Свойства определителей

Приведем ряд свойств, которыми обладает определитель -го порядка.

1. Свойство равноправности строк и столбцов.

При транспонировании матрицы величина ее определителя сохраняется, т.е. .

2. Свойство антисимметрии при перестановке двух строк (или двух столбцов).

Если в определителе поменять местами два параллельных ряда (две строки или два столбца) то его знак изменится на противоположный.

3. Линейное свойство определителя.

Если в определителе -го порядка некоторая -я строка является линейной комбинацией двух строк и с коэффициентами и , то

,

где - определитель, у которого -я строка равна , а все остальные такие же строки, как и у , а - определитель, у которого -я строка равна , а все остальные строки те же, что и у .

Следующие пять свойств являются логическим следствием трех основных свойств.

4. Общий множитель всех элементов некоторого ряда определителя можно вынести за знак определителя.

5. Если все элементы какого-либо ряда определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

6. Если все элементы некоторого ряда определителя пропорциональны соответствующим элементам параллельного ему ряда, то определитель равен нулю.

7. Если одна из строк определителя есть линейная комбинация других его строк, то определитель равен нулю.

8. Если к элементам какого-либо ряда определителя добавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на одно и то же число k, то значение определителя при этом не изменится.

9. Теорема ЛАПЛАСА (разложение определителя по элементам строки или столбца).

Определитель произвольного порядка равен сумме произведений элементов любого ряда на их алгебраические дополнения.

Например,

.

10. Свойство алгебраических дополнений параллельных рядов.

Сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ему ряда равна нулю. Например,

Практическое правило вычисление определителей

При вычислении определителей широко используются формулы разложения по строке или столбцу (теорема Лапласа), а также свойство, позволяющее, не изменяя величины определителя, преобразовать его к такому виду, когда какой-либо ряд содержит максимально возможное число нулей. Именно этот ряд рационально принять в качестве ряда для разложения по Лапласу. Такой подход к вычислению определителей называется правилом понижения порядка.

Задача 1.2. Вычислить определитель

В качестве ряда для разложения рационально использовать вторую строку, которая содержит два нулевых элемента. Для уменьшения объема последующих вычислений можно добиться большего числа нулей в этой строке. Работать будем со столбцами. Сложим соответствующие элементы второго и третьего столбцов и запишем результат на месте третьего столбца.

Используя свойство 8, добавим к элементам второго столбца соответствующие элементы четвертого столбца, умноженные на число 2. Получим

Далее разложим определитель по элементам второй строки.

.

Теперь в определителе четвертого порядка добьемся наибольшего числа нулей в третьей строке. Для этого умножим на элементы первой строки и сложим их с соответствующими элементами третьей строки.

.

Разложим определитель четвертого порядка по элементам третьей строки

.

В определителе третьего порядка добьемся наибольшего числа нулей во втором столбце. Будем работать со строками. Все элементы первой строки умножим на число и сложим с соответствующими элементами третьей строки

.

Применим теорему Лапласа, выбрав в качестве ряда для разложения второй столбец. Получим:

.

Наконец, вычисляя определитель второго порядка, окончательно имеем