33.Задачи на движение в начальном курсе математики

Задача на движение включает три величины: скорость, время, расстояние, которые связаны пропорциональной зависимостью.

Различают простые и составные задачи на движение. Составные задачи на движение подразделяют на задачи на движение в одном направлении, задачи на сближение объектов, задачи на удаление объектов, задачи на движение по реке. Для их решения удобно записывать данные условия в виде таблицы (скорость – время – расстояние) и использовать схемы.

Подготовкой к решению задач на движение является обобщение представлений учащихся о движении как некотором процессе (анализ наблюдений за движением различных видов транспорта и пешеходов на экскурсии), введение понятия «скорость движения».

В процессе решения задач на движение формируется представление учащихся о некоторых средних скоростях движения пешехода, велосипедиста, теплохода, автомобиля и др., и представление о равномерном и неравномерном движении. Сначала рассматривают простые задачи на равномерное движение. Затем вводятся составные задачи на встречное движение объектов, на удаление объектов, на движение в одном направлении, на движение по реке. Кроме того, учащиеся работают над задачами на движение, которые по способу решения можно отнести к задачам на нахождение четвертого пропорционального, на нахождение неизвестного по двум разностям, на пропорциональное деление.

Закрепление осуществляется посредством включения в содержание уроков задач на различные виды движения и решения их различными способами с последующим отбором наиболее рационального из них.

Отдельное внимание уделим решению составных задач на встречное движение и на противоположное движение. На основе жизненных наблюдений выясняется и иллюстрируется смысл слов «двигаться навстречу друг другу», «в противоположных направлениях», «выехали одновременно из двух пунктов и встретились через…» и т.п. После наглядной инсценировки каждого из случаев с помощью учащихся целесообразно с постепенным усложнением научить детей изображать схему таких задач «в отрезках». Перед решением таких задач следует проиллюстрировать на схеме и в инсценировке, что «встречное движение» – тоже движение в «противоположных направлениях», что после встречи, если скорости тел не изменились, они будут «удаляться» друг от друга с той же скоростью, с какой «сближались». Поэтому скорость удаления тоже равна сумме скоростей движущихся тел.

В результате решения соответствующих простых задач ученики должны усвоить такие связи: если известны расстояния и время движения, то можно найти скорость действием деления; если известна скорость и время движения, можно узнать расстояние действием умножения; если известны расстояние и скорость, можно найти время движения действием деления.

Задачи, связанные с движением, т.е. задачи с величинами скорость, время, расстояние, рассматриваются в IV классе [1].

Анализ содержания составных арифметических задач на движение и процесса их решения позволил увидеть, что подготовительная работа к решению задач, связанных с движением, предусматривает обобщение представлений детей о движении, знакомство с новой величиной - скоростью, раскрытие связей между величинами скорость, время, расстояние.

С целью обобщения представлений детей о движении М.А. Бантова [1] считает целесообразным провести специальную экскурсию по наблюдению за движением транспорта, после чего осуществить наблюдение в условиях класса, где движение будут демонстрировать сами дети. Выполняя различные задания, дети подводятся к осознанию того, что скорость - это расстояние, которое проходит какое-либо тело за единицу времени, и что скорости различных тел отличаются. Наблюдая за движением в условиях класса, детям показывается, как выполняют чертежи: расстояние обозначается отрезком; место отправления, встречи, прибытия - точкой или чёрточкой; направление движения - стрелкой.

Раскрытие связей между величинами скорость, время, расстояние ведётся по той же методике, как и раскрытие связей между другими пропорциональными величинами. В результате этой работы дети должны усвоить такие связи: если известны расстояние и время движения, то можно найти скорость действием деления; если известны скорость и время движения, то можно найти расстояние действием умножения; если известны расстояние и скорость, то можно найти время действием деления.

Затем, опираясь на эти знания, дети будут решать составные арифметические задачи, в том числе задачи на нахождение четвёртого пропорционального, на пропорциональное деление, на нахождение неизвестных по двум разностям с величинами скорость, время, расстояние. Основным видом иллюстрации при поиске решения задач с данными величинами, по мнению М.А. Бантовой, должен быть чертёж, так как он помогает наиболее наглядно представить жизненную ситуацию, отражённую в задаче и установить связи между данными и искомым. На наш взгляд, в качестве иллюстрации содержания задачи, наряду с чертежом, можно использовать краткую запись в виде таблицы, т.к. она позволяет увидеть связи между данными и искомым.

Методика работы на этапе закрепления умения решать задачи с данными величинами строится аналогично ранее рассмотренным составным задачам.

В особую группу выделяются задачи на встречное движение и движение в противоположных направлениях (правильнее бы их было называть так: задачи на движение в противоположных направлениях в случае сближения и в случае удаления движущихся тел), которые также решаются в IV классе. Каждая из этих задач имеет три вида в зависимости от данных и искомого. I вид: даны скорость каждого из тел и время движения, искомое - расстояние. II вид: даны скорость каждого из тел и расстояние, искомое - время движения. III вид: даны расстояние, время движения и скорость одного из тел, искомое - скорость другого тела.

На подготовительном этапе к введению задач на встречное движение необходимо сформировать представление об одновременном движении двух тел: если два тела вышли одновременно навстречу друг другу, то до встречи они будут находиться в пути одинаковое время и при этом пройдут всё расстояние между пунктами, из которых вышли. С этой целью детям могут быть предложены следующие задания:

1) Из двух городов навстречу друг другу вышли два поезда и встретились через 4 часа. Сколько времени был в пути каждый поезд?

2) Из села в город вышел пешеход и в это время из города навстречу ему выехал велосипедист, который встретил пешехода через 25 мин. Сколько времени был в пути до встречи пешеход?

При ознакомлении с решением задач на встречное движение методисты считают целесообразным ввести на одном уроке все три вида задач, получая новые задачи путём преобразования данной в обратные. Такой приём, по их мнению, позволяет детям самостоятельно найти решение преобразованных задач.

Рассмотрим методику работы над конкретной задачей, предложенную М.А.Бантовой [1].

Учитель читает задачу: «Из двух посёлков навстречу друг другу одновременно выехали два велосипедиста и встретились через 2 ч. Один ехал со скоростью 15 км в час, а второй со скоростью 18 км в час. Найти расстояние между посёлками».

Выделяются данные, искомое. Затем под руководством учителя выполняется иллюстрация.

- Построим отрезок.

- Пусть это будет посёлок, из которого выехал первый велосипедист. (Обозначает римской цифрой «I».) А это посёлок, из которого выехал второй велосипедист. (Обозначает римской цифрой «II».) Обозначим направление и скорость каждого велосипедиста. Сколько времени был в пути каждый из них? (Обозначает на чертеже.) Обозначим место встречи. Вспомним, что нужно узнать? Обозначим расстояние вопросительным знаком.

На доске получается следующая иллюстрация:

15 км/ч 18 км/ч

I II

? км

Двое из вас будут велосипедистами. С какой скоростью ехал первый велосипедист? (15 км в час.) Это твоя скорость. (Даёт карточку, на которой написано число 15.) C какой скоростью ехал второй велосипедист? (18 км в час.) Это твоя скорость. (Даёт карточку с числом 18 второму ученику.) Сколько времени они будут двигаться до встречи? Начинайте двигаться. Прошёл час. (Дети ставят карточки на наборное полотно.) Расстояние, на которое сближаются велосипедисты за единицу времени, называют скоростью сближения. Насколько сблизились два велосипедиста за 1 час, скажите, не вычисляя. (За 1 час велосипедисты сблизились на 15 + 18 километров.) Прошёл второй час. (Дети ставят карточки.) Встретились ли велосипедисты? Почему? (Шли до встречи два часа.)

1 5 км/ч 18 км/ч

I II

15 15 18 18

? км

- Посмотрите внимательно на иллюстрацию задачи и попробуйте составить план её решения. Проговорите его соседу. Запишите вместе решение задачи по действиям с пояснениями на листах, которые я дала на каждую парту. Затем предложенные решения-проекты защищаются.

Возможны два способа решения задачи.

Первый способ:

1) 15•2=30 (км) - столько проехал первый велосипедист;

2) 18•2=36 (км)- столько проехал второй велосипедист;

3) 30 + 36 = 66 (км) - расстояние между посёлками.

Ответ: 66 км.

Второй способ:

1) 15 + 18 = 33 (км) - скорость сближения;

2) 33 • 2 = 66 (км) - расстояние между посёлками.

Ответ: 66 км.

Если дети не найдут второй способ решения, надо вновь проиллюстрировать: прошёл час - что произошло в расстоянии между велосипедистами? (Сблизились на 33 км.) Прошёл ещё час - ещё сблизились на 33 км, т.е. велосипедисты проехали два раза по 33 км.

Затем учитель изменяет текст задачи, используя такой же чертёж:

? ч

1 5 км/ч 18 км/ч

I II

66 км

По чертежу коллективно составляется задача, затем решается. Решение записывается по действиям с пояснениями (аналогично предыдущей).

Затем текст задачи изменяется ещё раз.

2 ч

15 км/ч ? км/ч

I II

66 км

Работа ведётся так же, как при решении предыдущих задач. На последующих уроках для обобщения способа решения включаются готовые задачи на встречное движение, при этом дети сами выполняют чертёж, выясняя предварительно, ближе к какому пункту произойдёт встреча. Как и при решении задач других типов следует выполнять различные творческие задания (см. п.6).

Аналогичным образом ведётся работа над задачами на движение в противоположных направлениях.