lab_4 / lab4_25
.docxМИНЦИФРЫ РФ
Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Московский Технический Университет Связи и Информатики»
Кафедра информатики
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4
«Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений»
Выполнил студент группы “Сортирный Союз”
username
Москва 2021
Индивидуальное задание
№ |
Уравнение |
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
Точное аналитическое решение заданного дифференциального уравнения
Точное аналитическое решение ДУ находится методом разделения переменных:
После интегрирования и преобразования данного выражения получаем:
Подставим и в выражение, чтобы найти :
Аналитическое решение дифференциального уравнения:
Значения точного решения ОДУ -
Вычислим в сценарии Scilab значения полученного решения на отрезке с шагом изменения аргумента :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Численное решение заданного ОДУ методом Эйлера
Вычислим в сценарии Scilab значения численного решения ОДУ методом Эйлера - - в точках отрезка с шагом . Для этого метода ОДУ записывают в виде . Общая формула для определения очередного значения функции по методу Эйлера имеет вид , где .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Погрешность метода Эйлера
Вычислим в сценарии значения погрешностей , где :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение ОДУ методом Рунге-Кутта 4-го порядка, дополненным методом автоматического выбора шага, обеспечивающим точность
Вычислим в программе значения численного решения ОДУ с точностью и получим решение в точках отрезка с шагом - - методом Рунге-Кутта 4-го порядка, используя формулу: , где
Схема алгоритма приведена в разделе 2.5 пособия по алгоритмам.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значения погрешностей
Вычислим в сценарии Scilab значения погрешностей:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение ОДУ средствами пакета Scilab
Решим ОДУ, используя функцию ode():
Сведём полученные значения в таблицу:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Построим графики:
Вывод: в данной работе значения решений ОДУ аналитическим методом (y(x)) и методом Рунге-Кутта 4-го порядка (y4(x)) практически совпадают. В решении ОДУ методом Эйлера (y1(x)) из-за допущений, принятых в методе, велика погрешность измерений.