Econometrics

Розділ 11

АНАЛІЗ ЧАСОВИХ РЯДІВ (МОДЕЛІ ТА ПРОГНОЗУВАННЯ)

11.1. Часові ряди, основні поняття та означення

Показники багатьох явищ і процесів в економіці змінюються в часі. Цей розвиток має назву економічної динаміки. Характерним для економічної динаміки є те, що рівень показників у наступному часовому періоді значною мірою залежить від їхнього рівня в минулому. Крім того, чим довший часовий інтервал між двома явищами, тим суттєвіша різниця як у кількісному, так і в якісному їхньому стані.

Початковою інформацією математико-статистичного вивчення процесу в розвитку є ряд числових даних, що являє собою зміни деякого економічного показника в часі, який має назву од-

новимірного ряду.

Отже, дамо визначення одновимірного ряду динаміки.

Послідовність спостережень одного показника (ознаки), упорядкована залежно від послідовно зростаючих або спадних значень другого показника (ознаки) є одновимірним рядом ди-

наміки.

Якщо ознакою, за якою відбувається впорядкування ряду, є час, то такий динамічний ряд має назву часового ряду.

Упорядкування економічних показників найчастіше відбувається саме за часом, тому в цьому розділі розглянемо принципово нові методи аналізу динамічних рядів на відміну від розділу, де розглядалися сукупності, що утворюють випадкову вибірку.

Одним з основних завдань аналізу рядів у соціальноекономічних системах є вивчення структури і класифікації основних факторів, під упливом яких формуються складові елементи часового ряду, і його розкладання на ці складові.

Дослідження рядів динаміки особливо важливо і для визначення темпів і пропорцій у розвитку економічних процесів, а також закономірностей і змін тих чи інших показників у майбутньому, тобто можливої поведінки їх у межах прогнозованого періоду.

1

Залежно від того, чого стосуються рівні ряду до певного моменту чи інтервалу часу — їх визначають як моментні й інтервальні.

Часові ряди, які характеризують економічні явища на певний конкретний момент часу, мають назву моментних. Наприклад,

випуск продукції на перше число кожного місяця, кварталу, року і т.ін. Якщо рівні часового ряду утворені агрегуванням за певний проміжок часу, то вони мають назву інтервальних часових рядів. Наприклад, часовий ряд, кожен рівень якого відбиває фонд заробітної плати робітників за кожен місяць року, за квартал або рік в цілому.

Часовий ряд записують як послідовність членів (рівнів): y1, y2, … yt, … yn, де n — кількість членів ряду; або скорочено: ряд yt,

t 1, n , де t є порядковий номер рівня ряду, який набуває значень

від 1 до n. Під довжиною ряду розуміють час від початкового рівня спостереження y1 до останнього yn. Довжина ряду складається з певної кількості рівнів ряду.

11.2. Поняття стаціонарного часового ряду

Динамічні ряди, характер яких не змінюється з часом, мають назву стаціонарних.

Стаціонарність часового ряду пов’язана з вимогою того, що він має стале середнє значення, і його рівні коливаються навколо цього середнього зі сталою дисперсією, тобто для стаціонарних рядів справджується рівність m(t) = const; D(t)= const; автокореляційна функція r(τ) (див. підрозділ 10.2) визначається як

r( ) r(t t ) M ( y(t) my ) ( y(t ) my ),

тобто вона в стаціонарному процесі є функцією одного аргументу— проміжку τ між двома моментами часу, не розрізняючи, де за часом розташовується цей проміжок.

Отже, властивості стаціонарного ряду не змінюються з часом, за яким починається рахунок його рівнів.

Припустимо, що нам потрібно змінити значення ряду yt на yt+s, де s — стале число. Якщо ряд вважається стаціонарним, то середнє, дисперсія і значення варіації ряду дисперсії yt+m мають бути такими ж, як і для yt. Якщо ж ці показники змінюватимуться з часом, то ряд буде нестаціонарним. Його легко зводять до стаціонарного, застосовуючи певні математичні перетворення, наприклад оператор різниць.

2

Стаціонарність рядів на рис. 11.1 розглядається за трьома типами:

а) стаціонарність навколо ненульової константи (СS); б) стаціонарність навколо нуля (ZS); в) тренд-стаціонарність, або стаціо-

Стаціонарні ряди, таким чином, можна вважати динамічно стабільними, або такими, що мають нульовий порядок інтегра-

ції, а саме: yt – І(0).

Розглядаючи графічно нестаціонарні ряди, можна зауважити, що виявити певну закономірність в їхній динаміці неможливо. Вони є нестабільними і мають відмінний від нуля порядок інтеграції. Зауважимо, що порядком інтеграції називають число, яке показує, скільки разів застосовується до ряду оператор перших різниць, для того, щоб він став стаціонарним.

Якщо часовий ряд yt має порядок інтеграції одиницю, тобто yt – І(1), то це означає, що його різниці є стаціонарним рядом, який тепер має нульовий порядок інтеграції: yt = (yt –yt- 1) – І(0).

Можливість прогнозування нестаціонарних рядів досить обмежена. У практиці їх аналізу застосовують, як правило, три підходи:

припущення про стаціонарність процесу в окремі проміжки часу, де це можливо;

аналізом виявляють характер нестаціонарності (наприклад, може бути, що швидкість або прискорення ряду сталі);

в той чи інший спосіб виключають нестаціонарність, яку по-

тім враховують окремо.

Так, нерідко нестаціонарність полягає лише в тому, що детермінована складова з часом змінюється.

Згідно з цим, визначивши дану функцію my(t), виключаємо це змінне математичне сподівання з ряду yt і зрештою наближено дістаємо стаціонарний ряд.

3

Дослідження нестаціонарних рядів виходить за межі даного розділу. Тут розглядатимемо тільки стаціонарні ряди, котрі добре піддаються аналізу і прогнозуванню.

11.3. Розкладання часових рядів на складові

Динаміка рядів економічних явищ і процесів у загальному випадку формується під впливом чотирьох груп факторів, а саме:

довготривалі, що формують загальну тенденцію. Кожен із цих факторів окремо може діяти на процес, що досліджується, у протилежному напрямі один щодо одного. Проте в сукупності вони формують зростаючу чи спадну тенденцію цього процесу, описувану невипадковою функцією Qt = f(t), яку називають функцією тренду, або просто — трендом;

сезонні, що формують періодично повторювані за певний час року коливання того чи іншого показника. Це теж є невипадкова функція St= φ(t).

Оскільки ця функція має бути періодичною (з періодами, що кратні «сезонам»), то в її аналітичному виразі мають бути включені гармоніки (тригонометричні функції), періодичність яких зумовлена змістовною сутністю задачі;

циклічні (кон’юнктурні), що формують зміни динаміки ряду, зумовлені дією тривалих циклів економічної, демографічної чи астрофізичної природи (демографічні «ями», цикли сонячної активності і т. ін.). Результат дії циклічних факторів позначимо за допомогою невипадкової функції Zt = ψ(t);

випадкові (нерегулярні), які не піддаються реєстрації й обліку. Їхня дія на формування рівнів часового ряду саме і зумовлює їхню стохастичну природу. Отже, часовий ряд y1, y2, y3, … yn можемо інтерпретувати як сукупність спостережень із випадкових величин, яка має специфічні властивості, відмінні від класичної стохастичної вибірки, що розглядалася в розд. 4.

Позначимо цю випадкову функцію Ut = ς(t).

Випадкові фактори, у свою чергу, можуть бути різної природи: стрибкоподібні («несподівані»), що призводять до стрибкоподібних структурних змін у механізмі формування основних регулярних складових функцій f(t), φ(t), ψ(t), та еволюційно залишкові, які зумовлюють невеликі випадкові відхилення значень yt від тих, що відбуваються під впливом дії регулярних факторів.

У цьому розділі розглядатимемо схеми формування часових рядів тільки під впливом еволюційно залишкових випадкових факторів.

4

Звичайно, не обов’язково, щоб у формуванні рівнів часового ряду були присутні одночасно всі розглянуті щойно фактори. Висновки про те, якого типу фактори формують рівні ряду динаміки yt, можуть базуватися як на аналізі змістовної сутності задачі (тобто вони мають бути апріорно-експертними за своєю природою), так і на спеціальному статистичному аналізі досліджуваного часового ряду.

Наведемо кілька прикладів.

Приклад 11.1. У табл. 11.1 і на рис. 11.2. наводяться дані про сумарні місячні відстані, км, що їх подолали авіалайнери компанії «Аеросвіт» за 96 місяців з 1993 року до грудня 2000 року, тобто часовий проміжок дорівнює одному місяцю, а довжинаряду n=96.

Таблиця 11.1

ВІДСТАНІ, ЩО ЇХ ПОДОЛАЛИ АВІАЛАЙНЕРИ, км

5

Рис. 11.2. Графік динаміки часового ряду, наведеного в табл. 11.1. (Відстані, що їх подолали авіалайнери компанії «Аеросвіт»)

Дані про відстань, яку подолали авіалайнери, є типовими прикладами сезонних коливань, що поступово з’єднуються з трендом, який монотонно зростає. Сезонний ефект тут легко можна спостерігати. Протягом року відбувається три «спалахи» активності пасажирських авіаперевезень: на Великдень, улітку та на Різдвяні свята. Звісно, перельоти на Великдень від року до року зрушуються, як і дата самого цього свята. Крім того, коливання в обсягах перевезень можуть вібдуватися ще через неоднакові кількості авіалайнерів, що виконують роботу.

Приклад 11.2. На фондовій лондонській біржі за 48 кварталів відома динаміка курсу акцій компаній з 1960—1971 рр. Дані наведено в табл. 11.2 і графічно на рис. 11.3. Часовий проміжок дорівнює кварталу, а довжина ряду становить n = 48.

Таблиця 11.2

ІНДЕКС КУРСУ АКЦІЙ ПРОВІДНИХ КОМПАНІЙ НА ЛОНДОНСЬКІЙ БІРЖІ

6

У прикладі 11.2 чітко спостерігається чотирирічний економічний цикл, що може бути пояснений не тривалою складовою економічного розвитку, а, як стверджують фахівці, проведенням парламентських виборів раз у чотири роки.

Приклад 11.3. За 56 років (1884—1939 рр.) наведено дані урожаю ячменю в Англії та Уельсі (табл. 11.3 і рис. 11.4). Часовий проміжок тут дорівнює одному року, а довжина ряду n=56.

Таблиця 11.3

УРОЖАЙНІСТЬ ЯЧМЕНЮ В АНГЛІЇ ТА УЭЛЬСІ З 1884 ДО 1939 рр. (в англ. центнерах)

7