cgiirbis_64 (6)

Параметричний тест Гольдфельда—Квандта

Коли сукупність спостережень невелика, то розглянутий метод визначення гетероскедастичності незастосовний.

Гольдфельд і Квандт розглянули випадок, коли M uu 2 xij2 ,

тобто дисперсія залишків зростає пропорційно до квадрата однієї з незалежних змінних моделі:

Y XA u .

Для виявлення гетероскедастичності вони запропонували параметричний тест, який потребує виконання таких кроків.

Крок 1. Упорядкувати спостереження одного з векторів пояснюючих змінних, який може призводити до гетероскедастичності.

Крок 2. Відкинути с спостережень, які міститимуться в центрі цього вектора. Автори тесту запропонували оптимальні співвідношення між параметрами с і n, де n — кількість елементів ве-

ктора X j :

nc 154 .

Крок 3. Побудувати дві економетричні моделі на основі 1МНК за двома створеними сукупностями спостережень (n–c)/2 за умови, що (n–c)/2 перевищує кількість змінних m.

1 і S2 за першою

(1) і другою (2) моделями:

S1 u€1u€1 , де u€1 — залишки за першою моделлю S2 u€2u€2 , де u€2 — залишки за другою моделлю

Крок 5. Обчислити критерій

R* S2 , S1

який наближено матиме F-розподіл із (n–c–2m)/2 i (n–c–2m)/2 ступенями свободи, де n — кількість спостережень, m — кількість пояснюючих змінних. Обчислене значення R* порівнюється з табличним значенням F-критерію при ступенях свободи (n–c–2m)/2 i (n–

c–2m)/2 і вибраному рівні значущості. Якщо R* Fтабл , то гетероскедастичності немає.

3

Непараметричний тест Гольдфельда—Квандта

Гольдфельд і Квандт для оцінювання наявності гетероскедастичності запропонували також використовувати непараметричний тест. Висновки про наявність гетероскедастичності за цим тестом робляться на основі графіка зміни залишків після упорядкування спостережень за тією пояснювальною змінною, яка може призводити до гетероскедастичності.

Тест Глейсера

Ще один тест для перевірки гетероскедастичності запропонував Глейсер: за цим тестом будується регресійне рівняння зна-

чень залишків ui від тієї пояснюючої змінної, яка може призвес-

ти до гетероскедастичності, тобто відповідає зміні дисперсії u2 . Для цього застосовуються такі види функцій:

3) u a0 a1 X 1j / 2 .

Висновок про відсутність гетероскедастичності залишків робиться на підставі статистичної значущості коефіцієнтів a0 і a1 .

Переваги цього тесту полягають у можливості розрізняти випадок чистої і змішаної гетероскедастичності. Чиста гетероскедастичність зумовлюється лише однією змінною, змішана — кількома. Чистій гетероскедастичності відповідають значення параметрів a0 0, a1 0 ; а змішаній — a0 0, a1 0 . Залежно

від цього потрібно користуватися різними матрицями S. Нагадаємо, що

M uu u2 S V .

Якщо при економетричному моделюванні для певних вихідних даних буде виявлено явище гетероскедастичності, то оцінювання параметрів моделі потрібно виконувати згідно з узагальненим методом найменших квадратів. Оператор оцінювання цим методом запишеться:

де X — матриця пояснюючих змінних моделі; X — матриця, транспонована до матриці Х;

4

Y — вектор залежної змінної:

У цій матриці залежно від висунутої гіпотези маємо:

У разі чистої гетероскедастичності доцільно застосовувати першу або другу гіпотезу, при змішаній — третю.

Прогноз на основі економетричної моделі, в якій параметри оцінюються узагальненим методом найменших квадратів, можна дістати на підставі такого співвідношення:

Yпр X 0 A W V u ,

де u — вектор залишків, який відповідає оцінці параметрів моделі на основі 1МНК;

W — вектор, транспонований до вектора коваріацій поточних і прогнозних значень залишків.

Оскільки V u2 S , то V 1 S 1 .

Оцінювання параметрів моделі згідно з узагальненим методом найменших квадратів (методом Ейткена)

Приклад

1.Дослідити наявність гетероскедастичності в загальній економетричній моделі за допомогою методів тестування економічної інформації:

1) параметричного тесту Гольдфельда—Квандта;

2) тесту Глейсера.

2.Сформувати матрицю S та S–1.

3.Оцінити параметри моделі за допомогою узагальненого методу найменших квадратів (методу Ейткена).

4.Виконати точковий та інтервальний прогноз попиту.

5

5. Здійснити порівняльний аналіз кількісних характеристик взаємозв’язку, здобутих методом найменших квадратів і узагальненим методом Ейткена.

Вихідні дані наведено в табл. 1.

Дослідимо наявність гетероскедастичності в загальній економетричній моделі різними методами.

Параметричний тест Гольдфельда—Квандта.

1. Ідентифікуємо змінні.

Y — попит (залежна змінна);

Х1 — дохідна одну людину (незалежна, абопояснююча, змінна); Х2 — ціна одиниці (незалежна, або пояснююча, змінна); Х3 — ціна одиниці взаємозамінюваних товарів (незалежна, або

пояснююча, змінна).

Звідси дістаємо загальний вигляд моделі:

Y f X1 , X 2 , X3 , u ,

де u — стохастична складова.

6

2. Специфікуємо економетричну модель у лінійній формі. Дістанемо лінійну модель:

Відшукуємо с спостережень, які містяться всередині сукупності:

nc 154 .

Зауважимо, що ми висунули таку гіпотезу: дохід може викликати гетероскедастичність залишків.

У цьому прикладі n=12 і с 3. Отже, якщо ми відкинемо 3 елементи із середини, то в сукупності залишиться 9 елементів, які не діляться на 2 без остачі. Тому потрібно відкинути 3 елементи із середини та один елемент на початку сукупності й дістати дві сукупності: n1, n2 = 4.

3.1. Знайдемо економетричну модель для сукупності n1 = 4. Оцінимо кількісно параметри моделі, скориставшись стандарт-

ною програмою «Лінійн»:

3.2. Побудуємо економетричну модель для сукупності n2 = 4. Оцінимо кількісно параметри моделі, скориставшись також

стандартною програмою «Лінійн»:

0,2400 4,2000

0,0302 7,6004 лін 2: 0,9692 0,4472 63,0000 2,0000 12,6000 0,4000

7

Отже, на основі другої сукупності дістанемо таку економетричну модель:

€

Y 4,2 0,24X1 .

3.3. На підставі наведених щойно даних знайдемо суму квадратів залишків (ці дані можна дістати зі стандартних програм «Лін1» та «Лін2», вони виділені в наведених розрахунках вище):

S1 0,5185;

S2 0,4000.

3.4. Знайдемо критерій

Порівняємо це значення з табличним значенням критерію Фі-

шера (F-критерію), коли маємо n c 2m 2 ступенів свободи та

2

=0,5. Значення критерію R* менше від табличного значення критерію Фішера (0,77 < 19), а отже, у масиві змінних гетероскедастичності немає.

Тест Глейсера.

Цей тест базується на визначенні регресійної залежності між модулем залишків та тією змінною, яка може спричинитися до гетероскедастичності,

u€ a€0 a€1 X j .

У цій моделі перевіряється достовірність оцінок параметрів a€0 та a€1 .

Достовірність параметрів a€0 та a€1 можна дістати, скористав-

шись стандартною програмою «Лінійн», де вхідними даними замість вектора Y (попит) були значення залишків, здобутих методом 1 МНК за модулем та відповідна незалежна змінна Х (дохід на одну людину, або ціна одиниці товару, або одиниці взаємозамінюваних товарів).

8

Виконаємо обчислення, маючи на меті встановити наявність гетероскедастичності залишків для доходу на одну особу (Х1):

Установимо достовірність параметрів моделі згідно з критерієм Стьюдента (t-критерієм):

Як бачимо, значення t-критерію для a€0 , коли рівень значущо-

сті 0,05 , також менше за табличне значення t-критерію (1,86).

Отже, оцінки параметрів статистично незначущі, а залишки не є гетероскедастичними.

9

Виконаємо обчислення, щоб установити наявність гетероскедастичності залишків для ціни одиниці взаємозамінюваних товарів (Х3):

табличне значення t-критерію (1,86). Звідси випливає, що оцінка параметру a€0 є статистично значущою, а залишки мають змішану

гетероскедастичність.

Висновок. В економетричній моделі для вихідних даних виявлено змішану гетероскедастичність, а тому для оцінювання параметрівмоделінеможназастосовувати метод найменших квадратів.

Метод Ейткена.

Якщо при економетричному моделюванні для певних вихідних даних буде виявлено явище гетероскедастичності, то параметри моделі слід оцінювати за узагальненим методом найменших квадратів (методом Ейткена). Оператор оцінювання цим методом запишеться у вигляді:

Доцільно спинитися на третій гіпотезі, оскільки йдеться про змішану гетероскедастичність.

Запишемо матрицю пояснюючих змінних:

10

Знайдемо матрицю, транспоновану до матриці пояснюючих змінних:

Обчислюємо діагональні елементи матриці S 1 згідно з третьою моделлю залишків за тестом Глейсера:

Нарешті запишемо добуток останньої матриці та матриці S 1 : Перемножимо матрицю, транспоновану до матриці пояснюю-

чих змінних, та матрицю S 1 :

11

Продовження матриці S–1.

Матриця залежної змінної Y (попит на товар) має такий вигляд:

50,0051,0052,0055,00

54,00 Y 56,00 .

58,0060,0062,0064,00

65,0067,00

Перемножимо матрицю Х S 1 та вектор Y попиту на товар:

446,321

X S 1Y 994908022,9,1 .2463,87

Знайдемо матрицю, обернену до попередньої:

12