Тема 1.2. Системы линейных алгебраических уравнений (слау)
Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными имеет вид:
(1.2)
Совокупность чисел
,
которые, будучи подставленными в систему
(1.2) вместо неизвестных, обращают все
уравнения СЛАУ в числовые тождества,
называется решением системы.
Если система (1.2) имеет хотя бы одно решение, она называется совместной, в противном случае – несовместной.
Совместная система может обладать либо единственным решением, либо бесчисленным множеством решений.
Пусть А - матрица коэффициентов системы,
- вектор- столбец неизвестных,
-
вектор-столбец свободных членов. Тогда
в матричном виде система запишется в
виде
Если количество уравнений m равно
количеству неизвестных n, система имеет
квадратную матрицу А порядка n. Определитель
называется определителем системы.
Правило Крамера
Теорема 1.6.Если определитель системы отличен от нуля (т. е. r(A) = n), то система совместна и имеет единственное решение, которое определяется по формулам:
( j = 1, 2, ..., n ), (1.3)
где
есть определитель, полученный из
определителя системы
заменой j-го столбца столбцом свободных
членов. Формулы (1.3) называются формулами
Крамера.
Доказательство
Поскольку
,
матрица А коэффициентов системы
невырожденная и имеет обратную матрицу
А-1, причем А-1 является
единственной.
Умножим левую и правую части системы АX = B на А-1
слева. Получим А-1АX = А-1-B, откуда EX= А-1B и, окончательно,
X= А-1B (1.4)
Решение (1.4) – единственное решение СЛАУ в силу единственности существования обратной матрицы.
Запишем равенство (1.4) в координатной форме:
Выражение b1A1j + b2A2j
+ ...+ bnAnj есть разложение
определителя
по элементам j-го столбца (теорема
Лапласа).
Таким образом,
(j = 1, 2, ..., n).
Задача 1.6. Решить СЛАУ
Решение
Найдем определитель системы
, следовательно, система совместна и имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам Крамера. Вычислим вспомогательные определители:
Тогда решение СЛАУ
;
;
Матричный метод
Для систем с невырожденной квадратной матрицей коэффициентов системы довольно часто используют матричный метод.
Итак, пусть система уравнений заданная своей матричной формой записи:
.
В соответствии с условием задачи матрица есть невырожденной, тогда у нее существует обратная матрица , причем такая матрица будет единственной.
;
;
;
.
Последнее соотношение задает матричную форму решения систем линейных алгебраических уравнений размерностей с невырожденной матрицей коэффициентов .
Задача 1.7. Найти решение СЛАУ матричным методом
Решение
Вычислим определитель матрицы коэффициентов системы
Поскольку
,
то исходная система имеет единственное
решение.
На
следующем этапе необходимо найти
обратную матрицу
к матрице коэффициентов системы A.
Для этого найдем соответствующие алгебраические дополнения.
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Присоединенная матрица будет иметь вид
.
Обратная матрица определяется таким образом:
.
Непосредственно решение исходной системы найдем из соотношения:
.
Итак,
,
.
Проверка:
СЛАУ решена верно.