Контактные явления в полупроводниках
Термоэлектронная работа выхода
Явление выхода из вещества электронов вследствие теплового возбуждения называют термоэлектронной эмиссией
Энергия - энергия электронного сродства. Численно равна работе, необходимой для перевода электрона со дна зоны проводимости в вакуум без сообщения ему кинетической энергии
Ea Ec
Ea – энергия электрона, вышедшего в вакуум и покоящегося относительно образца
Определим плотность тока термоэлектронной эмиссии электронов из невырожденного полуповодника.
Для преодоления барьера кинетическая энергия электрона должна быть больше его высоты:
m*vx2 
2
Термоэлектронная работа выхода
Количество квантовых состояний для кристалла единичного объёма в интервале
скоростей от v до v+dv
dZ 2 m*
h 3 dvx dvy dvz
Число электронов, способных покинуть полупроводник (для них E-F>>kT)
dn f0dZ 2 m*
h 3 exp E F 
kT dvx dvy dvz
Пусть все электроны, преодолевшие потенциальный барьер, не возвращаются в полупроводник. Направим ось x перпендикулярно поверхности. Если к поверхности движется поток электронов, плотность тока:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J e |
|
vx dn 2e m* h 3 eF kT |
|
e E kT vx dvx dvy dvz |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
vx min |
|
|
|
|
|
vx min |
||
|
|
E Ec |
m* |
2 |
2 |
2 |
|
|
|
Так как |
2 |
vx |
vy |
vz |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Термоэлектронная работа выхода
Уравнение запишем в виде:
|
2em |
*3 |
E F kT |
|
m*v2 |
2kT |
|
|
|
|
m*v2y 2kT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
J |
e |
e |
vx dvx e |
dvy |
|
|
* 2 |
2kT dvz |
|||||||||||||||||||
h3 |
c |
|
|
|
|
x |
|
|
|
e m vz |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
vx min |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учтём, что |
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
e |
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kT |
|
|
|
|
|
|
kT |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m*vx2 |
2kT |
|
|
|
m*vx2min |
2kT |
|
|
|
kT |
|||||
А интегрирование по vx даёт: |
|
|
|
e |
vx dvx |
e |
|
e |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
m* |
|
|
|
m* |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vx min |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J 4 em*k 2 T 2e Ea F kT AT 2e kT |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A 4 em*k 2 h3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ec |
F Ea F |
- Термоэлектронная работа выхода |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Работа выхода равна энергий покоящегося электрона в вакууме у поверхности образца и уровнем Ферми в данном полупроводнике
Термоэлектронная работа выхода
Подставив в общую формулу полученные ранее выражения для уровня Ферми для различных типов полупроводников, получим:
Собственный полупроводник |
|
|
|
1 |
E |
|
|
kT |
|
m* |
3 2 |
|
||
|
|
2 |
|
2 |
|
ln |
n |
|
|
|||||
|
|
i |
|
|
g |
|
|
|
m* |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Донорный полупроводник |
|
|
Ec |
|
Ed kT ln gNc |
|
||||||||
Слабая ионизация примеси |
n |
|
|
|
||||||||||
(вымораживание) |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
Nd |
|
||
Сильная ионизация примеси |
n kT ln Nc |
Nd |
|
|
||||||||||
(истощение) |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Акцепторный полупроводник |
|
Eg Ev |
Ea |
kT ln gNv |
|
|||||||||
Слабая ионизация примеси |
p |
|
||||||||||||
(вымораживание) |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
Na |
|
Сильная ионизация примеси |
p Eg |
kT ln Nv |
Na |
|
||||||||||
(истощение) |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Контакт металл-полупроводник
Рассмотрим модель, предложенную в работах Шоттки и Мотта. Уровни Ec и Ev –на несколько эВ ниже уровня вакуума (из расчётов
зонной структуры).
Уровень вакуума – минимальная энергия электрона, начиная с которой он может выходить за пределы кристалла.
Металл
Зона проводимости частично заполнена электронами, уровень Ферми F лежит в разрешенной зоне. Расстояние между уровнем Ферми и уровнем вакуума – работа выхода m
Полупроводник
Электронное сродство s - разность энергий между краем зоны проводимости Ec и уровнем вакуума
Работа выхода s - расстояние между уровнем Ферми и уровнем вакуума, зависит от уровня легирования.
Контакт металл-полупроводник
Мотт – потенциальный барьер на границе металла с полупроводником обусловлен разностью работ выхода этих материалов. После приведения в контакт полупроводника и металла положение уровня Ферми во всей системе должно стать одинаковым, для этого электроны переходят из одного материала в другой, и на границе возникает потенциальный барьер.
Шоттки – электрическое поле, возникающее в барьере, создается заряженными примесями, остающимися в приконтактной области полупроводника (обедненном слое) после ухода из нее электронов.
Схема образования и энергетическая диаграмма контакта металл – полупроводник n-
типа
m s
возникает потенциальный барьер (барьер Шоттки)
B m s - высота |
|
|
барьера Шоттки |
|
|
B qVbi |
|
|
qVbi m s - высота барьера, |
|
|
для электрона при переходе из |
а m s |
б m s |
полупроводника в металл |
Контакт металл-полупроводник.
Распределение поля
Длина экранирования в металле очень мала ( несколько ангстрем) – все электрическое поле сосредоточено в полупроводнике.
Пусть поле проникает в полупроводник на глубину X0 Предположим, что все доноры ионизированы n0 Nd
|
Объемный заряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
в обеднённом слое: en0 1 ee x kBT ; |
|
|
x |
|
kBT ρ en0 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
Уравнение Пуассона для |
|
|
|
|
Граничные условия |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
области объёмного заряда |
X0 |
0 ; E X0 d |
|
|
0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
d |
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
x X0 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
dx2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Получим: |
x |
|
en0 |
|
X0 |
x 2 |
|
|
|
|
0 |
k |
|
1 |
m s |
|
|
|||||||||||||||||||
2 0 |
|
|
|
|
e |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Отсюда |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
e2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
0 |
|
2 |
en |
0 |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 k |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Барьерная ёмкость контакта |
C |
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
0 |
0 |
|
en |
2 |
k |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Контакт металл-полупроводник. Квазиуровень Ферми
Термодинамическое равновесие
F Ec e x x const - в приконтактной области
x - уровень Ферми, отсчитываемый от дна зоны поводимости Ec e x - дно зоны проводимости в приконтактной области
n x Nc exp 
kBT - концентрация свободных носителей заряда
Эта формула справедлива и в отсутствие термодинамического равновесия, когда концентрация носителей заряда описывается
квазиуровнем Ферми |
F x const |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
dn |
|
|
d e |
|
eDn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ток через полупроводник: |
J en n eDn dx n n |
|
|
|
|||||||||||
dx |
n kBT |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Учитывая, |
n |
|
|
e |
|
J n n |
d e |
n n |
dFn |
|
|
|
|||
что |
D |
k |
|
T |
dx |
|
|
|
|
|
|||||
B |
dx |
|
|
|
|||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
d dx
Контакт металл-полупроводник. Квазиуровень Ферми
Изменение квазиуровня Ферми между двумя точками 1 и 2 полупроводника, в которых плотность тока одинакова:
2 |
2 |
Jdx |
2 |
dx |
2 |
dFn n n |
eJs en n s |
eI dR |
|||
1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
dR dx
s
Сопротивление участка полупроводника длиной dx с поперечным сечением s и удельной проводимостью
Fn Fn2 Fn1 eI R2 R1 e V2 V1
При наличии внешнего электрического поля изменение положения квазиуровня Ферми определяется приложенной разностью потенциалов.