Добавил:

Dan1l5 Лабы/курсовые по программированию (С++/Verilog HDL), Теория и Практика Помехоустойчивого Кодирования Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича

Предмет:

Электротехника

Файл:

Зайцева / 5 раздел

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.03.2022

Размер:

1.5 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

5.5.2. Свободные колебания в последовательном RC-контуре

Решим задачу анализа свободных колебаний в RCконтуре, схема которого приведена на рис. 5.12. В момент времени t = 0 ключ замыкается.

Рис. 5.12. Схема RC-контура

Определим начальные условия, то есть напряжение на емкости при= 0−. В этот момент ключ еще разомкнут, и в цепи режим постоянного тока, создаваемый источником постоянного напряжения o.

В этом режиме ток на емкости
( ) равен нулю, что эквивалентно

размыканию зажимов емкости. Тогда
схема приобретает вид, показанный
на рис. 5.13.
Найдем напряжение на зажимах
емкости:			Рис. 5.13. Схема RC-контура в
(0	−	) = .	режиме постоянного тока при = 0−
	−	0

Для цепи после коммутации ( ≥ 0), представленной на рис. 5.14, которая образуется из исходной цепи после замыкания ключа, составим

уравнение по второму закону Кирхгофа:

( )

= 0,

( )

где

( ) = ( ) ∙ ;

( ) =

Подставим

эти

выражения в

уравнение по второму закону Кирхгофа

получим

дифференциальное

уравнение

относительно напряжения

( ):

( )

Рис. 5.14. Схема RC-контура

∙

( ) = 0.

после коммутации( ≥ 0)

Полученное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением первого порядка, поскольку в цепи один реактивный элемент – емкость.

Решение данного однородного уравнения будем искать в виде свободной составляющей (вынужденная составляющая равна нулю). Свободная составляющая, а, следовательно, и полное решение имеет вид:

( )

= е 1 .

св

Показатель

степени

экспоненты

является

корнем

характеристического уравнения:

∙ ∙ + 1 = 0,

т. е. 1

= −

∙

Корень характеристического уравнения является вещественным

отрицательным числом.

В результате,

( ) =

( )

= е−

= −

, где = ∙ имеет

∙

св

размерность времени и называется постоянной времени RC-контура.

Из начальных условий находим постоянную интегрирования 1:

−

) = е0

= = .

Окончательное решение дифференциального уравнения будет иметь

следующий вид:

( ) =

( )

= е−

= − .

∙

св

Определим ток

( ) через напряжение

( ):

( )

( ) =

= −

− .

Величины 1

и будут зависеть от структуры цепи и ее параметров.

Если = ,

то ( ) = −1

и ( ) = −

−1 = −

. Таким

∙

образом, постоянная времени определяет время, за которое ток и напряжение на емкости в RC-контуре убывают по абсолютной величине в режиме свободных колебаний в ≈ 2,72 раз и составляют

( ) = 0 ≈ 0,37 0 и ( ) = − ∙0 ≈ −0,37 0.

Графики полученных зависимостей ( ) (рис. 5.15, а) и ( ) (рис. 5.15, б) показывают, что абсолютные значения этих величин убывают

по экспоненте со скоростью, которая определяется постоянной времени (как и для RL-контура).

По графикам видно, что происходит разряд емкости. Напряжение постепенно уменьшается до нуля. Во время разряда в цепи протекает ток, противоположный по направлению зарядному, указанному на рис. 5.12. Это означает, что емкость эквивалентна в данном режиме источнику напряжения. Вся запасенная в емкости энергия с течением времени преобразуется в тепло в резистивном сопротивлении.

а)	б)
Рис. 5.15. Графики зависимостей	( ) (а) и	( ) (б)

На рис. 5.16 показано расположение корня характеристического уравнения, который расположен в левой полуплоскости на ее вещественной отрицательной полуоси (как и для RL-контура).

Рис. 5.16. Расположение корня характеристического уравнения на комплексной плоскости

5.6. Переходные колебания в цепях с одним реактивным элементом при ступенчатом воздействии

Ступенчатое воздействие напряжения или тока описывается функцией, представленной на рис. 5.17.

( ) = {0,	при < 0;
,	при ≥ 0.

Рис. 5.17. Ступенчатое воздействие

Ступенчатое воздействие напряжения (тока) называют перепадом или скачком напряжения (тока). Практически перепад напряжения (тока) соответствует включению в цепь источника постоянного напряжения (тока) и легко моделируется цепью из источника постоянного напряжения (тока) и ключа, который замыкается в момент = 0 (рис. 5.18).

Рис. 5.18. Цепи, моделирующие ступенчатое воздействие

5.6.1. Переходные колебания в последовательном RL-контуре при ступенчатом воздействии

Найдем законы изменения тока и напряжения в последовательном RL - контуре, если к его входу подведено напряжение в виде ступенчатого воздействия:

( ) = { 0,			при < 0;
0	0	,	при ≥ 0.

Подобной задаче соответствует подключение к контуру источника постоянного напряжения 0( ) = 0

вцепи, представленной на рис. 5.19,

вмомент замыкания ключа = 0.

Рис. 5.19. Схема RL-контура

Определим начальные условия. До коммутации токи и напряжения в RL-цепи были равны нулю, т.е. цепь находилась в состоянии покоя. Поэтому (0−) = (0+) = 0, т.е. имеем нулевые начальные условия.

Для t в цепи после коммутации (рис. 5.20) запишем уравнение по второму закону Кирхгофа.

Рис. 5.20. Схема RL-контура после коммутации (t )

( ) + ( )

( ),

где ( ) и

( ) – напряжения на

резистивном

сопротивлении

индуктивности.

Выразим

эти

напряжения

через

ток

( )

контуре,

используя известные

соотношения

( )

( ) =

( )

∙ ;

( )

Тогда получим следующее уравнение:

( )
	+	( ) ∙ =	( ) = .	(5.11)
	+	( ) ∙ =	( ) = .	(5.11)
		0	0

Полученное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка, что соответствует цепи с одним реактивным

элементом. Дифференциальное уравнение имеет постоянные коэффициенты и является неоднородным (правая часть отлична от нуля), т.к. в цепи после коммутации имеется источник.

Решение дифференциального уравнения в соответствии с изложенным выше порядком, будем искать в виде суммы (5.5)

( ) = св( ) + вын( ),

где св( ) – общее решение однородного уравнения с правой частью равной нулю, а вын( ) = уст( ) – частное решение уравнения (5.11), которое определяется как установившееся значение искомой переменной в цепи после коммутации.

Для определения св( ) запишем характеристическое уравнение, соответствующее полученному дифференциальному. Оно будет иметь вид:

+ = 0,

его корень будет равен:

1 = −

= −

В соответствии с этим свободная составляющая

( ) = е 1

= е−

= −

(5.12)

св

где

– постоянная интегрирования; =

– имеет размерность времени и

называется постоянной времени RL-цепи.

Необходимо отметить, что в цепи с одним реактивным элементом дифференциальное уравнение для искомой переменной будет первого порядка как для свободных, так и для переходных колебаний. Постоянные

А1 и будут зависеть от структуры цепи и ее параметров.

Вынужденную составляющую

вын

( )

будем определять как

установившееся значение тока в цепи. В установившемся режиме при t в цепи установится режим постоянного тока, при котором напряжение индуктивности тождественно, т.е. для любого момента времени, равно нулю

( )

(согласно соотношению

( ) =

= 0

при ( ) = const).

Поэтому в установившемся

режиме

постоянного

тока

индуктивность

можно

представить

коротким

замыканием, а всю схему в виде,

представленном

на

рис. 5.21.

Рис. 5.21. Схема RL-контура в

режиме постоянного тока при t

В данной схеме определяем

вын

( ) =

уст

( ) =

(5.13)

Полный переходный ток, согласно 5.11–5.13 равен

			( ) = е	−		0
				−	+	0	.	(5.14)
					+		.	(5.14)
			1

	Постоянную интегрирования 1			определяем из начальных условий
(0	+	) = 0. После коммутации ток в цепи описывается выражением (5.14).
	+

Полагая в нем = 0 и приравнивая полученное выражение известному

начальному значению, получим (0

)

= 0.

Отсюда

= −

Окончательное решение (5.14) принимает вид:

( ) =

−

е−

(1 − е−

(5.15)

График зависимости тока от времени представлен на рис. 5.22.

До коммутации

ток

индуктивности равен нулю и с

этого

же

значения

начинает

изменяться

после коммутации.

При = ток нарастает до 0.63 от

установившегося значения

Рис. 5.22. График зависимости тока

при = 4 достигает значения

на индуктивности от времени

0.98 ∙

По истечении времени = (4 − 5)

переходный процесс практически

завершается и в цепи устанавливается постоянный ток

уст

( ) =

Напряжения на индуктивности можно определить по найденному току

( ) с использованием известного соотношения:

( )

( ) =

= е− .

График ( ) приведен на рис. 5.23. Напряжение на индуктивности

( ) пропорционально производной от тока и в первый момент после

коммутации напряжение на индуктивности равно U0, т.е. изменяется скачком, т.к. до коммутации оно равнялось нулю.

Это не противоречит законам коммутации, которые выполняются только для токов в индуктивностях и для напряжений на емкостях.

Рис. 5.23. График зависимости напряжения на индуктивности от времени

5.6.2. Переходные колебания в последовательном RC-контуре при ступенчатом воздействии

Найдем законы изменения тока и напряжения в последовательном RC - контуре, если к его входу подведено напряжение в виде ступенчатого воздействия:

( ) = { 0,			при < 0;
0	0	,	при ≥ 0.

Подобной задаче соответствует подключение к контуру источника постоянного напряжения 0( ) = 0 в цепи, представленной на рис. 5.24, в момент замыкания ключа = 0.

Определим начальные условия. До коммутации токи и напряжения в RC-цепи были равны нулю, т.е. цепь находилась в состоянии покоя. Поэтому

(0−) = (0+) = 0, т.е. имеем

нулевые начальные условия.

Рис. 5.24. Схема RC-контура

Для t в цепи после коммутации (рис. 5.25) запишем уравнение по второму закону Кирхгофа.

( ) + ( ) =

( ),

где

( ) и

( ) – напряжения на

резистивном

сопротивлении и

емкости. Выразим эти напряжения

через

ток

( )

контуре,

используя известные соотношения

( )

= ( )

∙ ;

( )

Рис. 5.25. Схема RC-контура

Тогда

получим

следующее

после коммутации (t )

уравнение:


∙	( )	+	( ) =	( ) = .		(5.16)
∙		+	( ) =	( ) = .		(5.16)
				0	0

Полученное уравнение			является		линейным	дифференциальным

уравнением первого порядка, что соответствует цепи с одним реактивным элементом как для свободных, так и для переходных колебаний. Дифференциальное уравнение имеет постоянные коэффициенты и является неоднородным (правая часть отлична от нуля), т.к. в цепи после коммутации имеется источник.

( ) = св( ) + вын( ),

где св( ) – общее решение однородного уравнения с правой частью равной нулю, а вын( ) = уст( ) – частное решение уравнения (5.16), которое определяется как установившееся значение искомой переменной в цепи после коммутации.

∙ ∙ + 1 = 0, а

его

корень

будет равен:

1 = −

= −

. В

∙

соответствии с этим свободная составляющая

( ) = е 1

= е−

= −

∙

(5.17)

св

где 1 – постоянная интегрирования; = ∙ – имеет размерность времени и называется постоянной времени RC-цепи.

Необходимо отметить, что в цепи с одним реактивным элементом дифференциальное уравнение для искомой переменной будет первого порядка, и, следовательно, собственная составляющая будет иметь вид

(5.17). Постоянные 1	и будут зависеть от структуры цепи и ее
параметров.
Вынужденную составляющую		вын	( )	будем определять как
		вын

установившееся значение напряжения в цепи. В установившемся режиме при t в цепи установится режим постоянного тока, при котором ток емкости тождественно, т.е. для любого момента времени, равен нулю

(согласно соотношению ( ) =	( )		= 0 при	( ) = const).
(согласно соотношению ( ) =			= 0 при	( ) = const).


			Поэтому в установившемся
		режиме постоянного тока емкость
		представляет из себя обрыв цепи,
		и схему можно представить в виде
		рис. 5.26.
			Из представленной схемы
Рис. 5.26. Схема RC-контура в режиме		определяем
постоянного тока при t				( ) =	( ) = .
			вын	уст	0

Полное напряжение на конденсаторе равно

( )

= е−

+ .

(5.18)

Постоянную интегрирования 1

определяем из начальных условий

) = 0. После

коммутации напряжение в цепи

описывается

выражением (5.18). Полагая в нем

= 0

приравнивая

полученное

выражение известному начальному значению, получим

) =

= 0.

Отсюда 1 = − 0. Окончательное решение (5.18) принимает вид:

( ) =

− е−

(1 − е−

(5.19)

График зависимости напряжения на емкости от времени представлен

на рис. 5.27.

До

коммутации

напряжение

на емкости равно нулю и с этого же

значения

начинает

изменяться

после

коммутации.

При

напряжение нарастает до 0.53 от

установившегося значения 0, а

при

= 4 достигает значения

Рис. 5.27. График зависимости

0.98 ∙ 0.

напряжения на емкости от времени

По истечении времени = (4 − 5) переходный процесс практически

завершается

и в

цепи

устанавливается

постоянное

напряжение

( ) = .

уст

Ток ( )

можно определить по найденному напряжению

( ) с

использованием известного соотношения:

( )

е− .

График

( )приведен на рис. 5.28.

Необходимо отметить, что до

коммутации токи и напряжения в

цепи были равны нулю. В момент

коммутации напряжение на емкости

остается

нулевым, а ток

скачком

изменяется до величины

)

а затем постепенно спадает до нуля.

Рис. 5.28. График зависимости тока на емкости от времени

Скачок тока не противоречит законам коммутации, т.к. это не ток в индуктивном элементе.

5.7. Подключение источника гармонического напряжения в последовательной RL-цепи

Предположим, что в схеме, представленной на рис. 5.19, напряжение источника является гармонической функцией времени0( ) = 0cos(ω + 0). Тогда в данном случае дифференциальное уравнение (5.11) будет иметь правую часть в виде гармонической функции:

	( )	+		( ) ∙ = ( ) =				cos(ω + ).
		+		( ) ∙ = ( ) =				cos(ω + ).
					0		0	0
Свободная составляющая решения, как и в предыдущем примере, равна
		( ) = е 1
		( ) = е 1			= е−	= − .
	св			1	1			1
Вынужденную составляющую найдем как установившийся
гармонический ток
			( ) =		( ) =		cos(ω + ).
	вын			уст

Его параметры, т.е. амплитуду ImL и начальную фазу L, определим методом комплексных амплитуд. Искомая комплексная амплитуда тока

∙

̇ =

∙ =

+ ω

arctg(

)

√ 2 +

(ω )2 ∙

откуда получаем

;

= − arctg (

√2+(ω )2

Полный ток

( ) =

( ) +

( ) = −

cos(ω + ).

св

вын

Для расчета

используем

начальное

условие

) = 0 . При

подстановке в выражение для полного тока = 0 получим следующее

уравнение:

)

cos( ) = 0, откуда можно выразить :

= −

cos( ) = −

cos ( − (

)) .

√ 2 + (ω )2

Окончательно с учетом полученных выше результатов запишем

переходный ток:

( )

[cos (ω + − arctg (

)) −

√ 2 + (ω )2

− cos ( 0 − arctg ( )) ∙ − ].

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Зайцева

#
09.03.20221.36 Mб502 раздел.pdf
#
09.03.20221.25 Mб383 раздел.pdf
#
09.03.20221.19 Mб444 раздел.pdf
#
09.03.20221.5 Mб505 раздел.pdf
#
09.03.2022683.37 Кб46lab.rab.1.pdf
#
09.03.2022645.95 Кб35lab.rab.2.pdf
#
09.03.2022587.21 Кб43lab.rab.3.pdf
#
09.03.2022399.63 Кб43lab.rab.4.pdf
#
09.03.2022513.53 Кб28lab.rab.5.pdf