Обратная матрица
Одно из важнейших свойств умножения
чисел состоит в том, что для каждого
числа
,
отличного от нуля, существует обратное
такое, что
.
Оказывается, что нечто подобное имеет
место и для матриц, причем роль условия
играет условие, состоящее в том, что
определитель матрицы
отличен от нуля.
Определение 1.13. Квадратная матрица
называется невырожденной, если ее
определитель не равен нулю
.
В противном случае
матрица называется вырожденной.
Определение 1.14. Матрица называется обратной по отношению к матрице , если выполняется соотношение:
.
Условие существования обратной матрицы сформулируем в виде теоремы.
Теорема 1.1. Для того, чтобы квадратная матрица имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.
Обратная матрица находится по следующей схеме:
1. Вычисляется определитель
исходной квадратной матрицы
-го
порядка.
2. Формируется матрица, составленная из
алгебраических дополнений элементов
исходной квадратной матрицы
.
Такая матрица называется союзной по
отношению к матрице
и обозначается
:
.
3. Транспонируют союзную матрицу,
определяя тем самым так называемую
присоединенную матрицу. Такая
матрица обозначается
и выглядит следующим образом:
.
4. Обратная матрица
по отношению к матрице
находится по формуле:
.
Задача 1.3. Дана матрица
.
Найти обратную матрицу по отношению к
заданной.
Вычислим определитель матрицы .
.
Матрица невырождена, следовательно, обратная матрица существует.
Найдем алгебраические дополнения элементов определителя.
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Формируем союзную матрицу
.
Определим присоединенную матрицу
.
Найдем обратную матрицу по отношению к матрице :
.
Ранг матрицы
Введем понятие минора матрицы. Рассмотрим некоторую матрицу :
.
Выделим в этой матрице
произвольных строк и
произвольных столбцов
.
Определитель
-го
порядка, составленный из элементов
матрицы
,
расположенных на пересечении выделенных
строк и столбцов, называется минором
-го
порядка матрицы
.
Среди миноров различных порядков матрицы есть равные нулю и отличные от нуля.
Определение 1.15. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы.
Для определения ранга матрицы следует рассматривать все ее миноры наименьшего порядка и, если хоть один из них отличен от нуля, переходить к вычислению миноров более высокого порядка, включающих (окаймляющих) отличный от нуля минор предыдущего порядка. Такой подход к определению ранга матрицы называется методом окаймления (или методом окаймляющих миноров).
Задача 1.4. Методом окаймляющих миноров определить ранг матрицы
.
Рассмотрим окаймление первого порядка,
например,
.
Затем перейдем к рассмотрению некоторого
окаймления второго порядка.
Например,
.
Наконец, проанализируем окаймление третьего порядка
.
Таким образом, наивысший порядок минора,
отличного от нуля, равен 2, следовательно,
.