Лекция 4
.pdf
Глава 1.
Булева алгебра. Продолжение
1.1. Двойственные функции
Определение 1. Функция g(x1; x2; : : : ; xn) называется двойственной к функции f(x1; x2; : : : ; xn), åñëè
g(x1; x2; : : : ; xn) = f(x1; x2; : : : ; xn)
и обозначается f .
Алгоритм нахождения двойственной функции. Выписать таблицу истинности исходной функции f, записать отрицание этой функции f. Затем выписать значения f в обратном порядке.
Пример Функция f задана f = (10011110). Выпишем таблицу истинности функции f.
x |
y |
z |
f |
f |
f |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
Определение 2. Функция f(x1; x2; : : : ; xn) называется самодвойственной, если функция f равна своей двойственной. Класс самодвойственных функций обозначают S.
1
2 |
Глава 1. Булева алгебра. Продолжение |
1.2. Монотонные функции
Определение 3. Говорят, что набор = ( 1; 2; : : : ; n) предшествует набору = ( 1; 2; : : : ; n) и обозначают 4 , åñëè i 6 i äëÿ âñåõ
1 6 i 6 n.
Определение 4. Функция f(x1; x2; : : : ; xn) называется монотонной, если для всех наборов 4 выполняется, что f( ) 6 f( ). Класс мнонотонных функций обозначают M.
Пример В нижеследующей таблице функции f1, f2 являются моно- тонными функциями, а функции f3, f4 íåò.
x |
y |
f1 |
f2 |
f3 |
f4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1.3. Полные наборы функций
Определение 5. Замыканием набора функций из K называется мно-
жество всех суперпозиций этих функций. Класс функций K называется замкнутым, если его замыкание совпадает с ним самим.
Определение 6. Набор функций называется полным, если его замыкание совпадает со всеми логическими функциями, то есть полный наборэто множество таких функций, через которые можно выразить все остальные булевы функции.
Перечислим 5 основных замкнутых классов функций:
1)T0 класс функций, сохраняющих 0, т.е. это набор всех тех логи- ческих функций, которые на нулевом наборе принимают значение 0;
2)T1 класс функций, сохраняющих единицу, т.е. это набор всех логических функций, которые на единичном наборе принимают зна- чение 1 (заметим, что число функций от n переменных принадлежащих классам T0 è T1 равно 22n 1);
3)L класс линейных функций.
4)M класс монотонных функций.
1.4. Упражнения |
3 |
5) S класс самодвойственных функций.
Теорема 1 (Теорема Поста). Для того чтобы некоторый набор функций K был полным, необходимо и достаточно, чтобы в него входили
функции, не принадлежащие каждому из классов T0; T1; L; S; M.
Âсоответствии с теоремой Поста набор функций будет полным тогда
èтолько тогда, когда в каждом столбце таблицы Поста имеется хотя бы один минус.
Пример: Определить, является ли система функций f1 = (0011); f2 = (0110); f3 = (1101) полной.
f |
T0 |
T1 |
L |
M |
S |
f1 |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
f2 |
+ |
- |
+ |
- |
- |
f3 |
- |
+ |
- |
- |
- |
Вывод: так как в каждом столбце таблицы Поста есть хотя бы по одному минусу, то система функций ff1; f2; f3g является полной.
1.4. Упражнения
1)Определить, является ли функция f монотонной
f = (0111 0010);
f = (0101 1101);
f = (0111 0111);
f = (0101 1001).
2)Определить, является ли функция f самодвойственной
f = (0110 1001);
f = (1010 1101);
f = (1101 1110);
f = (1011 0010).
3)Доопределить функцию f так, чтобы она была монотонной
f = ( 0 101 );
f = ( 10 1 );
f = ( 10 01 ).
4 |
Глава 1. Булева алгебра. Продолжение |
4)Доопределить функцию f так, чтобы она была самодвойственной
f = (01 00 );
f = ( 10 0 1);
f = ( 1 0 0 1).
5)Определить, является ли система функций ff1; f2; f3g полной.
f1 = (0101 0101); f2 = (1011 0011); f3 = (0101 1110);
f1 = (1001 0110); f2 = (1010 0101); f3 = (0110 0110);
f1 = (0101 1100); f2 = (0110 1100); f3 = (1000 1011).