Раздел 1. Линейная алгебра Тема 1.1. Матрицы. Действия над матрицами
Определение 1.1. Матрицей размерности
называется прямоугольная таблица из
чисел, содержащая
строк и
столбцов.
Согласно определению, матрица размерности имеет вид:
.
Числа
и
называются порядками матрицы. Числа
,
образующие матрицу, называются ее
элементами. Индексы
и
элемента
указывают соответственно на номера
строки и столбца, на пересечении которых
расположен этот элемент.
Матрицу можно записать сокращенно в виде
,
где
.
Определение 1.2. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.
Равенство матриц
Сравнивать можно только матрицы одинаковой размерности.
Определение 1.3. Две матрицы
и
называются равными, если они имеют
одинаковые порядки, а соответствующие
элементы равны между собой. Таким
образом,
,
если
для всех значений
.
Операции над матрицами
К операциям над матрицами относятся: сложение (вычитание) матриц, умножение матрицы на скаляр (число), умножение матриц.
1. Сложение (вычитание) матриц
Складывать (вычитать) можно только матрицы одной размерности.
Определение 1.4. Суммой матриц
и
называется матрица
того же порядка, элементы которой
определяются равенством
.
Аналогично определяется разность двух матриц.
Заметим, что операция сложения (вычитания) матриц обладает теми же свойствами, что и операция сложения (вычитания) вещественных чисел.
2. Умножение матрицы на число
Определение 1.5. Произведением
матрицы
на вещественное число
называется матрица
той же размерности, что и матрица А,
элементы которой равны
.
То есть, при умножении матрицы на число, на это число умножаются все элементы матрицы.
3. Умножение матриц
Определение 1.6. Произведением
матрицы
, имеющей порядки соответственно равные
и
,
на матрицу
, имеющую порядки соответственно равные
и
,
называется матрица
, имеющая порядки соответственно
и
,
элементы которой
определяются по формуле
(1.1)
Другими
словами, матрицу
можно умножить на матрицу
тогда и только тогда, когда число
столбцов матрицы
соответствует числу строк матрицы
.
Формула (1.1) дает правило вычисления
элементов матрицы-произведения,
называемое правилом "строка–столбец",
которое может быть сформулировано
следующим образом: элемент
матрицы
равен сумме попарных произведений
соответствующих элементов
-й
строки матрицы
и
-го
столбца матрицы
.
Задача 1.1. Найти произведение матриц , если последнее существует:
,
По правилу "строка–столбец" получим
Транспонирование матрицы
Определение 1.7. Транспонированием
матрицы называется замена строк этой
матрицы ее столбцами с сохранением их
номеров. Матрица, полученная таким
образом из матрицы
,
называется транспонированной
по отношению к матрице
и обозначается
.
Например, если
,
то
Может оказаться, что квадратная матрица
совпадает со своей транспонированной
матрицей, т.е.
.
В этом случае матрица
называется симметричной.