
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Санкт-Петербургский государственный
электротехнический университет
«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)
Кафедра теоретических основ электротехники
отчет
по лабораторной работе №3
по дисциплине «Теоретические основы электротехники»
Тема: Исследование свободных процессов в электрических цепях
Студент |
|
|
Преподаватель |
|
|
Санкт-Петербург
2022
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Целью данной лабораторной работы является изучение связи между видом свободного процесса в электрической цепи и расположением ее собственных частот (корней характеристического уравнения) на комплексной плоскости, так же целью данной работы является экспериментальное определение собственных частот и добротности RLC-контура по осциллограммам.
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Рис. 1 – Схемы цепей, представленные в данной работе
Порядок в цепи зависит от количества L и C элементов.
1) Cхема рис. 1, а, относится к цепи первого порядка.
Тогда, входная проводимость:
Y(p)
= pC
+
=0
p1
= - a
= -
2) Схема рис. 1, б, относится к цепи второго порядка.
Тогда, данная цепь будет обладать двумя собственными частотами (p1 и p2).
Входная
проводимость:
Y(p)
= pC
+
=0
=>
p1,2
=
-
±
,
где
a
=
,
=
3) Схема рис. 1, в, цепь третьего порядка. Найдем p1, p2 и p3:
Входная
проводимость: Y(p)
= pC
+
+
=0
=> p1
= - a
= -
p2,3
=
-
±
, где
a
=
Для цепи первого порядка (рис. 1, а) свободный процесс описывается так:
Цепь второго порядка. Если собственные частоты - простые вещественные:
p1 = -a1 и p2 = -a2
Тогда свободный процесс апериодический:
Свободный процесс в цепи первого (рис. 2, а) и второго порядка (рис. 2, б):
Рис.2 – Временные диаграммы свободных процессов
Если собственные частоты - комплексно-сопряженные:
p1,2 = -a ± j
Тогда
свободный процесс колебательный:
(рис.
3 в)
Если собственные частоты - вещественные кратные:
p1 = p2 = -a
Свободный
процесс:
(рис. 3 г)
Рис. 3 – Временные диаграммы свободных процессов
a -комплексно-сопряженных собственных частот
б - вещественных кратных собственных частот
Постоянная
затухания (рис. 2, а): a
=
и
=
=> p
= -a
= -
В
случае рис. 3, в, собственные частоты:
p1,2
= -a
± j
= -a
± j
В
случае рис. 3, г, собственные частоты
цепи: p1
= p2
= -a
= -
Добротность
последовательного RLC
- контура: Q
=
=
=
0
=
0 =
p1,2
= -
при Q < 0,5 - апериодический режим
Q = 0,5 – критический режим
Q > 0,5 – колебательный режим
Q → ∞ – незатухающий колебательный режим
При
Q > 10: p1,2
= -
Тогда,
формула добротности: Q
=
=
=
Учитывая отношение напряжений за n периодов колебаний:
Q
=
=
=
Обработка результатов измерений
1. Исследование свободных процессов в цепи первого порядка.
Рис. 1 – Схема цепи первого порядка
источник тока i0(t - генератор импульсов:
Рис. 2 – Выставленные параметры осциллографа.
Рис. 3 – Осциллограмма при исследовании свободных процессов в цепи первого порядка.
Вычислим собственную частоту цепи теоретически:
p
=
=
=
=
-10000
Определим собственную частоту цепи по осциллограмме:
0.5 В
0.1 мс
0.19 мс
0.2 В
Рис. 4 – Определение собственой частоты при исследовании свободных процессов в цепи первого порядка.
p
= -α
= -
= -
= -10181
Определим свободный процесс:
UC(t) = Ae-10000t
Рис. 5 - Диаграмма расположения собственных частот при исследовании свободных процессов в цепи первого порядка на комплексной плоскости.
Ответы на вопросы
1. Каким аналитическим выражением описывается осциллографируемый процесс?
Ответ: осциллографируемый процесс описывается выражением:
UC(t) = Ae-10000t
2. Соответствует ли найденная собственная частота теоретическому расчету, выполненному согласно (3.1)?
Ответ: найденная собственная частота приблизительно равна частоте, найденной теоретически: Теоретическая - p = -10000
Практическая - p = -10181
2. Исследование свободных процессов в цепи второго порядка
Рис. 6 – Схема цепи второго порядка.
2.1. Снятие осциллограммы процесса при R1 = 0,5 кОм (колебательный режим):
Рис. 7 – Осциллограмма при исследовании свободных процессов в цепи второго порядка (R1 = 0,5 кОм).
Вычислим собственные частоты цепи теоретически:
p1,2
=
±
p1,2
=
±
=
-10000 ± j∙43589
Вычислим собственные частоты цепи по осциллограмме:
Рис. 8 - Определение собственой частоты при исследовании свободных процессов в цепи второго порядка (R1 = 0,5 кОм).
α = , где △t = T |
α
=
|
p1,2 = -a ± j = -a ± j = -4951 ± j∙22440
Определим свободный процесс:
UR(t) = A1e-10000tcos(43589t) + A2 e-10000tsin(43589t)
Рис. 9 - Диаграмма расположения собственных частот при исследовании свободных процессов в цепи второго порядка на комплексной плоскости
(R1 = 0,5 кОм).
Вычислим добротность контура теоретически:
Q
=
=
= 2,24
Вычислим добротность контура по осциллограмме:
Q =
=
=
=
=
2,27
соответствует колебательному режиму (Q > 0,5).
2.2. Снятие осциллограммы процесса при R1 = 3 кОм (апериодический режим):
Рис. 10 – Осциллограмма при исследование свободных процессов в цепи второго порядка (R1 = 3 кОм).
Вычислим собственные частоты цепи теоретически:
p1,2
=
±
=
±
= - 60000 ± 40000
Вычислим собственные частоты цепи по осциллограмме:
Рис. 11 - Определение собственой частоты при исследовании свободных процессов в цепи второго порядка (R1 = 3 кОм).
p1
= -
= -
= -12500
p2
= -
= -
= -50000
Определим свободный процесс:
UR(t) = A1e-20000t + A2e-100000t
Отобразим диаграмму расположения собственных частот на комплексной плоскости:
Рис. 12 - Диаграмма расположения собственных частот при исследовании свободных процессов в цепи второго порядка на комплексной плоскости
(R1 = 3 кОм).
2.3. Снятие осциллограммы процесса при R1 = RКР = 1,5 кОм (критический режим):
Рис. 13 – Осциллограмма при исследовании свободных процессов в цепи второго порядка (R1 = RКР = 1,5 кОм).
Вычислим собственные частоты цепи теоретически:
p1
= p2
= - α
=
=
= -30000
Вычислим собственные частоты цепи по осциллограмме:
Рис. 14 - Определение собственой частоты при исследовании свободных процессов в цепи второго порядка (R1 = RКР = 1,5 кОм).
p1
= p2
= - α
=
=
= -33333
Определим свободный процесс:
UR(t) = A1e-32000t + A2te-32000t
Отобразим диаграмму расположения собственных частот на комплексной плоскости:
Рис. 15 - Диаграмма расположения собственных частот при исследовании свободных процессов в цепи второго порядка на комплексной плоскости
(R1 = RКР = 1,5 кОм).
2.3. Снятие осциллограммы процесса при R1 = 0 (незатухающий режим):
Рис. 16 – Осциллограмма при исследовании свободных процессов в цепи второго порядка (R1 = 0).
Вычислим собственные частоты цепи теоретически:
p1,2
= ± jω
= ± j
= ±
= ± j44721
Вычислим собственные частоты цепи по осциллограмме:
Рис. 17 - Определение собственой частоты при исследовании свободных процессов в цепи второго порядка (R1 = 0).
p1,2
= ± jω
= ± j
=
= ±j44880
Определим свободный процесс:
UR(t) = A1cos(44721t)
Отобразим диаграмму расположения собственных частот на комплексной плоскости:
Рис. 18 - Диаграмма расположения собственных частот при исследовании свободных процессов в цепи второго порядка на комплексной плоскости
(R1 = 0).
Вычислим добротность контура:
Рис. 19 - Определение добротности при исследовании свободных процессов в цепи второго порядка (R1 = 0).
Q
=
=
= 20,4