Добавил:
Лабы/курсовые по программированию (С++/Verilog HDL), Теория и Практика Помехоустойчивого Кодирования Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Зайцева / 5 раздел

.pdf
Скачиваний:
41
Добавлен:
09.03.2022
Размер:
1.5 Mб
Скачать

где ρ = √ – характеристическое сопротивление контура, а Q = ρ – его

добротность.

При этом корни (5.25) имеют следующий вид:

1,2 = −δ ± ωсв,

где ωсв = √ω02 − δ2 – частота свободных затухающих колебаний. Покажем, что значение коэффициента затухания δ обратно

пропорционально добротности конура =

ω0

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

δ =

 

=

 

 

ω0

=

 

ω0

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

0

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тогда ωсв = √ω02 − δ2 = √ω02 − (

 

 

 

0

)

 

= ω0√1 −

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

4

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Корни

 

являются

комплексно-

 

 

 

 

 

 

 

сопряженными

 

 

числами

 

с

 

 

 

 

 

 

 

отрицательной вещественной частью.

 

 

 

 

 

 

 

Покажем

 

 

 

расположение

корней

 

 

 

 

 

 

 

характеристического уравнения

на

 

 

 

 

 

 

 

комплексной плоскости (рис. 5.42).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При

 

 

 

подстановке

корней

 

 

 

 

 

 

 

1,2

= − δ ± ωсв в (5.28), получим

 

 

 

 

 

 

 

выражения для комплексных величин

Рис. 5.42. Расположение корней

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

постоянных интегрирования A1

и

A2 ,

характеристического уравнения

 

 

 

 

при

 

 

этом

 

докажем,

что

это

на комплексной плоскости

 

 

 

 

 

 

 

 

 

комплексно-сопряженные величины.

в колебательном режиме

 

 

 

 

 

U0 p2

 

 

U0 ( δ jωсв )

 

U0 jωсв )

 

A

 

1

 

p1 p2

 

jωсв ( δ jωсв )

 

2 jωсв

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

δ

 

 

 

 

U0

 

 

 

 

e jarctg(

 

)

U0ω0

e j 1 ;

 

 

ω

св

2 δ2

ωсв

 

св

 

 

 

 

 

св

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где ω0

 

 

ωсв

2 δ2

и угол 1 показаны на рис. 5.42.

 

 

U0 p1

 

 

 

 

U0 ( δ jωсв )

 

 

 

U0 ( δ jωсв )

 

A

 

 

 

 

 

2

 

p1

p2

 

 

δ jωсв ( δ jωсв )

 

 

2 jωсв

 

 

 

 

 

 

 

U0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

δ

)

U0ω0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω

 

2 δ2 e

 

ωсв

e j 1

A1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

jarctg (

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

св

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

св

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

св

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U0 св jδ)

2 св

U0 св jδ) 2ωсв

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя

A

и A2

1

в (5.26), получим выражение напряжения

 

1

A

для емкости в колебательном режиме:

 

 

 

 

 

 

uC (t)

U0ω0

e j 1 e( δ jωсв )t

U0ω0

e j 1 e( δ jωсв )t

U0ω0

e δt e jсвt 1 ) e j свt 1 )

 

 

св

 

 

 

 

св

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

св

 

U0ω0

e δt cos(ω

 

t

)

 

U0

 

e δt cos(ω

 

t

).

 

 

св

 

 

 

св

 

 

ωсв

 

1

 

 

cos 1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Как показали расчеты в колебательном режиме не только корни

характеристического уравнения 1,2

= −δ ± ωсв комплексно сопряжены,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

но и постоянные интегрирования

A

A2

1

 

 

 

1 и

A являются комплексно

сопряженными. Это позволяет найти реакцию, в частности, напряжение на емкости по упрощенной формуле:

 

 

 

 

p1t

 

U0 0

 

uC (t)

2 Re A1 e

 

2 Re

 

e

 

2 св

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U0 0

e t cos(

 

t

).

 

 

 

св

 

 

 

св

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j 1 e( j св )t

 

(5.30)

 

Качественный график полученной функции напряжения на емкости показан на рис. 5.43.

При малых потерях в контуре (R < 2 ) свободные колебания имеют характер затухающих гармонических колебаний.

Степень затухания зависит от показателя экспоненты = 2 , который

называется коэффициентом затухания.

Период затухающих колебаний Tсв определяется частотой св и равен:

св =

2

=

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

ωсв

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

42

Рис. 5.43. График напряжения на емкости в колебательном режиме

На практике степень затухания колебаний часто оценивают декрементом затухания , который определяет уменьшение амплитуды свободных колебаний за время периода. Из (5.30) следует, что

 

 

 

 

 

 

 

U0ω0

e δt cos(ω

 

t

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

св

1

 

uСсв (t)

 

 

 

 

 

 

ωсв

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

eδTсв .

u (t T )

U0

ω0

 

 

δ(t Tсв )

 

 

 

 

 

 

 

 

e

cos(ωсв

(t Tсв ) 1 )

 

Ссв

св

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ωсв

Для оценки степени затухания используется также логарифмический декремент затухания

 

 

 

 

 

ln = δ Tсв.

 

 

 

 

Качественные графики тока

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( )

 

 

 

 

 

 

 

 

( )

=

 

 

= −

0

−δ sinωсв

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

св

 

 

 

и напряжения на индуктивности

 

 

 

 

 

 

 

( ) =

( )

= −

0ω0

−δ cos(ω

 

) =

 

 

св

 

 

 

ωсв

 

 

 

1

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

= −

−δ cos(ωсв 1 )

 

 

 

 

cos 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в последовательном контуре при колебательном режиме представлены на рис. 5.44, а и рис. 5.44, б соответственно:

а)

б)

Рис. 5.44. Графики:

а) зависимости тока в индуктивности от времени б) зависимости напряжения на индуктивности от времени

в колебательном режиме

Длительность переходного процесса в колебательном режиме определяется величиной коэффициента затухания δ, который, в свою очередь, зависит от добротности контура δ = ω20. Чем выше добротность

контура, тем меньше коэффициент затухания, тем больше время переходных колебаний.

Критический режим

Критический режим возникает при выполнении условия δ = ω0 , как нетрудно убедиться, эквивалентно соотношениям:

 

 

=

1

; = 2√

 

; = 2 и

=

 

= 0,5.

 

 

 

 

 

 

 

2

 

ρ

 

 

 

 

 

 

При этом корни характеристического уравнения (5.25) имеют

следующий вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

= 2 = −δ,

 

 

 

т.е. являются вещественными, отрицательными, равными друг другу. Покажем расположение корней характеристического уравнения на

комплексной плоскости (рис. 5.45).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При

 

подстановке

корней в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

выражение

 

для

 

напряжения

на

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

емкости

 

 

 

 

 

 

 

возникает

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

неопределенность,

поскольку корни

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1, 2 равны друг другу:

 

 

 

 

Рис. 5.45. Расположение корней

 

 

 

uC

(t)

U0

( p1e

p2t

p2e

p1t

).

 

 

 

p1

p2

характеристического уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

на комплексной плоскости

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в критическом режиме

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Раскрывая эту неопределенность по правилу Лопиталя, получим

 

 

( ) =

 

 

 

( ) =

 

 

 

0

 

( 2

1 ) =

 

 

 

св

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

2

1 )

 

 

 

 

 

 

( 2 1 )

 

=

 

0

 

 

1

 

 

 

 

2

 

=

 

 

0

 

 

 

2

 

 

;

 

2)

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12 ( 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( ) = ( 2

2 ) = 2 (1 − );

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

2

 

 

0

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 = 2 = −δ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( ) =

св

( ) = −δ(1 + δ );

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( ) =

 

 

 

= −

 

0

−δ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( ) =

( )

= − −δ(1 − δ ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В решении появляется характерный для случая кратных корней множитель t перед экспонентой. Качественно характер свободных колебаний в критическом режиме не отличается от апериодического режима, только все переменные будут убывать быстрее, чем в апериодическом режиме.

Контрольные вопросы

1.Что такое переходный процесс? В каких схемах он возникает и почему?

2.Что называют начальными условиями задачи?

3.Сформулируйте законы коммутации. Каков их физический смысл?

4.От чего зависит порядок дифференциального уравнения цепи?

5.Когда режим в цепи называется свободным, когда вынужденным?

6.Чем отличаются дифференциальные уравнения, описывающие свободные и переходные колебания в цепи? Чем отличаются их решения?

7.Как находится характеристическое уравнение цепи по заданному дифференциальному уравнению?

8.Что называют постоянной времени цепи? Как от нее зависит длительность переходного процесса?

9.Как определяются постоянные времени RC- и RL-цепей?

10.Как графически найти постоянную времени цепи?

11.Как практически оценивается время переходного процесса?

12.Как определяются и от чего зависят собственные (свободные) колебания в цепи?

13.Как определяются и от чего зависят вынужденные колебания в цепи? 14.Какие режимы свободных колебаний возможны в последовательном

колебательном контуре, и чем они определяются?

15.Что понимают под начальными условиями для RLС-контура? 16.Какие корни характеристического уравнения соответствуют каждому

из этих режимов свободных колебаний в RLС-контуре?

17.Какой физический смысл имеют вещественная и мнимая составляющие комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения?

18.Какими соотношениями связаны параметры RLC-контура для каждого режима?

19.Как должны измениться потери в контуре (значение емкости С, индуктивности L), чтобы критический режим перешел в апериодический? колебательный?

20.Может ли частота собственных (свободных) колебаний в в контуре RLС быть выше (равна, ниже) резонансной частоты 0 этого же контура?

21.Как величина добротности контура влияет на режим собственных колебаний?

22.Как величина добротности влияет на период собственных (свободных) колебаний, декремент затухания и длительность переходного процесса?

Соседние файлы в папке Зайцева