6. Решение двухмерных задач методом конечных элементов Теоретическая часть

Двухмерный симплекс–элемент представляет собой плоский треугольник с прямолинейными сторонами.

Интерполяционный полином, аппроксимирующий непрерывную функцию φ внутри треугольного симплекс–элемента имеет вид

φ = a₁ + a₂x + a₃y. (26)

Чтобы получить выражения для функций формы элемента, необходимо пронумеровать узлы треугольника. Обозначим их номерами i, j, k, начиная с произвольно выбранного узла, двигаясь при этом против часовой стрелки (рис. 16). Узловые значения Ф_i, Ф_j, Ф_k будем по-прежнему считать известными.

Рис. 16. Функция двухмерного симплекс–элемента

Используя условие непрерывности искомой функции в узлах аналогично предыдущему случаю, составим систему уравнений

(27)

решая которую относительно неизвестных коэффициентов полинома, получим:

a₁ = (0,5/ S[(X_jY_k – X_kY_j)Ф_i + (X_kY_i – X_iY_k)Ф_j + (X_iY_j –

– X_jY_i)Ф_k]);

a₂ = (0,5/ S)[(Y_j – Y_k)Ф_i + (Y_k – Y_i)Ф_j + (Y_i – Y_j)Ф_k]);

a₃ = (0,5/ S)[(X_k – X_j)Ф_i + (X_i – X_k)Ф_j + (X_j – X_i)Ф_k]. (28)

где S — площадь элемента, вычисляемая по формуле

_.

Подставим (28) в (27), проделаем аналогичные преобразования, получим

(29)

где (30)

и

Определитель системы (27) связан с площадью треугольника S соотношением

.

Вычисляя значения функций формы N_i, N_j, N_k нетрудно убедиться, что они равны 1 в узлах с соответствующими номерами и 0 в остальных узлах элемента.

Практическая часть

Задача 1. Получить соотношение, определяющее элемент с вершинами в точках (0;0), (4;0,5), (2;5), и вычислить значение давления в точке B с координатами (2;1,5), если заданы узловые значения P_i=50 H/см², P_j=32 H/см², P_k=48 H/см².

Решение. Давление p внутри элемента определяется по формуле

где

Подставив значения координат узлов, получим

После подстановки констант в функции формы выражение для p примет вид

Значение давления p в точке В с координатами (2;1,5) равно

Практические задания

1. Вычислите функцию формы для элемента, представленного на рис. 17. Узловые координаты указаны в круглых скобках.

Рис. 17

2. Получите выражения для функций формы двухмерного четырехугольного мультиплекс-элемента, приведенного на рис. 18. Интерполяционный полином для элемента имеет вид .

Рис. 18

3. Вычислите значения функций формы во внутренней точке А с координатами х=2, у=2,5 двухмерного симплекс-элемента при следующих значения координат узлов: х_i=1; y_i=2; x_j=4; y_j=1; x_k=3; y_k=4. Определите значение температуры во внутренней точке А при следующих узловых значениях непрерывной функции Т: ; ; .

4. Составьте уравнения ансамбля конечных элементов для области, приведенной на рис. 19, в сокращенной и расширенной формах. Отправной узел для каждого элемента помечен звездочкой.

а) Каждый узел имеет одну степень свободы.

б) В каждом узле определена векторная величина, имеющая две степени свободы.

Рис. 19

5. Вычислите матрицы жесткости отдельных конечных элементов в задаче о кручении стержня. Координаты узлов элементов приведены на рис. 20.

Рис. 20