Лекція 6 (1)
.docxЛекція 6 (1)
Основи лінійного програмування
Чому математичне програмування?
1959 р. – дата появи цього терміну. Назва пояснюється вибором програми дій (наших вчинків) для досягнення мети (розв’язання задачі). Бажано ціль досягати якнайшвидше – результат раціональних, цілеспрямованих дій або оптимальної програми дій: тут використовуються математичні методи розв’язання задач, знаходження extr функції на множинах з обмеженнями.
Традиційно вважається, що лінійне програмування (ЛП) є серцевина математичної підготовки економістів.
Зауваження! Слушно прийняти до уваги, що дане твердження з’явилося в епоху домінування теорії рівноважного стану.
Постановка задачі ЛП: економічний зміст, її математична модель (ММ)
а) Вербальне формулювання задачі ЛП
На випуск n видів продукції П₁, , … витрачається m m видів ресурсів (сировина, матеріали, трудові ресурси тощо) А₁, ,… .
Відомі витрати ресурсів і-го виду на одиницю продукції j-го виду, обсяг ресурсів і-го виду та величина прибутку від реалізації одиниці продукції j-го виду. Треба так організувати випуск продукції, виходячи із наявних ресурсів, щоб одержувати найбільший прибуток.
Словесно формулювання задачі відображено в таблиці та оцінка ресурсів наводиться в таблиці.
б) Табличний спосіб запису задачі ЛП
Види ресурсів |
Види продукції |
Запаси ресурсів |
|||||
П₁ |
|
|
|
|
|
||
А₁
-
-
|
-
-
|
-
-
|
- - - - - - |
-
-
|
- - - - - - |
-
-
|
-
-
|
Випуск продукції |
|
|
- |
|
- |
|
|
Прибуток від одиниці продукції |
|
|
- |
|
- |
|
|
Від табличного способу подання інформації перейдемо до аналітичного, тобто запишемо рівняння ММ.
Змінні х₁, , … – кількість одиниць випущеної продукції відповідно П₁, , …
в) Аналітичний запис задачі ЛП
Фактичні витрати відповідного виду не можуть перевищувати наявний їх обсяг (*)
(**)Із економічного змісту: 0, 0, … 0. Прибуток складає від випуску всієї продукції (***)ᵶ= + →max, зрозуміло.
Система нерівностей (*) і (**) та лінійна форма (***) або функція мети, цільова функція визначає ММ задачі.
Від координатної розгорнутої форми запису задачі лінійного програмування (ЗЛП) перейдемо до компактної матричної
→ extr (max або min)
(i=1, 2,…,m)
0 (j=1,2,…,n)
загальноприйнятої у літературі.
Форми запису задачі ЛП
Існують три: загальна
→ extr (max або min)
(i=1, 2,…, )
(i= 1,…,m)
0 (j=1,2,…,n),
яка зручна для теоретичних досліджень;
Стандартна
→ extr
(i=1, 2,…,m)
0 (j=1,2,…,n),
до якої зводяться більшість задач практики;
Канонічна
→ extr
(i=1, 2,…,m)
0 (j=1,2,…,n),
яка використовується при чисельному розв’язанні задач ЛП.
Чим відрізняються наведені вище форми запису задачі ЛП?
Загальна передбачає мішану сукупність рівнянь і нерівностей; стандартна – тільки нерівностей одного сенсу (в одну сторону); канонічна – тільки рівності, зберігаючи умову >=0 .
!Як здійснюється перехід від стандартної форми канонічної?
від « » перехід до «=» через + додаткові змінні
від « » перехід до «=» через – додаткові змінні
Різновиди запису канонічної форми задачі ЛП
Система обмежень переписується у векторному вигляді
+ +…+ … = ,
де = є вектор стовпець умов затрат, Т-індекс транспортування;
є вектор обмежень (запасів).
!Тоді вектор обмежень є розвинення в базисі векторів затрат, – коефіцієнти розвинення.
Задача ЛП формулюється: знайти точки =( ) з невід’ємними координатами 0 такі, що виконується
+…+ … = ,
причому лінійна форма ᵶ≡f(x)=c₁ +…+ досягає екстремуму extr (max f або min f).
Канонічна форма задачі ЛП з використанням матрично-векторного запису формулюється: знайти ᵶ max (min)= при умові А = , де 0, причому = є вектор-строка; = є вектор-стовпець; А= ( ), i=1, 2,…,m; j=1,2,…,n є матриця системи обмежень; – вектор стовпець обмежень; – нуль-вектор.
Термінологія
Обмеження (i= ) в економіці називаються лімітами.
Набір змінних таких, що матриця, складена із коефіцієнтів біля цих змінних буде невироджена (det A ≠ 0), утворює базис; самі змінні називаються базисними.
Розв’язки з невід’ємними значеннями змінних, тобто 0, будуть допустимими.
Геометрично базисні розв’язки є вершини многогранника умов – області М задачі ЛП (випадок 2-ох змінних).
Оптимальним розв’язком задачі ЛП називається сукупність чисел {х1, х2, …, хn}, що задовольняє умовам задачі і лінійна форма досягає екстремуму.
Для економістів розв’язок = план.
План називається базисним, якщо вектори розвинення для являються лінійно незалежними.
Кожен план відповідає деякій точці ОДЗ (многогранника умов). Плани, що відповідають вершинам ОДЗ називаються опорними.
Геометричне (графічне) розв’язання ЗЛП
В окремому випадку двовимірного простору економічних подій (розглядаються лише два економічних фактори) ММ задачі ЛП записується і формується так: знайти вектор-план Х={x1, x2} що задовольняє обмеженням – системі нерівностей
,
і надає екстремального (extr) значення (мінімального min або максимального max) лінійній функції – цільовій або функції мети (лінія рівня).
Зауваження. У випадку рівності кожне відношення для обмеження (*) є пряма на координатній площині.
Кожна
пряма L:
розділяє координатну площину на дві
напівплощини – додатну та від’ємну:
відповідно всі точки > V
точки < b
(під прямою). Вектор
нормалі
вказує
на це.
Нагадаємо знаки квадратичної координатної площини х1Ох2 – простору економічних подій.
Вектор нормалі (або grad z – градієнт) лінійної функції вказує напрямок її зростання.
Область допустимих значень (ОДЗ) визначається системою нерівностей (*): завжди розташована у 1-му квадранті і може бути многогранником замкненим або відкритою областю М.
Щодо побудови області М
Перетин напівплощин, визначуваних нерівностями системи обмежень, може давати:
Лінія рівнів є пряма , що проходить через початок координат і пересовується паралельно самій собі в напрямку grad z.
Геометричне формулювання задачі ЛП: серед всіх точок обл. М відшукати таку, щоб лінія рівнів z (функція мети) приймала: найменше значення (zmin) – це 1-а М; найбільше значення (zmax) – остання точка зустрічі за умови паралельного переносу лінії нульового рівня z0 самій собі в бік grad z.
Взаємне розташування області допустимих розв’язків (ОДЗ) і лінії рівнів (z0)
Нескінченна множина розв’язків або альтернативний оптимум (min).
Приклад 1. Знайти max цільової функції для системи обмежень:
Крок 1. Будується ОДЗ:
Крок 2. Будується лінія нульового рівня:
Вона пересувається || самій собі в напрямку grad z. Остання точка перетину лінії рівня з областю М відповідає zmax.
Крок 3.
Інший спосіб розв’язання. Обчислити: координати усіх вершин многогранника; значення z у вершинах області М; вибрати найбільше числове значення.
Короткий зміст теорії ЛП
Лема1. Множина розв’язків системи обмежень задачі ЛП опукла.
Опуклим тілом називається таке, якому разом з довільними його точками належить і весь відрізок, що з’єднує ці точки.
Приклади: круг; еліпс; ; ; паралелепіпед; площина є випукла фігура ( область) не є випуклою.
Лема2. Перетин 2-ох опуклих множин є опукла множина.
Лема3. Множина планів задачі ЛП опукла.
Теорема 1. Випукла лінійна комбінація кутових точок випуклого обмеженого многогранника умов (конуса К) не виходть за нього.
Приклад:
Вектори λ₁, + = утворюють лінійну комбінацію і лежать в куту, який називається конусом К.
При умові λ₁+ =1 буде випукла лінійна комбінація, причому λ₁= λ, =1-λ і λє(0,1): множині всіх випуклих комбінацій векторів відповідає прямолінійний відрізок кінців цих векторів.
Якщо такими є вершини многогранника, то згадуваному відрізку відповідає ребро.
Теорема 2. Extr лінійної форми досягається в кутовій точці конуса К.
Теорема 3. Якщо існує множина лінійно незалежних векторів ... таких, що виконується х₁ +…+ +…+ =
Для Ʉ 0 (j=1,2…r), то точка = ; 0, 0,…0} є кутова для випуклої множини К розв’язків системи обмежень задачі ЛП.
Теорема 4. (обернена до теор.3). Якщо = ; 0, 0,…0} кутова точка множини К, то існують лінійно незалежні вектори ... такі, що має місце +…+ +…+ = для 0 (j=1,2…r)