посібник зно математика

.

Відповідь: .

Узагальнений метод інтервалів

Щоб розв’язати нерівність , треба:

1.знайти область визначення функції у=f(x);

2.знайти нулі функції (f(x)=0);

3.на координатній прямій позначити нулі функції і визначити знак функції на кожному проміжку, на які розбивають нулі функції область визначення;

4.записати відповідь (вибрати ті інтервали, де функція має потрібний знак).

Графічний метод

Щоб розв’язати нерівність f(x)>g(x), треба побудувати графіки функцій y=f(x), y=g(x) і вибрати ті проміжки осі абсцис, на яких графік функції y=f(x)розташований вище графіка функції y=g(x).

Щоб розв’язати нерівність f(x)<g(x), треба побудувати графіки функцій y=f(x), y=g(x) і вибрати ті проміжки осі абсцис, на яких графік функції y=f(x)розташований

нижче графіка функції y=g(x).

Наприклад: .

Відповідь: .

Методи розв’язування систем рівнянь

Правило переходу до совокупності

Правило додавання

Правило підстановки

Зведення системи рівнянь до об’єднання простіших систем

Наприклад: Розв’яжіть систему

Розв’язання

Відповідь: (1,5; 1,5), (2,4; 0,6).

Спосіб уведення нових змінних

Наприклад: Розв’яжіть систему

Розв’язання

Відповідь: (16; 30).

Початки теорії ймовірності

Основні поняття

Подія – це явище, про яке можна сказати, що воно відбувається або не відбувається за певних умов. Події позначаються великими літерами латинського алфавіту: А, В, С,… Будь-яка подія відбувається внаслідок випробування (експерименту, досліду).

Випробування – це умови, за яких відбувається (чи не відбувається) подія.

Події розподіляються на випадкові, вірогідні та неможливі.

Випадковою називається подія, яка може відбутися або не відбутися внаслідок певного випробування.

Вірогідною називається подія, яка внаслідок даного випробування обов’язково відбудеться.

Неможливою називається подія, яка внаслідок даного випробування не може відбутися. Неможлива подія позначається символом .

Теорія ймовірностей – розділ математики, що вивчає закономірності випадкових подій.

Попарно несумісні події – це події, кожні дві з яких не можуть відбутися одночасно.

Рівноможливі події – події, кожна з яких не має ніяких переваг, щоб з’являтися частіше за іншу під час багаторазових випробувань, що проводяться за однакових умов.

Повною групою подій називається множина таких подій, коли в результаті кожного випробування обов’язково має відбутися хоча б одна з них.

Якщо події мають властивості: 1) утворювати повну групу подій; 2) бути несумісними; 3) бути рівно можливими, то такі події утворюють множину, яка називається простором елементарних подій.

Класичне означення ймовірності. Статистичне означення ймовірності

1. Класичне означення ймовірності

Відношення числа m елементарних подій, які сприяють події А, до загальної кількості n подій простору називається ймовірністю випадкової події А і позначається Р(А), тобто

,

де m – число подій, які сприяють події А, n – число подій простору елементарних подій (0≤m≤n).

Імовірність вірогідної події дорівнює 1, імовірність неможливої події дорівнює 0, а ймовірність Р(А) випадкової події А задовольняє умову 0<Р(А)<1.

Наприклад. Імовірність того, що при киданні двох монет випаде два герби, дорівнює , бо простір елементарних подій такий: А1 – випали два герби; А2 – випали герб і число; А3 – випали число і герб; А4 – випали два числа, а шуканій події сприяє лише одна подія – А1.

2. Статистичне означення ймовірності

Нехай n – кількість усіх випробувань в окремій серії випробувань, а m – кількість тих випробувань, у яких відбулася подія А.

Статистичною ймовірністю події А називається границя, до якої наближається відносна частота події А при необмеженому збільшенні числа всіх випробувань, тобто

Операції над подіями.Теорема про ймовірність суми подій. Теорема про ймовірність добутку подій

1. Операції над подіями

Сумою двох подій А і В називається подія , що полягає у здійсненні під час одиничного випробування або події А, або події В, або обох подій А і В одночасно (позначається С=А+В, або .

Подія називається протилежною події А, якщо вона відбувається тоді і тільки тоді, коли подія А не відбувається.

Добутком двох подій А і В називається подія С, яка полягає в одночасному здійсненні обох подій А і В під час одиничного випробування (позначається або .

2. Теорема про ймовірність суми подій

Імовірність суми двох несумісних подій А і В дорівнює сумі

ймовірностей цих подій. Якщо , то Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Наприклад. Якщо спортсмен стріляє по мішені, яка розділена на 2 частини, і ймовірність попадання в першу частину дорівнює 0,45, а в другу – 0,35, то йовірність попадання в мішень становитиме 0,45+0,35=0,8.

Із теореми випливають наслідки.

Наслідок 1. Сума ймовірностей подій А1,А2,…,An, які утворюють повну групу і попарно несумісні, дорівнює 1

Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn)=1.

Наслідок 2. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює 1

.

3. Теорема про ймовірність добутку подій

Дві події називаються незалежними, якщо ймовірність появи однієї з них не залежить від того, відбулася інша подія чи ні.

Імовірність добутку двох незалежних подій А і В дорівнює добутку ймовірностей цих подій, тобто .

Якщо подія А1, А2, …Аn незалежні, то ймовірність здійснення принаймні однієї з них С може бути виражена через імовірність цих подій формулою

.

Геометрія

Початкові поняття

Геометрія – це наука, яка вивчає властивості геометричних фігур. Прикладами геометричних фігур є трикутник, коло, квадрат. Розділ геометрії, в якому вивчаються властивості фігур на площині, називається

планіметрією.

Точка і пряма є основними геометричними фігурами на площині.

Точка не має розмірів. Уявлення про точку дає слід кінчика олівця на папері. Точки позначаються великими латинськими літерами A, B,C,…

Уявлення про пряму дає натягнута нитка. Пряма нескінченна. Прямі позначають або однією латинською літерою: a, b, c,…, або двома великими

латинськими літерами, які лежать на прямій: AB, BC,…

Частина прямої, обмежена двома точками, називається відрізком. Точки, які обмежують відрізок, називають його кінцями.

Наприклад: відрізок із кінцями в точках А і В. Такий відрізок позначають АВ або ВА.

Променем, або півпрямою, називається частина прямої обмежена з однієї сторони точкою. На рис. точка О називається початком променя. Промінь позначають або однією латинською літерою (промінь l), або двома великими латинськими літерами, перша із яких позначає початок променя, а друга – довільну точку на промені (промінь ОА).

Точка О, яка лежить на прямій, поділяє її на два промені, напрями яких протилежні. Ці промені називають доповнювальними.

Геометрична фігура

Геометричною фігурою називається будь-яке утворення з точок. Геометричні фігури називаються рівними, якщо вони збігаються при накладанні. На рис.

зображено рівні відрізки AB і CD. Це записується так: AB=CD.

Найпростішою геометричною фігурою є точка. З точок складаються всі інші геометричні фігури.

Отже,будь яка множина точок є геометричною фігурою.

Частина геометричної фігури теж є геометричною фігурою.

Геометричною фігурою є й об’єднання кількох геометричних фігур. На рис. фігура складається з прямокутника та двох трикутників.

Однією з основних геометричних фігур є площина. Уявлення про частину площини дає поверхня стола, шибки, стелі.

Основними геометричними фігурами на площині є точка і пряма.

Поняття про аксіоми та теореми

Геометрія вивчає властивості фігур, які виражаються різними твердженнями: означеннями, аксіомами, теоремами.

Означення – це твердження, яке пояснює дане поняття через уже відомі поняття.

Аксіома – це твердження, яке приймається на віру (без доведення).

Наприклад:

1.Яка б не була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і точки, що не належать їй.

2.Через будь-які дві точки можна провести пряму, і тільки одну.

3.Пряма розбиває площину на дві півплощини.

4.Із трьох точок прямої одна і тільки одна лежить між двома іншими.

Теоремою називається твердження про властивість фігури, істинність якого встановлюється у результаті міркувань. Ці міркування називаються доведенням.

Наведемо приклад.

Теорема. Дві різні прямі можуть перетинатися тільки в одній точці.

Доведення

Якби дві різні прямі мали дві точки перетину, то через ці точки проходили б дві різні прямі. А це неможливо, оскільки через дві різні точки можна провести тільки одну пряму (аксіома 2). Отже, дві різні прямі не можуть мати дві різні точки перетину.

Поняття про обернену теорему

Будь-яка теорема складається із двох частин: перша частина – умова (тобто те, що задано), друга частина – висновок (тобто те, що треба довести).

Приклад. Якщо дві різні прямі перетинаються (умова), то вони мають лише одну спільну точку (висновок).

Якщо поміняти місцями висновок і умову в теоремі, то о держимо теорему, обернену до даної. Дану теорему називають прямою.

Наприклад: теорема «Якщо дві різні прямі мають спільну точку (умова), то вони перетинаються (висновок)» є оберненою до теореми «Якщо дві різні прямі перетинаються (умова), то вони мають лише одну спільну точку (висновок)».

Слід зазначити, що з істинності прямої теореми не завжди випливає справедливість (істинність) оберненого твердження.

Довжина відрізка та її властивості

Основні властивості вимірювання відрізків виражаються аксіомами.

Аксіома вимірювання відрізків

Кожний відрізок має певне довжину, більшу за нуль. Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які він розбивається будь-якою точкою, тобто якщо С – точка відрізка АВ, то АВ=АС+ВС.

Знаходження довжини відрізка засноване не порівнянні його з деяким відрізком, який приймається за одиницю вимірювання. Вибравши одиницю вимірювання, можна знайти довжину будь-якого відрізка. На практиці для вимірювання довжин відрізків частіше за все використовують міліметр, сантиметр, дециметр, метр, кілометр. Ці одиниці вимірювання довжин пов’язані між собою, зокрема, 1 км=1000 м, 1 м=100 см, 1 дм=10 см, 1 см=10 мм.

Рівні відрізки мають однакову довжину і навпаки: якщо відрізки мають однакову довжину, то вони рівні.

Серединою відрізка називається точка цього відрізка, яка ділить його навпіл (тобто на два рівних відрізки).

Точка С – середина відрізка АВ,оскільки АС=СВ (рівні відрізки на малюнках познають однаковою кількістю рисок).

Основна властивість відкладання відрізків виражається аксіомою.

Аксіома відкладання відрізків

На будь-якій півпрямій від її початкової точки можна відкласти відрізок заданої довжини, причому тільки один.

Відстань між точками

Якщо на прямій відмітити дві різні точки, то вони розіб’ють пряму на три частини, дві з яких - це промені, а та, що знаходиться між променями, називається відрізком.

Відрізок — це частина прямої, що складається з усіх точок цієї прямої, що лежать між двома даними її точками, які називаються кінцями відрізка. Точки відрізка, які лежать між його кінцями, називаються внутрішніми точками відрізка.

Два відрізки називаються рівними, якщо вони мають однакову довжину.

Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які він розбивається будь-якою його точкою.

Внутрішня точка відрізка, що розбиває його на два рівні відрізки,

називається серединою відрізка.

На будь-якому промені від його початку можна відкласти відрізок даної довжини і тільки один.

Відстанню між точками А і В називається довжина відрізка АВ.

Відстань між точками має такі властивості.

1.Відстань між різними точками є величиною додатною.

2.Відстань від точки А до точки В дорівнює відстані від точки В до точки А, для будь-яких різних точок А і В виконується рівність: АВ=ВА.

3.Для будь-яких точок А, В, С відстань між двома точками менша або дорівнює сумі двох інших відстаней: .

Кут

Кутом називається фігура, яка складається з точки, вершини кута, і двох променів, що виходять із цієї точки (промені називаються сторонами кута). Кут позначається знаком .

Кут із вершиною О і сторонами ОА і ОВ. Цей кут позначається так: (літера, яка позначає вершину, завжди ставиться всередині) або . Нерідко кут позначається цифрою: .

Кут називається розгорнутим, якщо кожна його сторона є продовженням іншої сторони.

Два кути називаються рівними, якщо їх можна сумістити накладанням.

Наприклад: .

Величина кута та її властивості

Основні властивості вимірювання кутів виражаються аксіомами.

Аксіома вимірювання кутів

Кожний кут має певну градусну міру, більшу за нуль. Розгорнутий кут дорівнює 180°. Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами, тобто якщо промінь ОС проходить між сторонами кута АОВ, то

.

За одиницю вимірювання кутів приймається градус (позначається – 1°) – кут, який дорівнює 1/180 частині розгорнутого кута. Меншими одиницями вимірювання кутів є мінута (позначається

знаком ) і секунда (позначається .

Додатне число, яке показує скільки разів градус і його частини вкладуються в даному куті,

називається градусною мірою кута.

Рівні кути мають рівні градусні міри і навпаки: якщо кути мають рівні градусні міри, то кути рівні.

Кут називається прямим, якщо він дорівнює 90° (мал. 1); гострим, якщо він менше 90° (мал. 2); тупим, якщо він більше 90°, але менше 180° (мал. 3).

Мал.3

Бісектрисою кута називається промінь, який виходить із вершини кута і поділяє його на два рівних кути.

Наприклад: промінь ОС – бісектриса кута АОВ, оскільки (рівні кути на мал. позначають однаковими дужками).

Аксіома відкладання кутів

Від будь-якої півпрямої в задану півплощину можна відкласти кут із даною градусною мірою, меншою 180°, причому тільки один.

Суміжні і вертикальні кути та їх властивості

Означення. Суміжними називаються два кути, у яких одна сторона спільна, а дві інші є продовженням одна одної.

Наприклад: кути АОВ і ВОС – суміжні.

Суміжні кути мають таку властивість.

Теорема. Сума суміжних кутів дорівнює 180°.

Наприклад: , оскільки і – суміжні.

Означення. Вертикальними називаються два кути, у яких сторони одного кута є продовженням сторін другого

Паралельні прямі, прямі, що перетинаються та кути утворені їх перетином

Дві прямі на площині можуть мати спільну точку або не мати спільних точок. Дві прямі, які мають спільну точку, називаються прямими, що перетинаються.

Означення. Дві прямі, які лежать в одній площині і не перетинаються, називаються паралельними.

Паралельність прямих позначається знаком . Паралельність прямих а і b записується так: .

Аксіома паралельних прямих

Через точку, яка не лежить на даній прямій, можна провести в площині єдину пряму, паралельну даній прямій.

Нехай прямі а і b перетинаються третьою прямою с, яка називається січною. Тоді утворюється вісім кутів, які мають спеціальні назви: кути 3, 4, 5, 6 – внутрішні, кути 1, 2, 7, 8 – зовнішні.

Пари кутів 1 і 5, 2 і 6, 3 і 7, 4 і 8 називаються відповідними, пари кутів 3 і 6, 4 і 5 – внутрішніми різносторонніми, пари кутів 1 і 8, 2 і 7 – зовнішніми різносторонніми. Пари кутів 3 і 5, 4 і 6

називаються, 1 і 7, 2 і 8 – зовнішніми односторонніми.

Якщо дві паралельні прямі а і b перетнуті прямою с, то:

1.внутрішні різносторонні кути ріні, тобто ;

2.сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°, тобто , ;

3.відповідні кути рівні, тобто ;

4.зовнішні різносторонні кути рівні, тобто ;

5.сума зовнішніх односторонніх кутів дорівнює 180°, тобто

.

Ознаки паралельності прямих

Дві прямі, паралельні третій, паралельні між собою.

Якщо , то .

Якщо дві прямі а і b перетинаються третьою прямою с, то прямі

аі b паралельні, якщо:

1.внутрішні різносторонні кути ріні, тобто ;

2.сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°, тобто

;

3.відповідні кути рівні, тобто ;

4.зовнішні різносторонні кути рівні, тобто ;

5.сума зовнішніх односторонніх кутів дорівнює 180°, тобто

.

Перпендикулярні прямі

Означення. Дві прямі називаються перпендикулярними, якщо вони перетинаються під прямим кутом. Наприклад: перпендикулярні прямі а і b

(позначення , оскільки .

Теорема. Через кожну точку прямої можна провести перпендикулярну їй пряму, причому тільки одну.