- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •2.1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
- •2.2. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
- •2.3. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
- •2.4. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
- •2.5. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
- •2.6. УПРУГИЕ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
- •3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
- •4. ТАБЛИЦА ВАРИАНТОВ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 2
- •5. ЗАДАЧИ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 2
- •ПРИЛОЖЕНИЕ 1
- •ЛИТЕРАТУРА
- •СОДЕРЖАНИЕ
2. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И ФОРМУЛЫ ПО РАЗДЕЛАМ КУРСА ФИЗИКИ
2.1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
Закон сохранения заряда в замкнутой системе:
∑qi = const .
i
Закон Кулона:
F = |
1 |
|
|
|
q1 |
|
|
|
q2 |
|
|
(в вакууме), F = |
1 |
|
|
|
|
q1 |
|
q2 |
|
|
(в среде), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4πε |
0 |
|
|
r |
2 |
|
|
4πε |
0 |
|
|
|
ε |
r |
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где F – сила взаимодействия двух точечных зарядов q1 и q2; r – расстояние между зарядами; ε0 = 8,85 10–12 Ф/м – электрическая постоянная; ε – диэлектрическая проницаемостьсреды.
Напряженность электростатического поля
E = F , q0
где F |
– сила, действующая на |
точечный |
положительный заряд |
q0, |
|||
помещенный в данную точку поля. |
|
|
|
|
|
|
|
Напряженность электростатического поля точечного заряда q на рас- |
|||||||
стоянии r от заряда |
|
|
|
|
|
|
|
|
E = |
1 |
|
q |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
4πε0 r2 |
|
|
|||
Поток вектора напряженности электрического поля dФE = EdS = EndS |
|||||||
(сквозь |
площадку dS), ФE = ∫EdS = ∫EndS |
(сквозь поверхность |
S), |
||||
|
S |
|
S |
|
|
||
ФE = ∫ EdS = ∫ EndS (сквозь замкнутую поверхность S), где dS = dS n – век- |
|||||||
S |
S |
|
|
|
|
|
|
тор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с нормалью n к площадке; Еn – проекция вектора E на нормаль n к площадке dS.
Принцип суперпозиции электростатических полей
n
E = ∑Ei ,
i=1
где Ei – напряженность поля, создаваемого зарядом qi.
9
Плотность зарядов (линейная, поверхностная, объемная):
τ = dq |
, |
σ = dq |
, |
ρ = |
dq |
. |
|
||||||
dl |
|
dS |
|
|
dV |
Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме:
– в случае дискретного распределения зарядов
|
|
1 |
n |
∫ EdS = ∫ EndS = |
|
∑qi ; |
|
|
|||
S |
S |
ε0 i=1 |
– в случае непрерывного распределения зарядов
∫ EdS = ∫ EndS = |
1 |
∫ρdV , |
|||
ε |
|
||||
S |
S |
0 V |
|||
|
n
где ∑qi – алгебраическая сумма зарядов, заключенных внутри замкнутой
i=1
поверхности S; n – число зарядов; ρ – объемная плотность зарядов. Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной беско-
нечной плоскостью
E = σ , 2ε0
где σ – поверхностная плотность заряда.
Напряженность поля, создаваемого двумя бесконечными параллельными разноименно заряженными плоскостями,
E = σ ,
ε0
где σ – поверхностная плотность заряда.
Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной сферической поверхностью радиусом R с общим зарядом q на расстоянии r от центра сферы,
E = 0 при r < R (внутри сферы);
E = 4πε1 0 rq2 при r ≥ R (вне сферы).
10
Напряженность поля, создаваемого объемно заряженным шаром радиусомR собщимзарядомq нарасстоянииr отцентрашара,
E = 4πε1 0 Rq3 r при r ≤ R (внутри шара); E = 4πε1 0 rq2 при r ≥ R (вне шара).
Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженным бесконечным цилиндром радиусом R на расстоянии r от оси цилиндра,
E = 0 при r < R (внутри цилиндра);
E = 2πε1 0 rτ при r ≥ R (вне цилиндра),
где τ – линейная плотность заряда.
Циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль замкнутого контура
∫ Edl = ∫ Eldl = 0 ,
L L
где El – проекция вектора E на направление элементарного перемещения dl . Интегрирование производится по любому замкнутому пути L.
Потенциальнаяэнергиязарядаq0 вполезарядаq нарасстоянииr отнего
U = 4πε1 0 qqr0 .
Потенциал электростатического поля
ϕ = U , ϕ = A∞ , q0 q0
где q0 – точечный положительный заряд, помещенный в данную точку поля; U – потенциальная энергия заряда q0; A∞ – работа перемещения заряда q0 из данной точки поля за его пределы.
Потенциал электростатического поля точечного заряда на расстоянии r от заряда
ϕ = 4πε1 0 qr .
11
Связьмеждунапряженностью ипотенциаломэлектростатическогополя
E = −gradϕ, |
|
∂ϕ |
i + |
∂ϕ |
j + |
∂ϕ |
|
, |
E = − |
∂x |
∂y |
∂z |
k |
||||
|
|
|
|
|
|
где i , j,k – единичные векторы координатных осей. Знак «минус» опреде-
ляется тем, что вектор E поля направлен в сторону убывания потенциала. В случае поля, обладающего центральной или осевой симметрией,
E = − ddrϕ .
Работа, совершаемая силами электрического поля при перемещении заряда q0 из точки 1 в точку 2,
|
2 |
2 |
A12 = q0 (ϕ1 −ϕ2 ), |
A12 = q0 ∫Edl = q0 ∫Eldl , |
|
|
1 |
1 |
где El – проекция вектора E на направление элементарного перемещения dl . Разность потенциалов между двумя точками 1 и 2 в электростати-
ческом поле
|
A12 |
2 |
2 |
|
ϕ1 −ϕ2 = |
= ∫Edl = ∫Eldl , |
|||
q |
||||
0 |
1 |
1 |
где A12 – работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда q0 из точки 1 в точку 2; Еl – проекция вектора E на на-
правление элементарного перемещения dl ; интегрирование производится вдоль любой линии, соединяющей начальную и конечную точки, так как работа сил электростатического поля не зависит от траектории перемещения.
Разность потенциалов между точками, находящимися на расстоянии х1 и х2 от равномерно заряженной бесконечной плоскости,
x2 |
x2 |
σ |
|
σ |
|
|
||
ϕ1 −ϕ2 = ∫ |
Edx = ∫ |
|
dx = |
|
(x2 |
− x1) , |
||
2ε0 |
2ε0 |
|||||||
x |
|
x |
|
|
|
|||
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
где σ – поверхностная плотность заряда.
Разность потенциалов между бесконечными разноименно заряженными плоскостями, расстояние между которыми равно d,
d |
d |
σ |
|
σ |
|
|||
ϕ1 −ϕ2 = ∫ |
Edx = ∫ |
dx = |
d. |
|||||
|
|
|||||||
0 |
0 |
ε |
0 |
|
ε |
0 |
|
|
|
|
|
|
12
Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r1 и r2 от центра равномерно заряженной сферической поверхности (объемно заряженного шара) радиусом R с общим зарядом q,
причем r1 > R, r2 > R, r2 >r1,
r2 |
r2 |
1 |
|
q |
|
q |
|
1 |
|
1 |
|
||
ϕ1 −ϕ2 = ∫ |
Edr = ∫ |
|
dr = |
|
− |
. |
|||||||
|
2 |
|
|
|
|||||||||
r |
|
r |
4πε0 r |
4πε0 r1 |
r2 |
||||||||
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r1 и r2 от центра объемно заряженного шара радиусом R с общим зарядом q,
причемr1 < R, r2 < R, r2 >r1,
r |
r |
q |
|
|
||||
ϕ1 −ϕ2 = ∫2 |
Edr = ∫2 |
1 |
|
q |
dr = |
|
(r22 − r12 ). |
|
|
3 |
8πε0R |
3 |
|||||
r1 |
r1 4πε0 R |
|
|
Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r1 и r2 от оси равномерно заряженного с линейной плотностью τ бесконечного цилиндра радиусом R, причем r1 > R, r2 > R, r2 >r1,
r2 |
τ |
r2 |
dr |
|
τ |
|
r |
||
ϕ1 −ϕ2 = ∫ |
Edr = |
|
∫ |
|
= |
|
ln |
2 |
. |
|
r |
2πε0 |
|
||||||
r |
|
2πε0 r |
|
|
r1 |
||||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Поляризованность диэлектрика
∑Pi
P = iV ,
где V – объем диэлектрика; pi – дипольный момент i-ой молекулы.
Связь между поляризованностью диэлектрика и напряженностью электростатического поля:
P =χε0E ,
где χ – диэлектрическая восприимчивость вещества; ε0 –электрическая постоянная.
Связь диэлектрической проницаемости ε с диэлектрической воспри-
имчивостью χ:
ε =1+ χ.
Связь между напряженностью Е поля в диэлектрике и напряженностью Е0 внешнего поля:
E = E − |
P |
, |
E = |
E0 |
, |
|
ε |
|
ε |
||||
0 |
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
где P – поляризованность, ε – диэлектрическая проницаемость.
13
Связь между векторами электрического смещения D , напряженности электростатического поля E и поляризованности P :
D = ε0εE, D =ε0E + P.
Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике:
n
∫ DdS = ∫ DndS = ∑qi ,
S |
S |
i=1 |
n
где ∑qi – алгебраическая сумма заключенных внутри замкнутой поверхно-
i=1
сти S свободных электрических зарядов; Dn – проекция вектора D на нормаль n к площадке dS , dS = dS n – вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с нормалью n к площадке.
Условия на границе раздела диэлектрических сред (проницаемость которых ε1 и ε2) при отсутствии на границе свободных зарядов:
E |
= E |
, |
D |
= D |
, |
D1τ |
= |
ε1 |
, |
E1n |
= ε2 , |
|
|
|
|||||||||
1τ |
2τ |
|
1n |
2n |
|
D2τ |
|
ε2 |
E2n ε1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
где Eτ , Dτ и En, Dn – тангенциальные и нормальные составляющие векто-
ров E и D соответственно.
Напряженность электростатического поля у поверхности проводника
E = σ ,
ε0ε
где σ – поверхностная плотность зарядов, ε – диэлектрическая проницаемость среды, окружающей проводник.
Электроемкость уединенного проводника
C = ϕq ,
где q – заряд, сообщенный проводнику; ϕ – потенциал проводника. Электроемкость шара радиусом R
C = 4πε0εR.
14
Электроемкость конденсатора
C = ϕ1 −q ϕ2 ,
где q – заряд, накопленный в конденсаторе; (ϕ1 – ϕ2) – разность потенциалов между его пластинами.
Электроемкость плоского конденсатора
C = ε0dεS ,
где S – площадь каждой пластины конденсатора; d – расстояние между пластинами.
Электроемкость сферического конденсатора
C = 4πε0ε r2r1−r2r1 ,
где r1 и r2 – радиусы концентрических сфер. Электроемкость цилиндрического конденсатора
C = 2πε0εl , ln(r2 / r1)
где l – длина пластин конденсатора; r1 и r2 – радиусы полых коаксиальных цилиндров.
Энергия уединенного заряженного проводника
W = Cϕ2 = qϕ = q2 , 2 2 2C
где C, q, ϕ – электроемкость, заряд и потенциал проводника соответственно. Энергия заряженного конденсатора
W = C(∆ϕ)2 = q∆ϕ = q2 , 2 2 2C
где q – заряд конденсатора, С – его электроемкость, ∆ϕ – разность потенциалов между пластинами.
Сила притяжения между двумя разноименно заряженными обкладками конденсатора
|
|
q2 |
|
σ2S |
|
ε |
εE2S |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
F |
= |
|
= |
|
= |
0 |
|
, |
|
2ε0εS |
2ε0ε |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
15