11.2.Нормальный случайный процесс( гауссов процесс).

Процесс называется нормальным или гауссовым, если его одномерная ФПВ имеет вид:

54

⁻ −

x m

( )

2

¹ ( ) ^σ

1

W x e

=

2

2

σ π

2

Графики нормальной ФПВ построены на рис. 11.2.:

W(x)

σ1 σ1 σ1 m1<0 m1=0 m1>0 Рис.11.2. σ2>σ1

m1 - среднее значение случайного процесса . x σ² - дисперсия случайного процесса .

Свойства нормального случайного процесса .

1. W(x) ≥ 0

2. Нормальная ФПВ симметрична относительно x = m1

3. W(x) - max при х = m1

4. Площадь под кривой W(x) равна 1.

5. При изменении m1 форма кривой не меняется, но кривая смещается вдоль оси х.

6. Чем больше дисперсия σ², тем кривая ниже и шире.

7. С вероятностью близкой к 1 (Р≅0,997) мгновенные значения нормального случайного процесса лежат в пределах:

m1 - 3σ < x < m1+3σ

W(x)

Рис.11.3.

3σ 3σ x

Если известна дисперсия и m1, то рабочий участок ВАХ должен иметь протяженность m1±3σ.

8. ФРВ для нормального случайного процесса

_⎢⎢⎢^⎢_⎣^⎡₌⁻ =

x m

_⎥⎥⎥^⎥_⎦⎤

x m m x

2

y

1

−

−

1 1 2

^{x m} y

_{− −} ^{− −}= = =

x

( )

σ σ

¹ ( ) ² 1

1

σ

σ

1

∫ ∫∫

2

y

= =

F x e dx

2

σ

2

2

^{e dy e dy dx} dy σ π π

2

2

σ π

−∞

−∞

−∞

σ

55

_{= F(}x m− ₁

σ ^{) - табулированная функция (интеграл вероятности Лапласа)} F (0) = 0.5 F (-x) = 1- F(x)

F (3.9) = 0.99995 F (-∞) = 0; F(∞) = 1. ФРВ для нормального процесса имеет вид:

F (x)

1

0.5 Рис.11.4. 0 m1 x

11.3.Фпв и фрв для гармонического колебания со случайной начальной фазой.

Рассмотрим случайный процесс в виде гармонического колебания со случайной начальной фазой:

X(t) = Asin ( wt + ϕ )

ϕ - случайная величина, равномерно распределенная на интервале ± π, т.е. ФПВ мгновенных значений фазы , показанная на рис.11.5 равна: ^{W( ) ϕ}_{π =} ¹₂ ; |x| ≤ π

W(ϕ)

1/2π

Рис.11.5. -π 0 π ϕ

Вычислим среднее значение ϕ:

+∞

π

π

¹ ( ) m₁ xW x dx d d

1

∫ ∫ ∫

_ϕ ϕ ϕ ϕ 0

ϕ

= = = =

− ∞

π

2

π

2

π

π

Вычислим дисперсию:

− −

∞

π

¹ ( ) ( )^{3 3 2} 1

₂ π

ϕ π

σ ϕ ^ππ ∫ ∫ ^{x m W x dx d}

2 2

_ϕ = − = = = = ⁻ −

1

2

ϕ

2 3 3 3

−∞

π

π

π

π

ФПВ мгновенных значений x гармонического колебания со случайной фазой, изображенная на рис. 11.6, имеет вид:

⎧ _⎨⎪

0

,

≥

x A 1

_, =

_{A Xx A} ( )

W x

_⎩⎪

₋ 〈

^{2 2} π

56

W(x)

Рис.11.6.

-A 0 A x

Чем больше А, тем кривая ниже и шире. Заштрихованная площадь равна единице. Это площадь под кривой W(x) (условие нормировки).. ФРВ мгновенных значений для гармонического колебания со случайной фазой:

X(t) = Asin ( wt + ϕ )

F x

⎧ ^⎪⎪

0 1

,

х A

≤

1

x

( )

=

+ ≤ arcsin ,

⎨

2

π

_Ax A

^⎪⎪

⎩

1

,

x A 〉

F(x)

1

0.5

Рис.11.7.

-A 0 A x

11.4.ФПВ для суммы нормального случайного процесса и гармонического колебания со случайной начальной фазой. Рассмотрим случайный процесс z(t), равный:

Z(t) = x(t) + Asin (wt+ ϕ)

где x(t) - нормальный случайный процесс;

Asin (wt+ ϕ) - гармоническое колебание со случайной начальной фазой.

W(z) в этом случае находится сверткой.

57

∞

− −

z x

( )

2

^{1 1} ( ) ^σ

W z

∫

₋ = e dx

_{2 2}*

2

2

2

_π σ π

−∞

A x

Вид ФПВ, т.е. W(z) зависит от параметра:

h² A ²² ₂ ⁼ σ

W(z)

h²=0 h²=∞

h²= 6

Рис.10.8.

0 z

h² = 0 - нормальный случайный процесс (чистый шум). h² → ∞ - одно гармоническое колебание.

11.5.Огибающая и фаза узкополосного случайного процесса. Случайный процесс y(t) = Um(t) cos ( ω0t+ϕ(t) ) называется узкополосным, если его ширина спектра значительно меньше, чем средняя частота ω0. Um(t) - огибающая случайного процесса (случайная амплитуда) на рис.11.9;

ϕ(t) - фаза случайного процесса.

Для нормального случайного процесса фаза ϕ(t) распределена равномерно (см. выше).

u(t) Um(t)

Рис.11.9.

t

Огибающая нормального случайного процесса Um(t) распределена по закону Релея:

^U W U⁻

2

U_m

₂ ( ) ^σ

_m e

= _{; Um ≥ 0}

m

σ

2

2

58

W(Um)

з-н Релея

з-н Райса Рис.11.10.

0 Um

Если узкополосный случайный процесс есть сумма нормального шума и гармонического колебания с амплитудой А, то его огибающая распределена по обобщенному закону Релея (закон Райса): 2 2

U A

( )

− _m+

_{e I} ^U W U ^m

_σ U A

( ) * ( ) ⁰ 2

⁼ закон Райса.

m

m 2

2

2

σ σ

I0(.) - функция Бесселя от мнимого аргумента.