УМК Коровкин-Кулик

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования «Полоцкий государственный университет»

В. Н. КОРОВКИН, Н. А. КУЛИК

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Учебно-методический комплекс

для студентов строительных специальностей

Под общей редакцией Н. А. Кулик

Новополоцк

ПГУ

2009

ПРЕДИСЛОВИЕ

Механикой называют науку, изучающую механическое движение. Она является краеугольным камнем современной техники. Изучение механики в университете имеет определяющее значение для формирования навыков и мышления будущего инженера. Здесь студент впервые узнает, как результаты исследования представлять в удобных формулах и числовых расчетах и одно- временно указывать границы их применимости. Содержание курса учитывает характер основной специальности и органически связано с физикой, сопро- тивлением материалов, теорией механизмов и машин.

Развитие любой отрасли техники ставит перед механикой новые задачи, и как правило, решение этих задач способствует прогрессу не только в этой области, но и в достаточно удаленных от нее.

Программа курса теоретической механики должна отражать современное состояние науки и техники и при ее создании следует учитывать одну из основ- ных задач высшего образования – научить студента учиться, то есть на базе минимального количества материала студенту надо преподнести такие знания и привить такие навыки, которые позволят ему в дальнейшем всю необходимую дополнительную информацию находить и усваивать самостоятельно. Поэтому очень важным для изучения теоретической механики является наличие хороших учебников, учебных пособий и научно-популярных книг, в которых творчески отражаются новейшие достижения в области науки и техники.

Данное учебное пособие предназначено для студентов специальностей

1-70 02 01, 1-70 02 02, 1-70 04 02 и 1-70 04 03 и решает следующие задачи:

-комплексное представление учебно-методических материалов в едином методическом ключе;

-повышение уровня самостоятельной работы студентов при освое- нии теоретического курса;

-методическое руководство по выполнению различных заданий управляемой самостоятельной работы студентов;

-методические рекомендации по организации учебного процесса при изучении теоретической механики.

Учебно-методический комплекс включает в себя содержание теорети- ческого курса, краткий конспект лекций по основным разделам, задания и ме- тодические указания для выполнения различных форм управляемой само- стоятельной работы, методические рекомендации по эффективной организа- ции учебного процесса, словарь терминов на русском и английском языках, список рекомендуемой и имеющейся в библиотеке университета литературы.

Программа учебно-методического комплекса рассчитана на 180 – 195 часов аудиторных занятий, в том числе теоретический курс соответствует 90 – 105 часам.

В итоге изучения курса теоретической механики студент должен знать основные понятия и законы механики и вытекающие из этих законов методы изучения равновесия и движения материальной точки, твердого тела и меха- нической системы, уметь применять полученные знания для решения соот- ветствующих конкретных задач механики.

3

ТЕМАТИКА ЛЕКЦИОННОГО КУРСА

Введение. Предмет механики. Содержание разделов механики. Ме- ханическое движение как одна из форм движения материи. Механика и ее место среди естественных и технических наук. Механика как теоретиче- ская база ряда областей современной техники. Объективный характер за- конов механики. Значение механики для инженеров-строителей.

Статика твердого тела. Предмет статики. Основные понятия ста- тики: абсолютно твердое тело; сила, эквивалентные системы сил; равно- действующая и уравновешивающая сила, силы внешние и внутренние.

Аксиомы статики. Связи и реакции связей. Основные типы связей и их реакции.

Сходящихся система сил. Определение понятия, две основные зада- чи статики. Геометрический и аналитический способы сложения сил. Рав- нодействующая сходящейся системы сил. Условие равновесия сходящейся системы сил в геометрической и аналитической формах. Теорема о трех непараллельных силах.

Понятие о ферме. Определение усилий в стержнях фермы методом вырезания узлов.

Теория пар сил. Момент силы относительно центра. Алгебраический и векторный момент силы относительно центра. Момент силы относи- тельно оси. Зависимость между моментами силы относительно оси и цен- тра, находящегося на этой оси. Формулы для моментов силы относительно координатных осей. Понятие о паре сил. Алгебраический и векторный момент пары сил. Эквивалентность пар сил. Теорема о сумме моментов пары сил. Сложение пар сил. Условия равновесия пар сил.

Приведение произвольной системы сил к центру. Условия равнове-

сия. Приведение силы к данному центру. Теорема о приведении системы сил к данному центру. Главный вектор и главный момент произвольной системы сил. Условия и уравнения равновесия произвольной системы сил в векторной и аналитической формах.

Произвольная плоская система сил. Приведение плоской системы сил. Главный вектор и главный момент плоской системы сил. Частные случаи приведения плоской системы сил. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей силы. Аналитические условия равновесия произволь- ной плоской системы сил. Различные формы условий равновесия плоской системы сил. Равновесие плоской системы параллельных сил. Статически

4

определимые и неопределимые задачи. Распределенные силы. Равновесие системы тел. Определение усилий в стержнях плоской фермы способом сечений (метод Риттера).

Трение. Трение скольжения. Законы трения. Равновесие при наличии сил трения. Угол и конус трения. Область равновесия. Трение качения. Коэффициент трения качения.

Произвольная система сил. Главный вектор и главный момент про- странственной системы сил. Частные случаи приведения пространствен- ной системы сил. Аналитические условия равновесия пространственной системы сил. Случай параллельных сил.

Центр параллельных сил. Центр тяжести. Центр параллельных сил системы и его координаты. Центр тяжести твердого тела и его координа- ты. Центр тяжести твердого тела, объема, площади, линии. Способы на- хождения положения центра тяжести тел. Центры тяжести простейших тел (дуги окружности, треугольника, кругового сектора).

Введение в кинематику. Предмет кинематики. Пространство и время в классической механике. Относительность механического движения. Сис- тема отсчета. Задачи кинематики. Кинематика точки. Векторный способ задания движения точки. Траектория точки. Векторы скорости и ускоре- ния точки. Координатный способ задания движения точки. Определение скорости и ускорения точки по их проекциям на координатные оси. Есте- ственный способ задания движения точки. Естественный трехгранник. Ес- тественные оси координат. Скорость и ускорение точки в проекциях на ес- тественные оси координат. Касательное и нормальное ускорения точки. Некоторые частные случаи движения точки.

Кинематика твердого тела. Поступательное движение твердого те- ла. Теорема о траекториях, скоростях и ускорениях точек твердого тела при поступательном движении.

Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси. Уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Угловая скорость и угловое ускорение тела. Скорость и ускорение точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Векторы уг- ловой скорости и углового ускорения тела. Выражение скорости точки вращающегося тела, ее касательного и нормального ускорений в виде век- торных произведений. Частные случаи вращения твердого тела.

Плоскопараллельное или плоское движение твердого тела. Плоское движение твердого тела и движение плоской фигуры в ее плоскости. Урав-

5

нения движения плоской фигуры. Разложение движения плоской фигуры на поступательное вместе с полюсом и вращательное вокруг полюса. Не- зависимость угловой скорости и углового ускорения от выбора полюса. Теорема о скоростях точек плоской фигуры. Теорема о проекциях скоро- стей двух точек фигуры. Мгновенный центр скоростей плоской фигуры. Доказательство его существования и способы нахождения. Определение скоростей точек с помощью мгновенного центра скоростей. Теорема об ускорениях точек плоской фигуры. Понятие о мгновенном центре ускоре- ний. Доказательство существования, способы нахождения. Определение ускорений точек при помощи мгновенного центра ускорений.

Сложное движение точки. Абсолютное и относительное движение точки; переносное движение точки. Теорема о сложении скоростей. Диф- ференцирование единичного вектора. Теорема об ускорениях точки в сложном движении (теорема Кориолиса). Определение ускорения Корио- лиса; модуль, направление, физический смысл. Случай поступательного переносного движения.

Сложное движение твердого тела. Сложное движение твердого те-

ла. Сложение поступательных движений. Сложение мгновенных вращений тела вокруг параллельных и пересекающихся осей. Пара мгновенных вра- щений. Кинематический винт. Мгновенная винтовая ось.

Введение в динамику. Предмет динамики. Основные понятия и опре- деления; масса, материальная точка, сила. Законы классической механики. Инерциальная система отсчета. Задачи динамики.

Динамика точки. Дифференциальные уравнения движения свобод- ной и несвободной материальной точки в декартовых координатах. Есте- ственные уравнения движения материальной точки. Две основные задачи динамики точки. Решение первой задачи динамики. Вторая задача дина- мики точки. Интегрирование дифференциальных уравнений движения точки в простейших случаях. Постоянные интегрирования и их определе- ние по начальным условиям.

Введение в динамику механической системы. Механическая система.

Масса системы. Центр масс и его координаты. Классификация сил, дейст- вующих на систему; силы внешние и внутренние, заданные и реакции свя- зей. Свойства внутренних сил.

Геометрия масс. Моменты инерции твердого тела и системы отно- сительно плоскости, оси, полюса. Радиус инерции. Теорема о моментах инерции относительно параллельных осей. Осевые моменты инерции не- которых тел.

6

Общие теоремы динамики точки и системы. Теорема о движении центра масс. Дифференциальные уравнения движения механической сис- темы. Теорема о движении центра масс механической системы. Закон со- хранения движения центра масс. Примеры, иллюстрирующие закон сохра- нения движения центра масс.

Теорема об изменении количества движения. Две меры механиче-

ского движения: количество движения и кинетическая энергия. Элемен- тарный и полный импульсы силы за конечный промежуток времени. Тео- рема об изменении количества движения точки в дифференциальной и ко- нечной формах. Количество движения механической системы и его выра- жение через массу системы и скорость центра масс. Теорема об изменении количества движения системы в дифференциальной и конечной формах. Закон сохранения количества движения системы.

Теорема об изменении момента количества движения. Момент ко-

личества движения точки относительно центра и оси. Теорема об измене- нии момента количества движения материальной точки. Сохранение мо- мента количества движения материальной точки в случае центральной си- лы. Понятие о секторной скорости. Закон площадей.

Главный момент количества движения или кинетический момент механической системы относительно центра и оси. Кинетический момент тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Теорема об изменении ки- нетического момента системы относительно центра и оси. Закон сохране- ния кинетического момента механической системы.

Теорема об изменении кинетической энергии. Элементарная работа силы. Аналитическое выражение элементарной работы силы. Работа силы на конечном перемещении. Работа силы тяжести, упругости, тяготения. Мощность. Работа внутренних сил неизменяемой системы. Работа и мощ- ность сил, приложенных к твердому телу, вращающемуся вокруг непод- вижной оси. Кинетическая энергия точки и механической системы. Теоре- ма о кинетической энергии твердого тела. Вычисление кинетической энер- гии твердого тела в различных случаях его движения. Теорема об измене- нии кинетической энергии точки и механической энергии точки и механи- ческой системы в дифференциальной и конечной формах.

Динамика твердого тела. Дифференциальные уравнения поступа- тельного движения твердого тела. Дифференциальное уравнение враще- ния твердого тела вокруг неподвижной оси. Физический маятник. Диффе- ренциальные уравнения плоского движения твердого тела.

7

Принцип Даламбера для точки и механической системы. Сила инер-

ции материальной точки. Принцип Даламбера для материальной точки и механической системы. Главный вектор и главный момент сил инерции. Приведение сил инерции к центру. Определение динамических реакций с помощью принципа Даламбера при несвободном движении точки и меха- нической системы.

Элементы аналитической механики (принцип возможных переме-

щений). Связи и их уравнения. Классификация связей: голономные и него- лономные, стационарные и нестационарные, удерживающие и неудержи- вающие. Возможные и виртуальные перемещения системы. Число степе- ней свободы. Идеальные связи. Принцип возможных перемещений. При- менение принципа возможных перемещений к определению реакций свя- зей и к простейшим машинам. Общее уравнение динамики.

Уравнения Лагранжа II рода. Обобщенные координаты системы. Обобщенные силы и способы их вычисления. Случай сил, имеющих по- тенциал. Условия равновесия системы в обобщенных координатах. Диф- ференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах или уравнения Лагранжа II рода. Уравнения Лагранжа II рода для консер- вативных систем.

Малые колебания систем. Понятие об устойчивости равновесия; тео- рема Лагранжа – Дирихле. Малые колебания механической системы с од- ной степенью свободы около положения устойчивого равновесия; свобод- ные незатухающие колебания и их свойства; частота и период колебаний; амплитуда и начальная фаза колебаний точек и системы; свободные зату- хающие колебания при сопротивлении, пропорциональном скорости; пери- од и декремент этих колебаний, случай апериодического движения; вынуж- денные колебания при гармонической возмущающей силе и сопротивлении, пропорциональном скорости, коэффициент динамичности, резонанс.

Теория удара. Явление удара. Ударная сила и ударный импульс. Действие ударной силы на материальную точку. Теорема об изменении количества движения механической системы при ударе. Прямой цен- тральный удар тела о неподвижную поверхность. Упругий и неупругий удары. Коэффициент восстановления при ударе. Прямой центральный удар двух тел. Теорема Карно.

8

ВВЕДЕНИЕ

Механикой называют науку, изучающую механические движения. Все явления, наблюдаемые в материальном мире, как бы сложны они не были, представляют собой различные формы и свойства материи. Основ- ной формой существования материи является движение. Материя может переходить из одной формы в другую. В механике рассматриваются толь- ко такие формы материи, которые можно назвать вещественными, в отли- чие от таких материальных объектов, как, например, электрический заряд, электромагнитная волна и другие.

Всякое изменение материи называют движением. Движение может иметь различные виды. Одним из видов движения является механическое. Механическим движением называют перемещения вещественных форм материи в пространстве и во времени.

Теоретическая механика создавалась вместе с развитием всей куль- туры человечества. Многие законы и факты в области механики были из- вестны еще в древности, задолго до нашей эры, например, знаменитый за- кон Архимеда, и сейчас имеющий в технике большое значение. Однако знания той эпохи не были систематизированы, не составляли еще единой науки – механики.

Теоретическая механика имеет большое значение для всех разделов техники и естествознания и особенно – в авиации, космонавтике, машино- строении и приборостроении всех видов, автоматике, кибернетике и т.п. Изучая механические движения, происходящие в пространстве и во време- ни, теоретическая механика широко применяет математические методы исследования, абстракции, обобщения, формальной логики.

В основу каждого раздела механики положен ряд понятий и определений; принята система аксиом – важнейших положений, проверяемых на опыте; путем логических рассуждений сделаны соответствующие выводы. Эти выводы – теоремы – представляют собой правила для различных расчетов, необходимых при количественном изучении тех или иных механических движений. Теоретическая механика делится на три отдельные части: стати- ку, кинематику и динамику.

Статикой в механике обычно называют ту ее часть, которая занима- ется изучением законов равновесия материальных тел.

Статика, в свою очередь, включает в себя разделы – статика твердого тела и статика материальных систем (жидких, газообразных, упругих и др.).

Кинематика изучает чисто геометрические формы механических движений материи без выяснения условий и причин, вызывающих эти движения.

Динамика является наиболее широкой ветвью механики, изучающей движение в зависимости от физических факторов, обусловливающих его.

9