Квадратная матрица

Если в матрице порядки и равны, то она называется квадратной, а число называется ее порядком. Квадратная матрица имеет вид

.

Для квадратной матрицы вводят понятие главной и побочной диагоналей. Главной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, идущая из левого верхнего угла в правый нижний ее угол, побочной диагональю той же матрицы – диагональ, идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол.

Определение 1.8. Квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Определение 1.9. Диагональная матрица, у которой все элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, называется единичной и обозначается . Например,

.

С каждой квадратной матрицей связывают вполне определенную числовую характеристику, которая называется ее определителем или детерминантом.

Определитель квадратной матрицы

Рассмотрим квадратную матрицу произвольного порядка. Определитель (детерминант) матрицы обозначается или .

Определение 1.10. Определителем, соответствующим квадратной матрице - го порядка, называется число, полученное из элементов этой матрицы по следующим правилам:

– определитель - го порядка равен алгебраической сумме элементов матрицы;

– каждое слагаемое представляет собой произведение элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Сомножители располагаются таким образом, чтобы первым был элемент из первой строки, вторым - элемент из второй строки и т.д.;

– слагаемое берется со знаком плюс, если число инверсий в перестановке вторых индексов сомножителей четное, и со знаком минус – в противном случае.

Итак, по определению имеем:

В последней формуле суммирование распространяется на все перестановки , которые можно составить из чисел .

Рассмотрим некоторые частные случаи.

Пусть . В общем виде определитель второго порядка записывается следующим образом:

.

Членом такого определения будет произведение вида:

где – любая перестановка из чисел 1, 2. Возможных перестановок две: . В первом случае имеем инверсий , а во втором – одну . Следовательно, в первом случае четное число инверсий, а во втором – нечетное.

Следовательно,

.

Таким образом, определитель второго порядка, соответствующий квадратной матрице второго порядка, равен разности произведений элементов, стоящих на главной диагонали, и элементов, стоящих на побочной диагонали.

Пусть . Определитель третьего порядка имеет вид

.

Членами определителя третьего порядка являются произведения вида: где – перестановки из чисел . Таких возможных перестановок шесть:

Отметим, что первая группа перестановок имеет четное число инверсий, вторая – нечетное, поэтому:

Минор и алгебраическое дополнение

Пусть – определитель матрицы -го порядка.

Определение 1.11. Минором элемента определителя - го порядка называется определитель -го порядка, полученный из исходного определителя вычеркиванием -й строки и -го столбца, на пересечении которых стоит элемент .

Определение 1.12. Алгебраическое дополнение элемента определителя равно минору этого элемента , умноженному на , т.е.

.

Например, если задан определитель третьего порядка

, то

; .

В то же время

; .