
Лекція 6 (1)
.docxЛекція 6 (1)
Основи лінійного програмування
Чому математичне програмування?
1959 р. – дата появи цього терміну. Назва пояснюється вибором програми дій (наших вчинків) для досягнення мети (розв’язання задачі). Бажано ціль досягати якнайшвидше – результат раціональних, цілеспрямованих дій або оптимальної програми дій: тут використовуються математичні методи розв’язання задач, знаходження extr функції на множинах з обмеженнями.
Традиційно вважається, що лінійне програмування (ЛП) є серцевина математичної підготовки економістів.
Зауваження! Слушно прийняти до уваги, що дане твердження з’явилося в епоху домінування теорії рівноважного стану.
Постановка задачі ЛП: економічний зміст, її математична модель (ММ)
а) Вербальне формулювання задачі ЛП
На
випуск n
видів продукції П₁,
,
…
витрачається m
m
видів ресурсів (сировина, матеріали,
трудові ресурси тощо) А₁,
,…
.
Відомі
витрати
ресурсів і-го виду на одиницю продукції
j-го
виду, обсяг
ресурсів і-го виду та величина прибутку
від
реалізації одиниці продукції j-го
виду. Треба так організувати випуск
продукції, виходячи із наявних ресурсів,
щоб одержувати найбільший прибуток.
Словесно формулювання задачі відображено в таблиці та оцінка ресурсів наводиться в таблиці.
б) Табличний спосіб запису задачі ЛП
Види ресурсів |
Види продукції |
Запаси ресурсів |
|||||
П₁ |
|
|
|
|
|
||
А₁
-
-
|
-
-
|
-
-
|
- - - - - - |
-
-
|
- - - - - - |
-
-
|
-
-
|
Випуск продукції |
|
|
- |
|
- |
|
|
Прибуток від одиниці продукції |
|
|
- |
|
- |
|
|
Від табличного способу подання інформації перейдемо до аналітичного, тобто запишемо рівняння ММ.
Змінні
х₁,
,
…
– кількість одиниць випущеної продукції
відповідно П₁,
,
…
в) Аналітичний запис задачі ЛП
Фактичні витрати відповідного виду не можуть перевищувати наявний їх обсяг (*)
(**)Із
економічного змісту:
0,
0,
…
0.
Прибуток складає від випуску всієї
продукції
(***)ᵶ=
+
→max,
зрозуміло.
Система нерівностей (*) і (**) та лінійна форма (***) або функція мети, цільова функція визначає ММ задачі.
Від координатної розгорнутої форми запису задачі лінійного програмування (ЗЛП) перейдемо до компактної матричної
→
extr
(max або
min)
(i=1,
2,…,m)
0
(j=1,2,…,n)
загальноприйнятої у літературі.
Форми запису задачі ЛП
Існують три: загальна
→ extr (max або min)
(i=1,
2,…,
)
(i=
1,…,m)
0 (j=1,2,…,n),
яка зручна для теоретичних досліджень;
Стандартна
→ extr
(i=1, 2,…,m)
0 (j=1,2,…,n),
до якої зводяться більшість задач практики;
Канонічна
→ extr
(i=1, 2,…,m)
0 (j=1,2,…,n),
яка використовується при чисельному розв’язанні задач ЛП.
Чим відрізняються наведені вище форми запису задачі ЛП?
Загальна
передбачає мішану сукупність рівнянь
і нерівностей; стандартна
– тільки нерівностей одного сенсу (в
одну сторону); канонічна
– тільки
рівності, зберігаючи умову
>=0
.
!Як здійснюється перехід від стандартної форми канонічної?
від
«
»
перехід до «=» через + додаткові змінні
від
«
»
перехід до «=» через – додаткові змінні
Різновиди запису канонічної форми задачі ЛП
Система обмежень переписується у векторному вигляді
+
+…+
…
=
,
де
=
є вектор
стовпець умов
затрат, Т-індекс транспортування;
є
вектор обмежень (запасів).
!Тоді вектор обмежень є розвинення в базисі векторів затрат, – коефіцієнти розвинення.
Задача
ЛП формулюється:
знайти точки
=(
)
з невід’ємними
координатами
0
такі, що виконується
+…+
…
=
,
причому
лінійна форма ᵶ≡f(x)=c₁
+…+
досягає
екстремуму extr
(max
f
або
min
f).
Канонічна
форма задачі ЛП з
використанням матрично-векторного
запису формулюється: знайти ᵶ max
(min)=
при умові А
=
,
де
0,
причому
=
є вектор-строка;
=
є вектор-стовпець; А= (
),
i=1,
2,…,m;
j=1,2,…,n
є матриця системи обмежень;
– вектор стовпець обмежень;
– нуль-вектор.
Термінологія
Обмеження (i=
) в економіці називаються лімітами.
Набір
змінних таких, що матриця, складена із коефіцієнтів біля цих змінних буде невироджена (det A ≠ 0), утворює базис; самі змінні називаються базисними.
Розв’язки з невід’ємними значеннями змінних, тобто
0, будуть допустимими.
Геометрично базисні розв’язки є вершини многогранника умов – області М задачі ЛП (випадок 2-ох змінних).
Оптимальним розв’язком задачі ЛП називається сукупність чисел {х1, х2, …, хn}, що задовольняє умовам задачі і лінійна форма досягає екстремуму.
Для економістів розв’язок = план.
План
називається базисним, якщо вектори
розвинення
для
являються
лінійно незалежними.
Кожен план відповідає деякій точці ОДЗ (многогранника умов). Плани, що відповідають вершинам ОДЗ називаються опорними.
Геометричне (графічне) розв’язання ЗЛП
В окремому випадку двовимірного простору економічних подій (розглядаються лише два економічних фактори) ММ задачі ЛП записується і формується так: знайти вектор-план Х={x1, x2} що задовольняє обмеженням – системі нерівностей
,
і
надає екстремального (extr)
значення (мінімального min
або
максимального
max)
лінійній функції
–
цільовій або функції мети (лінія
рівня).
Зауваження. У випадку рівності кожне відношення для обмеження (*) є пряма на координатній площині.
Кожна
пряма L:
розділяє координатну площину на дві
напівплощини – додатну та від’ємну:
відповідно всі точки >
V
точки < b
(під прямою). Вектор
нормалі
вказує
на це.
Нагадаємо знаки квадратичної координатної площини х1Ох2 – простору економічних подій.
Вектор нормалі (або grad z – градієнт) лінійної функції вказує напрямок її зростання.
Область допустимих значень (ОДЗ) визначається системою нерівностей (*): завжди розташована у 1-му квадранті і може бути многогранником замкненим або відкритою областю М.
Щодо побудови області М
Перетин напівплощин, визначуваних нерівностями системи обмежень, може давати:
Лінія
рівнів
є пряма
,
що проходить через початок координат
і пересовується паралельно самій собі
в напрямку grad
z.
Геометричне формулювання задачі ЛП: серед всіх точок обл. М відшукати таку, щоб лінія рівнів z (функція мети) приймала: найменше значення (zmin) – це 1-а М; найбільше значення (zmax) – остання точка зустрічі за умови паралельного переносу лінії нульового рівня z0 самій собі в бік grad z.
Взаємне розташування області допустимих розв’язків (ОДЗ) і лінії рівнів (z0)
Нескінченна множина розв’язків або альтернативний оптимум (min).
Приклад
1.
Знайти max
цільової функції
для системи обмежень:
Крок 1. Будується ОДЗ:
Крок
2.
Будується лінія нульового рівня:
Вона пересувається || самій собі в напрямку grad z. Остання точка перетину лінії рівня з областю М відповідає zmax.
Крок 3.
Інший спосіб розв’язання. Обчислити: координати усіх вершин многогранника; значення z у вершинах області М; вибрати найбільше числове значення.
Короткий зміст теорії ЛП
Лема1. Множина розв’язків системи обмежень задачі ЛП опукла.
Опуклим
тілом називається таке, якому разом з
довільними його точками належить і весь
відрізок, що з’єднує
ці точки.
Приклади:
круг; еліпс; ; ; паралелепіпед; площина
є випукла фігура ( область)
не є випуклою.
Лема2. Перетин 2-ох опуклих множин є опукла множина.
Лема3. Множина планів задачі ЛП опукла.
Теорема 1. Випукла лінійна комбінація кутових точок випуклого обмеженого многогранника умов (конуса К) не виходть за нього.
Приклад:
Вектори
λ₁,
+
=
утворюють лінійну комбінацію і лежать
в куту, який називається конусом К.
При
умові λ₁+
=1
буде випукла лінійна комбінація, причому
λ₁=
λ,
=1-λ
і λє(0,1): множині всіх випуклих комбінацій
векторів
відповідає прямолінійний відрізок
кінців цих векторів.
Якщо такими є вершини многогранника, то згадуваному відрізку відповідає ребро.
Теорема 2. Extr лінійної форми досягається в кутовій точці конуса К.
Теорема
3. Якщо
існує множина лінійно незалежних
векторів
...
таких,
що виконується х₁
+…+
+…+
=
Для
Ʉ
0
(j=1,2…r),
то
точка
=
;
0, 0,…0} є кутова для випуклої множини К
розв’язків
системи обмежень задачі ЛП.
Теорема
4. (обернена
до теор.3). Якщо
=
;
0, 0,…0} кутова точка множини К, то існують
лінійно незалежні вектори
...
такі, що має місце
+…+
+…+
=
для
0
(j=1,2…r)