![](/user_photo/_userpic.png)
lab_4 / lab4_25
.docxМИНЦИФРЫ РФ
Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Московский Технический Университет Связи и Информатики»
Кафедра информатики
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4
«Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений»
Выполнил студент группы “Сортирный Союз”
username
Москва 2021
Индивидуальное задание
№ |
Уравнение |
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
Точное аналитическое решение заданного дифференциального уравнения
Точное
аналитическое решение ДУ находится
методом разделения переменных:
После
интегрирования и преобразования данного
выражения получаем:
Подставим
и
в выражение, чтобы найти
:
Аналитическое
решение дифференциального уравнения:
Значения
точного решения ОДУ -
Вычислим
в сценарии Scilab значения полученного
решения
на отрезке
с шагом изменения аргумента
:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Численное решение заданного ОДУ методом Эйлера
Вычислим
в сценарии Scilab значения численного
решения ОДУ методом Эйлера -
- в точках отрезка
с шагом
.
Для этого метода ОДУ записывают в виде
.
Общая формула для определения очередного
значения функции по методу Эйлера имеет
вид
,
где
.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Погрешность метода Эйлера
Вычислим
в сценарии значения погрешностей
,
где
:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение
ОДУ методом Рунге-Кутта 4-го порядка,
дополненным методом автоматического
выбора шага, обеспечивающим точность
Вычислим
в программе значения численного решения
ОДУ с точностью
и получим решение в точках отрезка
с шагом
-
- методом Рунге-Кутта 4-го порядка,
используя формулу:
,
где
Схема алгоритма приведена в разделе 2.5 пособия по алгоритмам.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значения
погрешностей
Вычислим
в сценарии Scilab значения погрешностей:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение ОДУ средствами пакета Scilab
Решим
ОДУ, используя функцию ode():
Сведём полученные значения в таблицу:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Построим
графики:
Вывод: в данной работе значения решений ОДУ аналитическим методом (y(x)) и методом Рунге-Кутта 4-го порядка (y4(x)) практически совпадают. В решении ОДУ методом Эйлера (y1(x)) из-за допущений, принятых в методе, велика погрешность измерений.