Базисный минор матрицы

Определение 1.16. Базисным минором матрицы называется всякий, отличный от нуля минор этой матрицы, порядок которого равен рангу матрицы.

Теорема 1.2. (Теорема о базисном миноре). Базисные строки (базисные столбцы) матрицы линейно независимы.

Заметим, что строки (столбцы) матрицы линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы одну из них можно представить как линейную комбинацию остальных.

Теорема 1.3. Число линейно независимых строк матрицы равно числу линейно независимых столбцов матрицы и равно рангу матрицы.

Теорема 1.4. (Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя). Для того, чтобы определитель -го порядка был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы его строки (столбцы) были линейно зависимы.

Вычисление ранга матрицы, основанное на использовании его определения, является слишком громоздкой операцией, так как связано с вычислением большого числа миноров различных порядков.

На практике ранг матрицы находят с помощью элементарных преобразований.

Эквивалентность матриц

Определение 1.17. Две матрицы и называются эквивалентными, если их ранги равны, т.е. .

Если матрицы и эквивалентны, то это обозначается так:  .

Теорема 1.5. Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях.

То есть элементарные преобразования – это такие преобразования, которые не приводят к изменению ранга матрицы. К ним относятся:

– транспонирование матрицы,

– перестановка параллельных рядов;

– вычеркивание ряда, все элементы которого равны нулю;

– умножение всех элементов какого-либо ряда на число, отличное от нуля;

– добавление к элементам какого-либо ряда соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число .

Следствие теоремы 1.5. Если матрица получена из матрицы при помощи конечного числа элементарных преобразований, то матрицы и эквивалентны.

При вычислении ранга матрицы ее следует привести при помощи конечного числа элементарных преобразований к трапециевидной форме или к эквивалентной единичной матрице.

Определение 1.18. Трапециевидной будем называть такую форму представления матрицы, когда в окаймляющем миноре наибольшего порядка, отличном от нуля, все элементы, стоящие ниже диагональных, равны нулю.

Например:

Здесь , элементы матрицы обращаются в нуль. Тогда форма представления такой матрицы будет трапециевидной.

Как правило, матрицы к трапециевидной форме приводят при помощи алгоритма Гаусса. Идея алгоритма Гаусса состоит в том, что, умножая элементы первой строки матрицы на соответствующие множители, добиваются, чтобы все элементы первого столбца, расположенные ниже элемента , обратились в нуль. Затем, умножая элементы второго столбца на соответствующие множители, добиваются, чтобы все элементы второго столбца, расположенные ниже элемента , обратились в нуль. Далее аналогично.