 3

p_i 0.2 0.3 0.4 0.1

найти: а) функцию распределения F(x);б) математическое ожидание M(X); в) дисперсию D(X).

8. По данному распределению

x_i –1 3 7 11

p_i 0.5 0.2 0.2 0.1

найти: а) функцию распределения F(x);б) математическое ожидание M(X); в) дисперсию D(X).

Ответы

3. (π²-8)/4. 4. 20-2π².

yi	7	13	21
Pi	0,2	0,1	0,7

yi		1
Pi	0,3	0,7

7. a) g(y)=(1/y)f[ln(1/y)], (0<y<1); б) g(y)=e^yf(e^y); (-∞<y<∞); в) g(y)= , (0<y<∞); г) g(y)= , (0<y<∞); д) g(y)=2yf(y²), (0<y<∞). 8. g(y)= в интервале (0,1), вне этого интервала g(y)=0. 9. g(y)= в интервале (0,1), вне этого интервала g(y)=0.

13. . 14. C=12/π².

xi	3	6
P(xi/y=10)	5/7	2/7

yk	10	14	18
P(yk/x=6)	5/14	5/28	13/28

15.

16. a) f(x,y)=1/(4ab) внутри заданного прямоугольника; вне его f(x,y)=0; б) f₁(x)=1/(2a) при |x|≤a, при |x|>a f₁(x)=0; при |y|<b f₂(y)=1/(2b), при |y|>b f₂(y)=0.

17. a)

20. M(X)=M(Y)=( )/4. 21. а) M(X)=M(Y)=π/4; D(X)=D(Y)= . 22. M(X)=M(Y)=( ); D(X)=D(Y)= ; б) k_xy=0. 23. а)

yk xi	0	1	2	P(xj)
1	p2	pq	0	p
2	0	pq	q2	q
P(yk)	p2	2pq	q2	1

б) P(X=Y)=q; в) r_xy= ; г) зависимы; д) 2q².

yk xi	1	2	3
1	1/9	1/9	1/9
2	0	1/6	1/6
3	0	0	1/3

24. в)

xi	1	2	3
P(xi/y=2)	0.4	0.6	0

б) зависимы; г) M(X)=2, M(Y)=2.5, D(X)=2/3, D(Y)=5/12, k_xy=1/3, r_{xy .} 25. а) b=6/5; б) f₁(x)=6/5(1-x²/2), 0≤x≤1, f₂(y)=6/5(1-y/3), 0≤y≤1; f(x/y)=(1-x²y)/(1-y/3), 0≤x≤1, 0≤y≤1, f(y/x)=(1-x²y)/(1-x²/2), 0≤x≤1, 0≤y≤1; в) M(X)=0.45, M(Y)=0.47, D(X) , D(Y)=0.08; д) k_xy=-0.01. 26. а) 12; б) f₁(x)=3e^-3x, 0≤x<∞, f₂(y)=4e^-4у, 0≤y<∞, f(x/y)= 3e^-3x, f(y/x)= 4e^-4у; в) 0.082; г) M(X)=1/3, M(Y)=1/4, D(X)=1/9, D(Y)=1/16, r_xy=0.