cgiirbis_64 (6)

пояснюючих змінних (F-критерій); в) кожної пари пояснюючих змінних (t-критерій).

Усі ці критерії при порівнянні з їх критичними значеннями дають змогу зробити конкретні висновки щодо наявності чи відсутності мультиколінеарності пояснюючих змінних.

Опишемо алгоритм Фаррара—Глобера.

Крок 1. Нормалізація змінних.

Нехай Х1, Х2, Х3, ..., Хm — вектори пояснювальних змінних економетричної моделі. Елементи стандартизованих векторів обчислимо за формулою:

де п — число спостережень i 1, n ; т — число пояснювальних змінних k 1, m ; X k — середня арифметична k-ї пояснювальної змінної; 2X k — дисперсія k-ї пояснювальної змінної.

Крок 2. Знаходження кореляційної матриці першого порядку

r X * X * ,

де X * — матриця нормалізованих пояснювальних змінних; X * — матриця, транспонована до матриці X * .

Крок 3. Визначення критерію «хі-квадрат»:

2 n 1 1 2m 5 ln r ,6

де |r| — визначник кореляційної матриці r.

Значення цього критерію порівнюється з табличним за таких умов: 12 m m 1 ступенів свободи і рівень значущості . Якщо

факт2 2табл , то в масиві незалежних змінних мультиколінеарність відсутня.

Крок 4. Визначення матриці, оберненої до r:

Cr 1 X * X * 1 .

29

Крок 5. Розрахунок F-критеріїв:

Fk ckk 1 nm m1 ,

де ckk — діагональні елементи матриці С. Фактичні значення критеріїв Fk порівнюються з табличними, коли маємо т – 1 і п – т

ступенів свободи і рівень значущості α. Якщо Fk факт Fтабл , від-

повідна k-та пояснююча змінна мультиколінеарна з іншими. Коефіцієнт детермінації для кожної змінної обчислюється так:

Крок 6. Знаходження частинних коефіцієнтів кореляції:

де сkj — елемент матриці С, що міститься в k-му рядку і j-му стовпці ( k 1, m , j l, m , ckk і cjj — діагональніелементи матриціС).

Крок 7. Розрахунок t-критеріїв:

tkj rkj n m .

Фактичні значення критеріїв tkj порівнюються з табличними, коли маємо n–m ступенів свободи і рівень значущості α. Якщо

tkj факт tтабл , між пояснюючими змінними Xk і Xj існує мультиколінеарність.

Дослідження наявності мультиколінеарності згідно з алгоритмом Фаррара—Глобера

Розглянемо застосування алгоритму Фаррара—Глобера для розв’язування конкретної задачі.

Приклад. Оскільки між пояснюючими змінними можлива тісна залежність (мультиколінеарність), метод 1МНК може дати зміщені кількісні характеристики взаємозв’язку. Тому дослідимо наявність мультиколінеарності між пояснюючими змінними, скориставшись алгоритмом Фаррара—Глобера.

30

Якщо виявлено мультиколінеарність, потрібно перетворити певним чином вихідну інформацію, щоб уникнути мультиколінеарності, а далі знову оцінити параметри моделі методом 1МНК.

Для дослідження мультиколінеарності наведемо статистичну сукупність спостережень (табл. 1).

Необхідно:

1. Обчислити середнє значення та стандартні відхилення.

31

2.Нормалізувати пояснюючі змінні.

3.Знайти кореляційнуматрицюr.

4.Визначити визначник матриці r (det r).

5.Обчислити критерій 2 .

6.Визначити F-критерії.

7.Визначити частинні коефіцієнти кореляції r.

8.Визначити t-критерії.

9.Зробити висновки щодо мультиколінеарності.

Розв’язання

Для розв’язання використаємо стандартні функції Excel. 1.Обчислимо середні значення та стандартні відхилення пояс-

нюючих змінних Х1, Х2, Х3.

Для цього в мастер функції знайдемо категорію «статистичні» і функції «СРЗНАЧ» та «СТАНДВІДХИЛ».

2.Нормалізуємо пояснюючі змінні.

Серед статистичних функцій знайдемо функцію «НОРМАЛІЗАЦІЯ» та нормалізуємо Х1, Х2, Х3:

32

Транспонуємо матрицю Х* (нормалізовану) в матрицю X *

3.Знайдемо кореляційну матрицю r.

33

Для знаходження кореляційної матриці r необхідно кожний

4.Знайдемо визначник матриці r (det r).

Для знаходження det r необхідно серед математичних функцій 6Excel знайти функцію «МОПРЕД». Скориставшись нею, дістанемо:

Оскільки det r наближається до 0, то в масиві пояснюючих змінних може існувати мультиколінеарність.

Прологарифмуємо визначник матриці r:

рівні значущості = 0,05.

34

Оскільки факт2 2крит , то в масиві пояснюючих змінних (про-

дуктивність праці, питомі інвестиції та фондовіддача) існує мультиколінеарність.

6.Обчислимо F-критерії.

Для визначення F-критеріїв необхідно знайти матрицю С, яка є оберненою до матриці r:

Безпосередньо F-критерії обчислюються за формулою:

FCkk 1 n m ,

m 1

де сkk — діагональний елемент матриці С.

Обчислені F-критерії порівнюються з табличним значенням (F = 5,29), коли є n – m (16) ступенів свободи та при рівні значущос-

ті = 0,05.

У розглядуваному випадку F1 > Fкрит, F2 > Fкрит, F3 > Fкрит. Це означає, що кожна з пояснюючих змінних мультиколінеарна з іншими.

7.Визначимо частинні коефіцієнти кореляції r.

Частинні коефіцієнти кореляції показують тісноту зв’язку між двома пояснюючими змінними за умови, що інші змінні не впливають на цей зв’язок і обчислюються за формулою:

35

Отже, спираючись на здобуті нами значення окремих (частинних) коефіцієнтів кореляції, можна сказати, що зв’язок між фондовіддачею та продуктивністю праці є тісним, якщо не враховувати вплив питомих інвестицій; зв’язок між фондовіддачею та питомими інвестиціями є слабким, якщо не брати до уваги вплив продуктивності праці. Зв’язок між продуктивністю праці та питомими інвестиціями також є слабким, якщо не враховувати фондовіддачу.

8.Визначимо t-критерії.

Ці критерії застосовуються для визначення мультиколінеарності двох пояснюючих змінних і обчислюються за формулою:

Обчислені t-критерії порівнюються з табличним значенням (t = 1,746), коли маємо n – m (16) ступенів свободи та при рівні значущості = 0,05.

Оскільки t12 > tкрит, то продуктивність праці та фондовіддача є відповідно мультиколінеарними між собою;

t13 > tкрит, тому відповідно продуктивність праці та питомі інвестиції є мультиколінеарними між собою;

t23 < tкрит, тому продуктивність праці та питомі інвестиції не є мультиколінеарними між собою.

Дослідження показали, що мультиколінеарність існує. Отже, для того, щоб можна було застосувати метод 1МНК для оцінювання параметрів моделі за цією інформацією, необхідно звільнитися від мультиколінеарності.

Покажемо, як побудувати економетричну модель методом, 1МНК на основі нормалізованих даних.

36

Застосуємо функцію «лінійн» для знаходження всіх оцінок параметрів нової моделі, стандартні похибки цих оцінок, коефіцієнт детермінації, дисперсію залишків і т. ін.

Обчислюємо €* — залежну змінну, підставивши пояснюючі

Y

змінні у відповідну формулу:

37

1,41952111

0,48869381

1,1444776

0,86943409

0,44922971

1,14361669

1,05250946

0,33221481

1,00017763

€0,04766457 . Y * 0,51951208

0,0605323

0,308979440,01684629

0,36303308

1,043002731,41001437

0,55828748

1,58022201

2,02547315

Щоб обчислити оцінки параметрів моделі в абсолютному виразі, скористаємося формулами:

Отже, економетрична модель має вигляд:

Завдання для самостійної роботи

Нехай на витрати обігу впливають: обсяг вантажообігу, грн., запаси з вантажообігу, грн., та трудомісткість одиниці вантажообігу, людино-год. Щоб побудувати економетричну модель цієї зале-

38