Добавил:

bondardo Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ижевский государственный технический университет им. М. Т. Калашникова

Предмет:

Алгебра и геометрия

Файл:

ИДЗ Рябушко РЕШЕНИЯ / ИДЗ 5.1-2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.12.2021

Размер:

187.01 Кб

Скачать

☆

ИДЗ 5.1 – Вариант 2

Найти указанные пределы

	x3	x 2 2x			03	02 2 0			0
1.2 lim										− неопределенность
1.2 lim			2	x			2	0		− неопределенность
x 0		x		x		0		0	0

В числителе и знаменателе вынесем x за скобки

Вычисляем предел:																	x x 2 x 2
lim			x3	x		2 2x							lim				x x 2 x 2			lim			x 2	x 2		02 0 2	2	2
lim				x	2	x							lim					x x 1		lim				x 1		0 1	1	2
x 0				x		x									x 0			x x 1			x 0			x 1		0 1	1
				2x		2			5x 10									2	5 1 10			2 5 10			3
2.2	lim			2x					5x 10							2 1			5 1 10			2 5 10			3
2.2								x		3		1							3				0		0
										3									3
	x 1																	1 1
						4x					3	7x
	lim					4x						7x
3.2	lim						3						2						− неопределенность
		x 2x										4x		5

Для раскрытия неопределенности разделим числитель и знаменатель на x3,

															4x		3	7x								4x			3				7x
															4x			7x								4x							7x						4
			4x				3	7x									x		3								x	3					x	3					4
							3
lim												lim										lim															lim

			2x	3		4x				2				2x		3		4x		2	5		2x		3					4x		2			5					4
x			2x			4x						5	x	2x				4x			5	x	2x							4x					5		x	2		4
																	x		3				x	3						x	3				x	3		2		x
																			3					3							3					3				x

		4		7
		4									4 0			4
											4 0			4	2
			4				5				2 0 0			2	2
	2		4				5				2 0 0			2
	2

					3x 4 2x 5
4.2 lim														− неопределенность
4.2 lim								2						− неопределенность
	x					2x			x 7

Для раскрытия неопределенности разделим числитель и знаменатель на x4,

тогда получим:

7
x	2

	5

	x	3

тогда получим:

										3x 4 2x 5					3x 4		2x		5				3	2			5
		4				5						2 x			x		x			x			3	x			x
lim 3x 2 2x						5		lim				2 x	4	lim	x	2	x	4		x	4	lim		x		3	x		4
													4			4		4			4					3			4
x 2x x 7								x 2x x 7						x 2x			x		7			x 2				1			7
																							x 2		x 3			x 4
												x 4			x 4		x 4			x 4			x 2		x 3			x 4
	3	2		5
	3						3 0 0		3
							3 0 0		3

	2		1		7		0 0 0				0

5.2

	3x		2	7x 2
lim
		4		2x 4
x x

 



 

− неопределенность

Для раскрытия неопределенности разделим числитель и знаменатель на x4, тогда получим:

														3x 2 7x 2									3x 2					7x			2
			3x 2 7x 2														x	4					4					x	4		x	4
lim												lim					x				lim			x				x			x
lim				x	4	2x 4						lim			x	4					lim			4			2x				4
x				x		2x 4							x		x		2x 4					x		x			2x				4
																	x 4							x 4		x 4				x 4
		3			7					2
												0
												0	0
	1				2				4			1	0
	1

6.2		lim					x 12						4 x				4 12					4 4							8		8
6.2										2							4		2			4 8
								x		2	2x		8						2	2					16 8 8
		x 4						x			2x		8							2					16 8 8

Знаменатель приравняем к 0, получим уравнение: x2 + 2x − 8 = 0

Решим квадратное уравнение

lim

x 2

x 3

x 4

x 1

x 3

x 4

	0		− неопределенность
			− неопределенность
	0

Находим дискриминант D, если D > 0, уравнение имеет два корня, если D = 0, уравнение имеет один корень, если D < 0 уравнение не имеет корней

D b2 4ac,		D 22	4 1 8 4 32 36
	b			2		2 6				2 6	8
x1,2		D	x1		36		4	2	x 2			4
	2a			2		2	2			2	2

Умножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное числителю

x 12

Вычисляем предел:

lim

x 12 4 x

lim

x 12

4 x

x 12

4 x

lim

x 12

x 2 x 4 x 12 4 x

x 2 x 4

x 4

lim

x 12 4 x

lim

2x 8

x 2 x

x 12

4 x

2 x 4 x

12 4 x

x 4

lim

2 x 4

lim

x 2 x

x 12

4 x

2 x 12

4 x

x 4

4 2

6 2 8

6 8

4 x
		2
	4 x

x 12			4 x

7.2

	x
lim
x x 1

2x 3

Второй замечательный предел.

	1	x
	1	e
lim 1		e
x	x

при x → ∞ основание

, а показатель степени x → ∞. Следовательно, имеем

неопределенность вида [1∞]. Представим основание в виде суммы

x 1 1

x 1

Вычисляем предел:

x 1

2x 3

x 1

lim

x x 1

x 1

2x 3

lim

x 1

Второй способ записи решения предела через замену переменной x на t (на выбор)

Вычисляем предел:

2x 3

1 t

2 t 1

lim

lim 1

x 1

lim 1

x 1

x t

1; x ; t

2t 2

lim

2x 1

lim

8.2

при x → ∞ основание

2x 1

, а показатель степени x → ∞. Следовательно, имеем [2∞].

x 1

Если предел основания степенной функции больше единицы, значит, предел равен

бесконечности

2x 1 x

1 x

2x 1

lim

x 1

	lim	sin 3x sin x	sin 3 0 sin 0		0 0	0
9.2	lim			0			− неопределенность
	x 0	5x	5	0	0	0

Для раскрытия неопределенностей, содержащих тригонометрические функции, используем

первый замечательный предел

lim

sin x

x 0

Согласно тригонометрическому тождеству:

sin 3x sin x 2sin

3x x

cos

3x x

2sin x cos 2x

Тогда, решаем предел:

sin 3x sin x

lim

2sin x cos 2x

lim

sin x

lim cos 2x

1 1

x 0

Соседние файлы в папке ИДЗ Рябушко РЕШЕНИЯ

#
20.12.2021217.2 Кб50ИДЗ 3.1-2.pdf
#
20.12.2021223.55 Кб52ИДЗ 3.2-2.pdf
#
20.12.2021187.01 Кб45ИДЗ 5.1-2.pdf