Демин / экзамен / условия задач / _ВСЕ УСЛОВИЯ

1вариант

1.Дать аксиоматическое определение вероятности события.

2.Формула Бернулли. В каких задачах она применяется? Объяснить все параметры, входящие в формулу.

3.По каналу связи передаются два символа: нуль и единица. При передаче единица переходит в единицу с вероятностью 0,8, а нуль переходит в нуль с вероятностью 0,7. Найти вероятность того, что при передаче кодовой комбинации «011» будет одна ошибка.

4.Что такое функция распределения? Указать хотя бы два ее свойства.

5.Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [-1, 5]. Написать ее плотность и функцию распределения, указать ее математическое ожидание и дисперсию.

6.Формула вычисления ковариации двух дискретных случайных величин.

7.Даны две независимые случайные величины X и Y . Случайная величина X распределена по показательному закону с параметром 1/ 2 , а случайная величина Y распределена нормально с параметрами m 2 и 2 . Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z 2X 3Y .

8.Пусть любой символ сообщения при передаче его по каналу связи может быть искажен независимо от других символов с вероятностью p 0.001 . Какова вероятность того, что при передаче 5000 символов будет искажено более двух символов?

9.Выборка для некоторой изучаемой случайной величины содержит 15 значений и имеет вид: – 1, 0, 0, 1, 1, 0, –1, 1, 0, 0, 1, –1, –1, 1, 1. Найти выборочное среднее, медиану, моду и исправленную выборочную дисперсию данной выборки.

10.Дать определение ошибок 1-го и 2-го рода при принятии и отклонении гипотез в критериях согласия. Объяснить их смысл.

2 вариант

1.Свойства вероятности события.

2.Формула полной вероятности. Пояснить все входящие в эту формулу понятия.

3.Пусть вероятность pk означает вероятность надежности k-ого элемента цепи (k=1,…,7). Каждый элемент выходит из строя независимо от остальных. Найти вероятность того, что вся цепь (представленная ниже) надежна.

2

1 3 5

4 6 7

4.Кол-центр посылает 10 сообщений по трем адресам случайным образом, независимо и с равной вероятностью. Найти вероятность того, что на 1-ый и 2-ый адреса поступит по три сообщения.

5.Написать формулы вычисления математического ожидания и дисперсии для дискретных случайных величин.

6. Пусть случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами m 2 и2 . Написать ее плотность и функцию распределения. Указать ее математическое ожидание и дисперсию.

7.Формула вычисления коэффициента корреляции для непрерывных случайных величин. Его свойства.

8.Телекоммуникационная компания обслуживает 10000 абонентов, каждый из которых

независимо от остальных в силу разных причин в течение года может отказаться от обслуживания с вероятностью p 0.1. Записать приближенно вероятность того, что к концу года компания потеряет не более 960 абонентов.

9.Указать методом моментов (используя первый начальный момент) оценку для математического ожидания генеральной совокупности, распределенной по равномерному закону на отрезке [0,a] по выборке объема n .

10.Написать доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности при неизвестной дисперсии по выборке объема n .

3вариант

1.Основные операции над событиями. Их свойства.

2.Теоремы сложения и умножения вероятностей.

3.Даны вероятности pi безотказной работы в течение гарантийного срока отдельных элементов цепи, представленной на рисунке ниже. Отказы отдельных элементов цепи независимы. Определить вероятность работы цепи в течение этого срока.

4.По каналу связи передаются кодовые сообщения, состоящие из двух видов символов: 0 и 1. Вероятности искажения этих символов одинаковы и равны 0,1. Найти вероятность того, что при передаче кодовой комбинации 1001 будет искажено не более одного символа.

5.Формулы вычисления начальных моментов системы двух случайных величин X и Y в дискретном случае (порядка n m , 1-го и 2-го).

6.Формула вычисления вероятности попадания нормально распределенной случайной величины X с параметрами 0 и 1 на интервал [a, b] . Правило трех сигма.

7.Случайная величина X распределена по показательному закону с параметром 1/ 3 .

Написать плотность распределения с.в. X , ее математическое ожидание и дисперсию. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y 2X 6 .

8.Книга издана тиражом 3000 экземпляров. Вероятность того, что книга будет сброшюрована неправильно, равна 0,0002. Найти наиболее вероятное число неправильно сброшюрованных книг и вероятность этого числа.

9.Выборка для некоторой изучаемой случайной величины содержит 15 значений и имеет вид: 1, 2, 0, 1, –1, 2, –1, 1, 0, 2, 1, –1, –1, 2, 1. Найти вариационный и статистический ряд выборки. Построить выборочную функцию распределения, гистограмму и полигон частот.

Что такое критерий согласия. Виды критериев. Виды гипотез.

4 вариант

1.Упростите выражение AB(A A B)

2.Наудачу подбрасывают две игральные кости. Наблюдаемые события: A ={на двух костях выпадут разные грани}, B ={сумма очков на двух костях больше 8}. Найти вероятность

P(B | A) .

3.Две радиостанции передают сигналы, 1-ая вдвое чаще, чем 2-ая. Вероятности приёма их сигналов соответственно равны 0,6 и 0,8. Какова вероятность того, что произвольный из переданных сигналов будет принят?

4.Плотность распределения вероятностей случайной величины и ее свойства.

5.Формула вычисления вероятности попадания нормально распределенной случайной величины X с параметрами m и на интервал, симметричный относительно m . Правило трех сигма.

6.Случайная величина X распределена по непрерывному закону с плотностью распределения pX (x) 3x2 , 0 x 1. Найти математическое ожидание случайной величины Y 1/ X .

7.Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [ 2, 2] . Вычислить вероятность события A X 1 . Оценить эту вероятность по неравенству Чебышева.

8.Для данного статистического ряда вычислить выборочное среднее:

Здесь ni – число наблюдений, равных xi .

9.По выборке x (x1 ,..., xn ) , полученной из генеральной совокупности X , подчиняющейся геометрическому распределению с параметром p , найти методом моментов оценку параметра p , используя математическое ожидание X .

10.Сформулируйте критерий проверки параметрической гипотезы H 0 : m m0 против альтернативы H1 : m m0 на уровне значимости для выборки объема n , полученной из

нормально распределенной генеральной совокупности с известной дисперсией 2 .

5вариант

1.Напишите теоремы сложения и умножения вероятностей для трех событий.

2.Событие A состоит в том, что студент Иванов сдал первый экзамен, событие B - что второй. Событие A B состоит в том, что студент Иванов сдал:

а) оба экзамена б) ровно один экзамен в) ни одного экзамена

3. В доме 10 этажей. В лифт на первом этаже заходят три человека. Найти вероятность того, что двое из них выйдут на седьмом этаже.

4. Известна функция распределения дискретной случайной величины X :

5.Напишите формулы вычисления математического ожидания и дисперсии случайной величины, распределенной по геометрическому закону с параметром p .

6.Пусть случайная величина X имеет нормальное распределение с параметрами и 2 . Какими должны быть параметры a и b , чтобы случайная величина a( X b) подчинялась стандартному нормальному закону с параметрами 0 и 1?

7. Даны две независимые случайные величины X и Y с характеристиками: mX 3 , mY 1,X 2 , Y 1/ 2 . Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины

Z2X 4Y .

8.Найдите оценку снизу вероятности события A 2.5 X 4 , используя неравенство Чебышева, если MX 1, DX 0.5 .

9.Пусть по выборке объема n 20 была получена выборочная дисперсия Dв 1920 . Найдите оценку несмещенной дисперсии S 2 для данной выборки.

10.Вычислить выборочную медиану для выборки: 4, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 2, 1, 0, 3, 4, 5, 3, 3, 2, 1, 0, 2, 4.

6вариант

1.Игральную кость подбрасывают два раза. Событие A – первая выпавшая цифра «6», событие B –выпала сумма очков, равная 8. Являются ли события A и B несовместными и/или

независимыми.

2.Даны вероятности pi безотказной работы в течение гарантийного срока отдельных элементов цепи, представленной на рисунке ниже. Отказы отдельных элементов цепи независимы. Определить вероятность работы цепи в течение этого срока.

1 2

3 4 5

6 7

3. Формула Байеса.

4. На АТС могут поступать вызовы трех типов. Вероятности поступления вызовов 1-го, 2-го и 3- го типа соответственно равны 0,2; 0,3 и 0,5. Поступило пять вызовов. Найти вероятность того, что поступило по два вызова 1-го и 2-го типа и один вызов 3-го типа.

5. Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения вероятностей

Найти математическое ожидание данной случайной величины.

6. Случайная величина X задана рядом распределения:

7.Если две случайные величины X и Y связаны линейной зависимостью Y 2X 3, то их коэффициент корреляции будет равен…

8.Дана выборка (5, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 1, 3, 4, 8, 9, 10, 4, 2, 5, 1, 0, 2, 6). Построить вариационный и статистический ряды для этой выборки и найти ее выборочную медиану.

9.Найти оценку методом моментов параметра по выборке объема n , полученной из равномерного распределения R(0, ) , используя 2-й начальный момент.

10.Сформулируйте критерий проверки параметрической гипотезы H 0 : m m0 против альтернативы H1 : m m0 на уровне значимости для выборки объема n , полученной из

нормально распределенной генеральной совокупности с известной дисперсией 2 .

7 вариант

1.Условная вероятность.

2.Даны вероятности pi безотказной работы в течение гарантийного срока отдельных элементов цепи, представленной на рисунке ниже. Отказы отдельных элементов цепи независимы. Определить вероятность работы цепи в течение этого срока.

3.В урне содержится 20 шаров, среди которых 4 белых, остальные – черные. Один шар неизвестно какой был утерян. Найти вероятность вытянуть белый шар до того, как был утерян один шар и после этого.

4.Укажите основные свойства дисперсии случайной величины.

5.Дискретная случайная величина задана распределением

Найти M[ 2 ].

6.Случайные величины X и Y независимы и имеют распределения R(0, 2) и Ex(4) соответственно. Найти математическое ожидание случайной величины Z X Y .

7.Сформулируйте центральную предельную теорему.

8.Пусть дана выборка (5, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 1, 3, 4, 7, 8, 7, 4, 2, 5, 1, 0, 2, 6, 2, 4). Построить вариационный и статистический ряды для этой выборки, а также гистограмму относительных частот.

9.Среднее значение выборки объема 30, полученной из генеральной совокупности X , имеющей

нормальное распределение N (m, 2 ) , равно 500. Оценка дисперсии S 2 100 . Построить 99%- ный доверительный интервал для математического ожидания генеральной совокупности X ( t0,995 (29) 2,75 ).

10.Сформулируйте критерий проверки параметрической гипотезы H 0 : m m0 против альтернативы H1 : m m0 на уровне значимости для выборки объема n , полученной из нормально распределенной генеральной совокупности с известной дисперсией 2 .

8 вариант

1.Дайте определение алгебры событий.

2.Из колоды в 36 карт случайным образом вынимают одну карту. Рассматриваются события: A - вынута карта красной масти, B - был вынут туз. Являются ли события A и B зависимыми? Ответ обосновать.

3.Даны вероятности pi безотказной работы в течение гарантийного срока отдельных элементов цепи, представленной на рисунке ниже. Отказы отдельных элементов цепи независимы. Определить вероятность работы цепи в течение этого срока.

1 2 5

3 4 6

4.Корректура в 500 страниц содержит 2000 опечаток. Найти наиболее вероятное число опечаток на одной странице и вероятность этого числа.

дисперсию случайной величины Z 3X 2Y .

6.Если случайные величины X и Y независимы и распределены равномерно в интервале (–1;1), то в каком интервале плотность распределения композиции этих случайных величин отлична от нуля?

7.Дайте определение сходимости последовательности случайных величин по вероятности.

8.Найти оценку методом моментов параметра по выборке объема n , полученной из распределения Пуассона с параметром 1/ , используя теоретическую дисперсию.

9.Дайте определение уровня значимости и мощности критерия.

10.Сформулируйте критерий проверки параметрической гипотезы H 0 : m m0 против альтернативы H1 : m m0 на уровне значимости для выборки объема n , полученной из нормально распределенной генеральной совокупности с неизвестной дисперсией.

9 вариант

1. Известно, что P A 0.5P B 1.1 , 0.5P A 1.5P B 1.7 . Верно ли утверждение, что события A и B образуют полную группу событий?

2. На плоскости даны две концентрические окружности, радиусы которых равны 1 см и 2 см. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в больший круг, попадёт в меньший круг.

3. Сформулируйте локальную теорему Муавра-Лапласа.

4. По каналу связи передано 100 символов. Искажение одного символа происходит с вероятностью 0,05. Найти вероятность того, что будет искажено менее двух символов.

5. Пусть случайная величина X – число вызовов, поступающих на АТС за 5 сек, распределена по закону Пуассона с параметром 12 вызовов за 3 сек. Найти дисперсию случайной величины

X .

6. Случайная величина подчиняется равномерному закону распределения . Найти математическое ожидание случайной величины Y X 2 1 .

7. Укажите формулу вычисления коэффициента корреляции двух непрерывных случайных величин.

8. Задана плотность распределения p X (x) случайной величины X :

0, x 0,

pX (x) 3x2 , 0 x 1

Найти вероятность события A | X mX | 1/ 4 . Оценить эту вероятность по неравенству Чебышева.

9.Выборка для некоторой изучаемой случайной величины содержит 15 значений и имеет вид: –1, 0, 0, 1, 1, 0, –1, 1, 0, 0, 1, –1, –1, 1, 1. Найти выборочное среднее, медиану и моду данной выборки.

10.Сформулируйте критерий проверки параметрической гипотезы H0 : 2 02 против

альтернативы H1 : 2 02 на уровне значимости для выборки объема n , полученной из

нормально распределенной генеральной совокупности с известным математическим ожиданием.

10вариант

1.Пусть событие Ak = {k-ый элемент вышел из строя}. Записать для данной цепи событие B {цепь не работает} в алгебре событий Ak .

1 2 3 4 5

6

2.Три радиостанции могут работать на 10-ти одинаковых частотах. Какова вероятность того, что, случайно выбирая частоты, они окажутся настроенными на одну и ту же частоту?

3.Из колоды в 36 карт наудачу вынимают две карты. События: А={появятся два короля}, В={вынуты карты черной масти}. Найти P( A | B) .

4.Сформулируйте интегральную теорему Муавра-Лапласа.

5.Стрелок стреляет до первого попадания в мишень с вероятностью попадания при одном выстреле, равной 0,8. Какова вероятность того, что он сделает не менее трех выстрелов?

6.Случайные величины X и Y независимы и одинаково распределены по закону R(0, 3) . Найти математическое ожидание случайной величины Z Y / X 2 .

7.Известно, что в группе из 20 студентов в среднем в месяц двое из них болеют коронавирусом. Оцените по неравенству Маркова вероятность того, что в группе окажется не менее половины заразившихся этой болезнью к концу месяца.

8.Выборка для некоторой изучаемой случайной величины содержит 20 значений и имеет вид: 2, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 10, 1, 10, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1. Найти выборочное среднее, медиану и моду данной выборки.

9.Напишите формулу вычисления информации Фишера о параметре по выборке объема n , полученной из непрерывно распределенной генеральной совокупности.

10.Сформулируйте критерий проверки параметрической гипотезы H0 : 2 02 против альтернативы H1 : 2 02 на уровне значимости для выборки объема n , полученной из нормально распределенной генеральной совокупности с неизвестным математическим ожиданием.