Зайцева / 5 раздел

Графики зависимостей от времени свободного, установившегося и полного токов приведены на рис. 5.29.

Рис. 5.29. Графики зависимостей от времени свободного, установившегося

иполного токов ( )

5.8.Расчет переходных колебаний в разветвленных цепях

содним реактивным элементом и источниками постоянного тока и напряжения

Расчет переходных колебаний в таких цепях можно произвести, используя общий порядок, изложенный в разделе 5.4, т.е. путем составления уравнений Кирхгофа и получения дифференциального уравнения. Очевидно, что при одном реактивном элементе в цепи порядок дифференциального уравнения будет первым. Другой способ решения рассматриваемой задачи – применение общей формулы, описывающей переходные токи и напряжения в цепи первого порядка, а именно:

где f(t) – переходный ток или напряжение в цепи; А1 – постоянная

интегрирования; – постоянная времени цепи; f(∞) = fвын = fуст – установившееся значение искомой переменной в цепи после коммутации, которое определяется при → ∞.

Постоянную интегрирования можно определить с помощью начального значения искомой переменной f(0+). Действительно, из (5.20) имеем: f(0+) = f(∞) + А1, откуда А1 = f(0+) f(∞). Таким образом, в данном

случае постоянная интегрирования равна разности между начальным и установившимся (конечным) значениями искомой переменной. Решение (5.20) окончательно запишем в следующем виде:

Рассмотрим определение величин, входящих в (5.21).

1. Начальное значение f(0+) определяется из схемы для t = 0+, в которой заданы или определены независимые начальные условия uC(0+) или iL(0+). Для расчета могут быть использованы законы Кирхгофа или любые другие методы. В частности, по теореме замещения (компенсации) реактивный элемент для рассматриваемого момента времени t = 0+ может быть заменен источником постоянного напряжения uC(0+) (если это емкость) или источником постоянного тока iL(0+) (если это индуктивность). В образованной таким образом резистивной цепи с источниками постоянного тока и напряжения могут быть определены начальные значения для всех токов и напряжений, в том числе и для искомой переменной.

2. Установившееся значение f(∞) = fвын = fуст определяется из схемы после коммутации в установившемся режиме постоянного тока при → ∞, в которой реактивный элемент представляется либо коротким замыканием (индуктивность) либо обрывом (емкость).

3. Постоянная времени RC-цепи определяется по формуле = RЭC, а

для RL-цепи = L / RЭ, где RЭ – эквивалентное сопротивление, рассчитанное относительно зажимов реактивного элемента в пассивном двухполюснике, полученном из заданной цепи путем удаления источника напряжения (внешние зажимы которого замыкаются накоротко) или (и) источника тока (внешние зажимы которого размыкаются).

Далее рассмотрим примеры решения задач указанными двумя способами.

Пример 5.8.1

Для цепи, представленной на рис. 5.30, определить переходный ток iL(t) путем составления и решения дифференциального уравнения.

Источник постоянного напряжения U0 подключается к разветвленной цепи с индуктивностью.

Начальные условия нулевые, т.е. iL(0+) = iL(0–) = 0.

Составим уравнения Кирхгофа. Линейно независимая система должна состоять в данном случае из трех уравнений (три неизвестных тока), причем одно уравнение составляем по первому закону Кирхгофа и два уравнения по второму закону Кирхгофа:

Решаем полученную систему относительно искомой переменной iL(t). Для этого выражаем через iL(t) токи i1(t) и i2(t), используя второе и третье уравнения системы:

Эти выражения подставим в первое уравнение и после элементарных преобразований получим дифференциальное уравнение:

Решение дифференциального уравнения находим в виде iL(t) = iLсв(t) + iLвын.

1. Характеристическое уравнение ( + ) + 1 = 0 и его корень

1 2

где τ = (1+ 2) – постоянная времени для данной цепи.

1 2

2. Вынужденную составляющую определим из схемы после коммутации в

3. Постоянную интегрирования А1 определим из начальных условий iL(0+) = 0. При подстановке в полное решение t = 0 получим:

iL 0 A1 U0 0. R1

Отсюда А1 = U0 . Окончательное решение принимает вид:

R1

Пример 5.8.2

Определить функцию тока через резистор R1 в схеме, представленной на рис. 5.32, после размыкания ключа, используя общую формулу (5.21):

i1(t) = i1(∞)+ [i1(0+) i1(∞)] e–t/ .

Параметры цепи: I0 = 3 A; R1 = R2 = R3 =10 Ом; C = 10–4Ф.

1. До коммутации в цепи был установившийся режим постоянного тока. Схема для этого режима изображена на рис. 5.33, из которой определим независимое начальное условие uC(0+) = uC(0–) . Заметим, что искомое напряжение совпадает с напряжением на резистивном сопротивлении R3. Ток через этот резистивное сопротивление проще всего определить, заменив источник тока I0 с параллельным сопротивлением R1 на источник напряжения U0 = I0R1 с последовательным сопротивлением R1. После этого образуется последовательная цепь и ток i3(0–) = I0R1 / (R1 + R2 +

R3),

а напряжение uC (0–) = I0R1R3 / (R1 + R2 + R3) = 10 В.

2. Начальное значение i1(0+) определим из схемы рис. 5.34 для t = 0+ (ключ разомкнут), в которой известно напряжение uC (0+) = 10 В.

Из уравнений Кирхгофа имеем:

1(0+) + 2(0+) = 0;

1(0+) ∙ 1 − 2(0+) ∙ 2 = (0+) = 10 В.

Подставив значения R1 и R2 и решив полученную систему уравнений,

получим 1(0+) = 2 .

3. Установившееся значение искомой переменной в режиме постоянного тока в цепи после коммутации (рис. 5.35) равно 1уст = 0 =

3 .

Полученное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решение будем искать в виде: uC(t) = uCсв(t).

Для определения свободной составляющей записываем соответствующее характеристическое уравнение

∙ 2 + ∙ + 1 = 0; 2 + ∙ + 1 = 0 или 2 + 2 ∙ + 02 = 0

и определяем его корни:

где введены следующие обозначения:= 2 – коэффициент затухания;

ω0 = √1 – резонансная частота контура.

Далее записываем выражение для свободной составляющей

uСсв (t) A1e p1t A2e p2t .

Очевидно, что после коммутации в установившемся режиме цепь будет находиться в режиме покоя, а значит, вынужденная составляющая решения определяется как установившееся значение напряжения на емкости, которое будет равно нулю: вын = уст = 0. Таким образом, полное решение для напряжения

Выражение для тока необходимо для определения постоянных интегрирования. Используя начальные условия, из (5.26) и (5.27) при t = 0 получим:

uC(0)= A1 + A2 = U0;

i(0) = CA1p1 + CA2p2 = 0.

Решение этой системы уравнений дает выражения для постоянных интегрирования:

Таким образом, напряжение на емкости имеет следующий вид:

Дальнейшая конкретизация решения связана с видом корней p1 и p2

характеристического уравнения. В зависимости от соотношения между параметрами цепи возможны следующие виды корней (5.25):

1.δ > ω0 – корни вещественные, отрицательные, неравные, что соответствует, как будет показано ниже, апериодическому режиму переходных колебаний;

2.δ < ω0 – корни комплексные сопряженные с отрицательной вещественной частью, что соответствует колебательному режиму;

3.δ = ω0 – корни вещественные отрицательные, равные. Режим

называется критическим.

Далее рассмотрим эти три случая отдельно.

а) б)

Рис. 5.41. Графики: а) зависимости напряжения на емкости от времени; б) зависимости тока и напряжения на индуктивности от времени

в апериодическом режиме

Качественные графики тока i(t) = iL(t) и напряжения на индуктивности uL(t) приведены на рис. 5.41, б соответственно. При построении этих графиков принималось во внимание то, что в цепи апериодический режим, а также соотношения, связывающие указанные функции с найденной

функцией uС(t). Начальные значения (0+) = 0 и (0+) = − 0 могут быть получены из начальных условий и уравнения Кирхгофа для момента

времени t = 0+:

находится в состоянии покоя. Поскольку напряжение на индуктивности пропорционально производной от тока, то оно должно быть положительным во время возрастания тока, отрицательным во время его убывания и равным нулю в момент времени t, когда ток достигает максимума.

Колебательный режим

Колебательный режим возникает при выполнении условия δ < ω0 , а, следовательно: