
Зайцева / 5 раздел
.pdf
где ρ = √ – характеристическое сопротивление контура, а Q = ρ – его
добротность.
При этом корни (5.25) имеют следующий вид:
1,2 = −δ ± ωсв,
где ωсв = √ω02 − δ2 – частота свободных затухающих колебаний. Покажем, что значение коэффициента затухания δ обратно
пропорционально добротности конура = |
ω0 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
δ = |
|
= |
|
|
ω0 |
= |
|
ω0 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
2ω0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
тогда ωсв = √ω02 − δ2 = √ω02 − ( |
|
|
|
0 |
) |
|
= ω0√1 − |
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Корни |
|
являются |
комплексно- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
сопряженными |
|
|
числами |
|
с |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
отрицательной вещественной частью. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Покажем |
|
|
|
расположение |
корней |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
характеристического уравнения |
на |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
комплексной плоскости (рис. 5.42). |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При |
|
|
|
подстановке |
корней |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1,2 |
= − δ ± ωсв в (5.28), получим |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
выражения для комплексных величин |
|||||||||||||||||||
Рис. 5.42. Расположение корней |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
постоянных интегрирования A1 |
и |
A2 , |
||||||||||||||||||||||
характеристического уравнения |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
при |
|
|
этом |
|
докажем, |
что |
это |
|||||||||||||||||
на комплексной плоскости |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
комплексно-сопряженные величины. |
|||||||||||||||||||||||
в колебательном режиме |
|
|
|
|
|
U0 p2 |
|
|
U0 ( δ jωсв ) |
|
U0 (δ jωсв ) |
|
|||||||
A |
|
||||||||||||||
1 |
|
p1 p2 |
|
jωсв ( δ jωсв ) |
|
2 jωсв |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ |
|
|
|
|||
|
U0 |
|
|
|
|
e jarctg( |
|
) |
U0ω0 |
e j 1 ; |
|||||
|
|
ω |
св |
2 δ2 |
ωсв |
||||||||||
|
2ωсв |
|
|
|
|
|
2ωсв |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где ω0 |
|
|
ωсв |
2 δ2 |
и угол 1 показаны на рис. 5.42. |
||||||||||||||||||
|
|
U0 p1 |
|
|
|
|
U0 ( δ jωсв ) |
|
|
|
U0 ( δ jωсв ) |
|
|||||||||||
A |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2 |
|
p1 |
p2 |
|
|
δ jωсв ( δ jωсв ) |
|
|
2 jωсв |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
U0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ |
) |
U0ω0 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
ω |
|
2 δ2 e |
|
ωсв |
e j 1 |
A1 . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jarctg ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
св |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2ωсв |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2ωсв |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U0 (ωсв jδ)
2 св
U0 (ωсв jδ) 2ωсв

|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя |
A |
и A2 |
1 |
в (5.26), получим выражение напряжения |
|||||||||||||||
|
1 |
A |
||||||||||||||||||
для емкости в колебательном режиме: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
uC (t) |
U0ω0 |
e j 1 e( δ jωсв )t |
U0ω0 |
e j 1 e( δ jωсв )t |
U0ω0 |
e δt e j(ωсвt 1 ) e j (ωсвt 1 ) |
||||||||||||||
|
|
2ωсв |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
2ωсв |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2ωсв |
||||
|
U0ω0 |
e δt cos(ω |
|
t |
) |
|
U0 |
|
e δt cos(ω |
|
t |
). |
|
|||||||
|
св |
|
|
|
св |
|
||||||||||||||
|
ωсв |
|
1 |
|
|
cos 1 |
|
|
|
1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Как показали расчеты в колебательном режиме не только корни |
|||||||||||||||||||
характеристического уравнения 1,2 |
= −δ ± ωсв комплексно сопряжены, |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
но и постоянные интегрирования |
A |
A2 |
1 |
|
|
|||||||||||||||
|
1 и |
A являются комплексно |
сопряженными. Это позволяет найти реакцию, в частности, напряжение на емкости по упрощенной формуле:
|
|
|
|
p1t |
|
U0 0 |
|
|
uC (t) |
2 Re A1 e |
|
2 Re |
|
e |
|||
|
2 св |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U0 0 |
e t cos( |
|
t |
). |
|
|
|
|
св |
|
|
|||||
|
св |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j 1 e( j св )t |
|
|
(5.30) |
|
Качественный график полученной функции напряжения на емкости показан на рис. 5.43.
При малых потерях в контуре (R < 2 ) свободные колебания имеют характер затухающих гармонических колебаний.
Степень затухания зависит от показателя экспоненты = 2 , который
называется коэффициентом затухания.
Период затухающих колебаний Tсв определяется частотой св и равен:
св = |
2 |
= |
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
2 |
|||
|
ωсв |
|
||||
|
|
|
√ |
|
− |
|
|
|
|
|
42 |

Рис. 5.43. График напряжения на емкости в колебательном режиме
На практике степень затухания колебаний часто оценивают декрементом затухания , который определяет уменьшение амплитуды свободных колебаний за время периода. Из (5.30) следует, что
|
|
|
|
|
|
|
U0ω0 |
e δt cos(ω |
|
t |
|
) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
св |
1 |
||||||
|
uСсв (t) |
|
|
|
|
|
|
ωсв |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eδTсв . |
||||
u (t T ) |
U0 |
ω0 |
|
|
δ(t Tсв ) |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
e |
cos(ωсв |
(t Tсв ) 1 ) |
|||||||||||
|
Ссв |
св |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ωсв
Для оценки степени затухания используется также логарифмический декремент затухания
|
|
|
|
|
ln = δ Tсв. |
|
|
|
|
|||
Качественные графики тока |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
= |
|
|
= − |
0 |
−δ sinωсв |
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
∙ св |
|
|
|
|||
и напряжения на индуктивности |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
( ) = |
( ) |
= − |
0ω0 |
−δ cos(ω |
|
− |
) = |
|||||
|
|
св |
||||||||||
|
|
|
ωсв |
|
|
|
1 |
|
||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
= − |
−δ cos(ωсв − 1 ) |
|
|
|
|
|||||||
cos 1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в последовательном контуре при колебательном режиме представлены на рис. 5.44, а и рис. 5.44, б соответственно:

а) |
б) |
Рис. 5.44. Графики:
а) зависимости тока в индуктивности от времени б) зависимости напряжения на индуктивности от времени
в колебательном режиме
Длительность переходного процесса в колебательном режиме определяется величиной коэффициента затухания δ, который, в свою очередь, зависит от добротности контура δ = ω20. Чем выше добротность
контура, тем меньше коэффициент затухания, тем больше время переходных колебаний.
Критический режим
Критический режим возникает при выполнении условия δ = ω0 , как нетрудно убедиться, эквивалентно соотношениям:
|
|
= |
1 |
; = 2√ |
|
; = 2 и |
= |
|
= 0,5. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
√ |
|
ρ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
При этом корни характеристического уравнения (5.25) имеют |
||||||||||
следующий вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
= 2 = −δ, |
|
|
|
т.е. являются вещественными, отрицательными, равными друг другу. Покажем расположение корней характеристического уравнения на
комплексной плоскости (рис. 5.45).

|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При |
|
подстановке |
корней в |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выражение |
|
для |
|
напряжения |
на |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
емкости |
|
|
|
|
|
|
|
возникает |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
неопределенность, |
поскольку корни |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, 2 равны друг другу: |
|
|
|
|
||||||||||
Рис. 5.45. Расположение корней |
|
|
|
uC |
(t) |
U0 |
( p1e |
p2t |
p2e |
p1t |
). |
|||||||||||||||||
|
|
|
p1 |
p2 |
||||||||||||||||||||||||
характеристического уравнения |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
на комплексной плоскости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
в критическом режиме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Раскрывая эту неопределенность по правилу Лопиталя, получим |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
( ) = |
|
|
|
( ) = |
|
|
|
0 |
|
( 2 |
− 1 ) = |
|
|
|
|||||||||||||
св |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1→2 |
− |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
( |
2 − |
1 ) |
|
|
|
|
|
|
( 2 − 1 ) |
|
|||||||||||||
= |
|
0 |
|
∙ |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
= |
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
; |
|||||
|
− 2) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1→2 ( 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1→2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = ( 2 |
− 2 ) = 2 (1 − ); |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = 2 = −δ, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
( ) = |
св |
( ) = −δ(1 + δ ); |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
( ) = |
|
|
|
= − |
|
0 |
−δ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
( ) = |
( ) |
= − −δ(1 − δ ). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В решении появляется характерный для случая кратных корней множитель t перед экспонентой. Качественно характер свободных колебаний в критическом режиме не отличается от апериодического режима, только все переменные будут убывать быстрее, чем в апериодическом режиме.
Контрольные вопросы
1.Что такое переходный процесс? В каких схемах он возникает и почему?
2.Что называют начальными условиями задачи?
3.Сформулируйте законы коммутации. Каков их физический смысл?
4.От чего зависит порядок дифференциального уравнения цепи?
5.Когда режим в цепи называется свободным, когда вынужденным?
6.Чем отличаются дифференциальные уравнения, описывающие свободные и переходные колебания в цепи? Чем отличаются их решения?
7.Как находится характеристическое уравнение цепи по заданному дифференциальному уравнению?
8.Что называют постоянной времени цепи? Как от нее зависит длительность переходного процесса?
9.Как определяются постоянные времени RC- и RL-цепей?
10.Как графически найти постоянную времени цепи?
11.Как практически оценивается время переходного процесса?
12.Как определяются и от чего зависят собственные (свободные) колебания в цепи?
13.Как определяются и от чего зависят вынужденные колебания в цепи? 14.Какие режимы свободных колебаний возможны в последовательном
колебательном контуре, и чем они определяются?
15.Что понимают под начальными условиями для RLС-контура? 16.Какие корни характеристического уравнения соответствуют каждому
из этих режимов свободных колебаний в RLС-контуре?
17.Какой физический смысл имеют вещественная и мнимая составляющие комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения?
18.Какими соотношениями связаны параметры RLC-контура для каждого режима?
19.Как должны измениться потери в контуре (значение емкости С, индуктивности L), чтобы критический режим перешел в апериодический? колебательный?
20.Может ли частота собственных (свободных) колебаний в в контуре RLС быть выше (равна, ниже) резонансной частоты 0 этого же контура?
21.Как величина добротности контура влияет на режим собственных колебаний?
22.Как величина добротности влияет на период собственных (свободных) колебаний, декремент затухания и длительность переходного процесса?