6семестр / ТАУ_ТР
.pdf
устойчивой при заданных начальных условиях. Это свидетельствует о том, что с увеличением значения параметра c расширяется отрезок, соответствующий равновесному состоянию системы. На Рис. 3.3 отображен фазовый портрет при λmin = 0,7 и начальных условиях
(x0 = 4, ν0 = 1), а на Рис. 3.4 – график процесса x(t).
Рис. 3.3. – Фазовый портрет при λmin = 0,7 и начальных условиях (x0 = 4, ν0 = 1).
Рис. 3.4. – График процесса x(t) при λmin = 0,7 и начальных условиях (x0 = 4, ν0 = 1).
Из графика Рис. 3.4 можно определить, что при λmin = 0,7 период автоколебаний системы равен 1,8 с, а амплитуда равна 14,9.
11
4. Определение амплитуды и периода автоколебаний при увеличении коэффициента k1 и значения λ относительно λmin
Увеличим коэффициент k1 передаточной функции W1(p) в 5 раз (k1 = 50) и λmin в 2 раза, с учетом фиксации параметра h = 10 для этого случая величина c = -4, что является не реализуемым. Поэтому увеличим λmin в 1,4 раза, с учетом фиксации параметра h = 10 для этого случая величина c = 0,2. При НУ (x0 = 4, ν0 = 1) построим фазовый портрет системы (Рис. 4.1) и график процесса x(t) – Рис. 4.2.
Рис. 4.1. – Фазовый портрет при 5k1 = 50 , 1,4λmin = 0,98 и НУ (x0 = 4, ν0 = 1).
Рис. 4.2. - График процесса x(t) при 5k1 = 50 , 1,4λmin = 0,98 и НУ (x0 = 4, ν0 = 1).
Из графика Рис. 3.6 видно, что в случае увеличения k1 в 5 раз, λmin в 1,4 раза и НУ (x0 = 4, ν0 = 1) период автоколебаний системы равен 1,8 с, а амплитуда равна 76.
12
5. Построение переходные процессы в системе при начальных условиях, соответствующих максимальному значению автоколебательного процесса и максимальному значению его скорости
Построим переходные процессы в системе с параметрами 5k1 = 50, 1,4λmin = 0,98 при начальных условиях, соответствующих:
а) максимальному значению автоколебательного процесса; б) максимальному значению скорости автоколебательного процесса.
Из Рис. 4.1 видно, что точка (x0 = 77, ν0 = 74) соответствует максимальному значению автоколебательного процесса, а точка (x0 = -37, ν0 = 262) – максимальному значению его скорости. Построим переходные процессы в системе при начальных условиях, соответствующих этим точкам, и параметрах системы из п.4 (Рис. 5.1 и Рис. 5.2).
Рис. 5.1. – Переходной процесс системы при НУ (x0 = 77, ν0 = 74).
Рис. 5.2. – Переходной процесс системы при НУ (x0 = -37, ν0 = 262).
13
Рисунки 5.1 и 5.2 показывают, что при начальных условиях (x0 = 77, ν0 = 74) и
(x0 = -37, ν0 = 262) в системе устанавливаются автоколебания. Период автоколебаний равен 1,8 с и амплитуда 76, как и в п.4.
6. Исследование автоколебаний в системе приближенным амплитудночастотным методом (методом Гольдфарба)
Суть метода Гольдфарба заключается в том, что при пересечении амплитуднофазовой характеристики линейной части модели Wлч (jω) и инверсной характеристики эквивалентного комплексного коэффициента усиления нелинейного элемента -z(A) в системе наблюдаются автоколебания. Уравнение автоколебаний записывается в виде:
Wлч (jω) = -z(A)
Пусть имеются две точки пересечения (A1 , ω2) и (A2 , ω1) (Рис. 6.1).
Если при пересечении инверсная характеристика нелинейного элемента при увеличении амплитуды выходит из области, ограниченной АФХ линейной части – автоколебания, описываемые данным решением, являются устойчивыми, что соответствует точке (A2 , ω1).
Если при пересечении инверсная характеристика нелинейного элемента при увеличении амплитуды входит и область, ограниченную АФХ линейной части – автоколебания, описываемые данным решением, являются неустойчивыми, что соответствует точке (A1 , ω2).
Если АФХ линейной части не пересекается с инверсной характеристикой эквивалентного комплексного коэффициента усиления (Рис. 6.2), то в системе не наблюдаются автоколебания.
Рис. 6.1. – АФХ системы в случае возникновения автоколебаний.
14
Рис. 6.2. – АФХ системы в случае отсутствие автоколебаний.
Приведенная структурная схема исходной системы к модели Гаммерштейна представлена на Рис. 6.3.
y(t) |
|
z(t) |
|
|
x(t) |
|
|
|
||
ϕ( y) |
|
|
~ |
|
|
|||||
|
|
|
|
W12 ( p) |
|
|
W30 |
( p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 6.3. – Приведенная структурная схема исходной системы к модели Гаммерштейна
Обозначенные на Рис. 6.3. передаточные функции вычисляются следующим образом:
7. Приближенный расчет автоколебательных режимов амплитудно-частотным методом
а) Имеется система с исходно заданными номером задания параметрами. Эквивалентный комплексный коэффициент усиления нелинейного элемента двухпозиционное реле с гистерезисом:
Wнэ(A) = a(A) + j×b(A)
15
Инверсная характеристика комплексного коэффициента нелинейного элемента имеет вид:
Определим комплексный коэффициент усиления линейной части модели:
Значения параметров: B = 2, c = 4, a = 8, b = 16, k1 = 10, k2 = 16, T0 = 1 c.
Для построения АФХ линейной части модели и инверсной характеристики эквивалентного комплексного коэффициента усиления нелинейного элемента воспользуемся
ППП MathCad. Зададим выражения линейной части модели и характеристики комплексного коэффициента усиления нелинейного элемента в рабочем поле MathCad, укажем требуемый диапазон значений и шаг расчетов для частоты ω и амплитуды A и построим график АФХ
(Рис. 7.1):
16
Рис. 7.1. – АФХ Wнэ(p) и [–z(A)] для случая а).
Из Рис. 7.1 видно, что имеется пересечение двух характеристик - это свидетельствует о наличии автоколебаний.
Для определения параметров автоколебаний отсчитаем значения параметров ω и А, соответствующих точке пересечения (Рис. 7.2):
Рис. 7.2. – Определение параметров автоколебания для случая а).
Из Рис. 7.2 видно, что точка пересечения двух характеристик соответствует амплитуде колебаний А = 52 и частоте ω = 4,6 Гц, откуда период автоколебаний получается равным 2π/4,6 = 1,37 c. Поскольку при пересечении характеристика [-z(A)] выходит из области, ограниченной Wнэ(jω), то автоколебания являются устойчивыми.
б) Система с параметрами п.3 при λ = λmin = 0,7.
17
Найдем эквивалентный комплексный коэффициент усиления нелинейного элемента трехпозиционное реле с гистерезисом:
Wнэ(A) = a(A) + j×b(A)
Инверсная характеристика комплексного коэффициента нелинейного элемента имеет
вид:
Значения параметров: B = 2, c = 2,9, a = 8, b = 16, k1 = 10, k2 = 16, T0 = 1 c, h = 10.
Зададим выражения линейной части модели и характеристики комплексного коэффициента усиления нелинейного элемента в рабочем поле MathCad, укажем требуемый диапазон значений и шаг расчетов для частоты ω и амплитуды A:
АФХ линейной части модели и инверсной характеристики комплексного коэффициента усиления нелинейного элемента будут иметь вид, представленный на Рис. 7.3.
18
Рис. 7.3. – АФХ Wнэ(p) и [–z(A)] для случая б).
Из Рис. 7.3 видно, что имеется пересечение двух характеристик. Это свидетельствует о наличии автоколебаний. Для определения параметров автоколебаний отсчитаем значения параметров ω и A, соответствующих точке пересечения (Рис. 7.4):
Рис. 7.4. – Определение параметров автоколебания для случая б).
Из Рис. 7.4 видно, что точка пересечения двух характеристик соответствует амплитуде колебаний А = 51 и частоте ω = 4,65 Гц, откуда период автоколебаний получается равным 2π/4,65 = 1,35 c. Поскольку при пересечении характеристика [-z(A)] выходит из области, ограниченной Wнэ(jω), то автоколебания являются устойчивыми.
19
в) Система с параметрами п.4 при 5k1 =50 , 1,4λmin = 0,98.
Найдем эквивалентный комплексный коэффициент усиления нелинейного элемента трехпозиционное реле с гистерезисом:
Wнэ(A) = a(A) + j×b(A)
Инверсная характеристика комплексного коэффициента нелинейного элемента имеет
вид:
Значения параметров: B = 2, c = 0,2, a = 8, b = 16, k1 = 50, k2 = 16, T0 = 1 c, h = 10.
Зададим выражения линейной части модели и характеристики комплексного коэффициента усиления нелинейного элемента в рабочем поле MathCad, укажем требуемый диапазон значений и шаг расчетов для частоты ω и амплитуды A:
АФХ линейной части модели и инверсной характеристики комплексного коэффициента усиления нелинейного элемента будут иметь вид, представленный на Рис. 7.5.
20