Демин / экзамен / условия задач / _ВСЕ УСЛОВИЯ
.pdf21вариант
1.Дать геометрическое определение вероятности события.
2.Два одинаковых листа бумаги размещаются случайно и независимо друг от друга по четырем ящикам одной тумбы. Каждый лист равновероятно попадает в любой из ящиков. Найти вероятность того, что листы бумаги окажутся в соседних ящиках.
3.Пусть любой символ сообщения при передаче его по каналу связи может быть искажен независимо от других символов с вероятностью p 0.001 . Какова вероятность того, что при передаче 5000 символов будет искажено не менее двух символов?
4.Случайная величина задана своим рядом распределения:
|
xi |
–2 |
–1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pi |
0,1 |
0,4 |
0,2 |
0,3 |
|
Найти функцию распределения случайной величины 2 1 . |
||||||
5.Напишите формулу вычисления математического ожидания случайной величины X , если известна таблица распределения дискретного случайного вектора ( X ,Y ) .
6.Случайные величины X и Y независимы и распределены по следующим законам: X по закону
R(1, 3) , Y по нормальному закону N (1, 4) . Найти дисперсию случайной величины Z 3X Y
.
7. Найдите оценку снизу вероятности события A 3 X 6 , используя неравенство Чебышева, если MX 2 , DX 3 .
8.Пусть дана выборка: 15, 16, 17, 16, 15, 18, 18, 16, 19, 20, 15, 16, 17, 18, 19, 19. Найдите выборочное среднее и выборочную медиану для данной выборки.
|
|
|
~ |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9. |
Будет ли состоятельной оценка an |
|
X параметра a распределения, заданного плотностью |
||||||||||
8 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
распределения вероятностей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ax, |
0 x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
x 0, x 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10. |
По нормальной выборке объема n вычислены выборочное среднее |
|
и оценка дисперсии S 2 |
||||||||||
X |
|||||||||||||
|
и построена интервальная оценка для математического ожидания m с доверительным уровнем |
||||||||||||
|
. В каком случае длина интервала больше: при n 100 или n 200 (считать, что значения |
|
|
||||||||||
|
X |
||||||||||||
, S 2 , неизменны)? Ответ обосновать.
22вариант
1.Дать классическое определение вероятности события.
2.Даны вероятности pi безотказной работы в течение гарантийного срока отдельных элементов цепи, представленной на рисунке ниже. Отказы отдельных элементов цепи независимы. Определить вероятность работы цепи в течение этого срока.
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
5 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
7 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3.18 команд, среди которых три лидера, случайным образом разбиваются на три подгруппы (по 6 команд в каждой). Найти вероятность того, что в каждой подгруппе будет по одному лидеру.
4.Телеграфная станция передает текст, состоящий из 350 знаков. В силу наличия помех каждый знак может быть неправильно принят с вероятностью 0,01. Найти наиболее вероятное число неправильно принятых знаков и вероятность этого числа.
5.Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [1, 5]. Найти ковариацию случайных величин X и Y X 2 .
6. |
Случайная величина X задана законом распределения: |
||||||||||||||||
|
|
xi |
–2 |
|
–1 |
|
0 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pi |
0,1 |
|
0,1 |
|
|
0,2 |
0,2 |
|
0,4 |
|
|
|
|
||
Найти вероятность события A {| X MX | 0.5}. Оценить эту вероятность по неравенству |
|||||||||||||||||
Чебышева. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7. |
Чему равны математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей |
||||||||||||||||
|
распределение Стьюдента с числом степеней свободы, равным 3? |
||||||||||||||||
8. |
По таблице наблюдений построить гистограмму относительных частот, вычислить выборочное |
||||||||||||||||
|
среднее и моду. ( zi |
|
– середины интервалов группировки) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
zi |
|
5,4 |
|
5,6 |
|
5,8 |
6 |
|
6,2 |
|
6,4 |
6,6 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ni |
|
20 |
|
35 |
|
50 |
60 |
|
20 |
|
5 |
10 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
9. |
Пусть (x1,..., xn ) – выборка из распределения Пуассона с параметром / 2 . Найти оценку |
||||||||||||||||
|
параметра методом моментов, используя дисперсию. |
||||||||||||||||
10. |
|
Напишите формулу вычисления доверительного интервала для параметра 2 с |
|||||||||||||||
|
доверительной вероятностью |
для выборки объема n , полученной из нормального |
|||||||||||||||
распределения N(m, 2 ), при неизвестной величине m .
23вариант
1.Формула сложения вероятностей для произвольных n событий.
2.Найти вероятность того, что в группе из 10 студентов трое родилось в сентябре.
3.Наудачу из десяти цифр от 0 до 9 составляется семизначный номер телефона. Найти вероятность P( A | B) , если A {номер содержит только четные цифры}, B {номер не содержит цифр 1 и 2}.
4.Аппаратура состоит из 1000 элементов, каждый из которых независимо от остальных за время эксплуатации выходит из строя с вероятностью 5 10 4 . Найти вероятность того, что за время эксплуатации откажет хотя бы один элемент.
5.Даны две независимые случайные величины X и Y , причем X распределена по показательному закону с параметром 1/ 3 , а Y распределена по нормальному закону с
параметрами m 2, 2 . Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z X Y .
6.Сформулировать закон больших чисел в форме Чебышева для последовательности случайных величин, имеющих различные распределения.
7. Пусть 1 , 2 ,..., n – независимые случайные величины с распределением N (0,1) . Какое
n
распределение имеет случайная величина k ?
k 1
8.Чему равны математическое ожидание и дисперсия выборочного среднего для выборки объема n , полученной из показательного распределения с параметром 1/ 2 ?
9.Наблюдавшиеся значения генеральной совокупности X оказались равными 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 10, 3, 2, 1, 1, 2, 3. Построить статистический ряд этой выборки и найти выборочную медиану.
10.По выборке объема n 100 , полученной из нормального распределения с известной дисперсией 2 1, на уровне значимости 0.05 проверить гипотезу H 0 :m 5 при
альтернативе H1 :m 5 , если выборочное среднее x 4.7 . Квантиль U0.975 1.96 .
24вариант
1.На отрезке [0, 2] наудачу взяты два числа x и y . Найти вероятность того, что их сумма больше или равна 1/2.
2.Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 наудачу с возвращением составляется пятизначное число. Найти вероятность P( A | B) , если события A = {число будет нечетным}, B = {цифры 1 и 2 не появились}.
3.По каналу связи передается цифровой текст, состоящий из 100 символов. В силу наличия помех каждый символ может быть неправильно принят с вероятностью 0.02. Найти вероятность того, что в принятом тексте будет ровно 3 ошибки.
4. С.в. X распределена по показательному закону с параметром 1/ 2 . Найти плотность распределения случайной величины Y | X 2 | .
5.Напишите общую формулу вычисления центрального момента порядка k l для дискретного двумерного случайного вектора.
6.Случайная величина распределена равномерно на интервале [–3; 3]. Найти вероятность события A | | 2 . Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность этого события.
7.Сформулируйте центральную предельную теорему для одинаково распределенных случайных величин.
8.Наблюдавшиеся значения генеральной совокупности X оказались равными 1, 3, 5, 4, 2, 1, 4, 3, 5, 0, 7, 5, 2, 10, 12, 3, 5, 6, 9, 8, 7, 11. Построить статистический ряд этой выборки. Найти выборочное среднее.
~
9. Дайте определение несмещенности оценки n параметра .
10. Найти 90%-ный доверительный интервал для математического ожидания по выборке, полученной из нормально распределенной генеральной совокупности: n 101, x 18 , s 2 16 . (
U 0.95 1.645 )