35. Метод корневого годографа

Пусть имеется разомкнутая система: , где . Здесь – истинный коэффициент усиления разомкнутой системы. Тогда запишем:

Для замкнутой системы: .

Нули разомкнутой системы остаются нулями замкнутой системы, а полюса замкнутой системы изменяются.

Метод корневого годографа заключается в отыскании корней :

Корневой годограф – это траектории корней характеристического уравнения замкнутой системы, полученные при изменении разомкнутой системы (передаточной функции) от на комплексной плоскости S.

Уравнение (а) распадается на уравнение для модулей и уравнение для аргументов:

Пусть траектория проходит через исследуемую точку, тогда: , где - не длина векторов.

Если выполняется уравнение (а), то через исследуемую точку обязательно пройдет одна из ветвей корневого годографа. Чтобы определить при каком это будет выполняться составляют уравнения для модулей по уравнению (а): . И находят из которого пересчитывается истинный коэффициент.

Для устойчивости системы достаточно, чтобы корни располагались слева.

36. Правила построения траекторий корней в методе корневого годографа

1. Количество годографов равно порядку . Каждая ветвь корневого годографа является непрерывной кривой, зависящей от K. Комплексные части годографов всегда сопряженные (можно рассматривать только половину полуплоскости).

2. Поведение корневого годографа при . Из уравнения видно, что ветви корневого годографа начинаются в полюсах разомкнутой системы.

3. Поведение корневого годографа при .

1. Если , то , значит ветви корневого годографа заканчиваются в нулях передаточной функции.

2. Если , то рассматривается его поведение на : , т.е. штук ветвей корневого годографа заканчиваются в нулях передаточной функции и разомкнутой системы, а остальные уходят на бесконечность вдоль асимптот в виде прямых, расположенных под углами .

3. Уточнение точки пересечения асимптот. . В результате деления полинома получаем: , где – точка пересечения асимптот по формуле бинома Ньютона. При получаем: .

4. Корневой годограф на вещественной оси определяется с помощью уравнения для аргумента:

5. Определение углов выхода ветвей корневого годографа из комплексно-сопряженных полюсов ( ). Из действительной может двигаться либо к 0, либо к 180, т.е. движение по действительной оси. Для системы третьего порядка угол выхода определяется по формуле: .

6. Точки пересечения ветвей годографа с действительной осью. Либо приходят, либо уходят.

7. Точки пересечения ветвей годографа с мнимой осью. Записываем уравнение , подставляем и из полученной системы двух уравнений: находим точку пересечения мнимой оси ( ) и угол ( ).

8. Если все звенья в разомкнутой системе положительные и не выше второго порядка, то в результате замыкания единичной ООС система никогда не станет неустойчивой.

37. Определение свободного движения в системе с помощью обратного преобразования Лапласа выражения от ненулевых начальных условий

Пусть имеется n произвольных начальных условий:

Применим преобразования Лапласа к выражению (*): – при ненулевых начальных условиях. Окончательно получаем: , где . Тогда .

Найдем свободное движение в системе: . Порядок числителя меньше порядка знаменателя (если они равны, то свободное движение невозможно). При разбиении на дроби целая часть не отображается. L –простые корни, r – комплексно-сопряженные, k – кратные.

Вычет: .