Добавил:

bondardo Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ижевский государственный технический университет им. М. Т. Калашникова

Предмет:

Алгебра и геометрия

Файл:

ИДЗ Рябушко РЕШЕНИЯ / ИДЗ 3.1-2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.12.2021

Размер:

217.2 Кб

Скачать

☆

ИДЗ 3.1 – Вариант 2

Даны четыре точки A1(x1, y1, z1), A2(x2, y2, z2), A3(x3, y3, z3), A4(x4, y4, z4)

Составить уравнения:

а) плоскости А1А2А3; б) прямой А1А2; в) прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1А2А3;

г) прямой А3N, параллельной прямой А1А2;

д) плоскости, проходящей через точку А4 перпендикулярно к прямой А1А2. Вычислить:

е) синус угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3;

ж) косинус угла между координатной плоскостью Oxy и плоскостью А1А2А3;

1.2 A1(3, −1, 2), A2(−1, 0, 1), A3(1, 7, 3), A4(8, 5, 8)

а) уравнение плоскости А1А2А3

Используя формулу уравнения плоскости по трем точкам

x x A			y yA			z zA
		1			1			1
x A	2	x A	yA	2	yA	zA	2	zA
	2	1		2	1		2	1
x A	3	x A	yA	3	yA	zA	3	zA
	3	1		3	1		3	1

(1) составляем уравнение плоскости А1А2А3

Подставляя координаты точек A1, A2, A3 в (1) получим

x 3	y 1	z 2		x 3	y 1	z 2
x 3	y 1	z 2		x 3	y 1	z 2
1 3	0 1	1 2	0	4	1	1	0
1 3	7 1	3 2		2	8	1

Раскрывая определитель третьего порядка по элементам первой строки, получим:

x 3 1	1 y 1	4	1	z 2	4	1	0
8	1	2	1		2	8
x 3 1 1 1 8 y 1 4 1 1 2 z 2 4 8 1 2 0
x 3 1 8 (y 1) 4 2 z 2 32 2 0
9 x 3 6(y 1) 30 z 2 0
9x 27 6y 6 30z 60 0

9x + 6y − 30z + 39 = 0 − уравнение плоскости А1А2А3

б) уравнение прямой А1А2

Учитывая уравнение прямой,

x x A			y yA
виде		1			1
		x A			yA
x A	2		yA	2
		1			1

проходящей через две точки, уравнение А1А2 можно записать в

z zA
		1	,
zA		zA
	2
		1

получаем:


x 3		y 1		z 2
		0 1		1 2
1 3
x 3	y 1		z 2		− уравнение прямой А1А2
4
		1		1

в) уравнение прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1А2А3

Из условия перпендикулярности прямой А4М и плоскости направляющего вектора s можно взять нормальный вектор плоскости А1А2А3.

А1А2А3 n k,

следует, что в качестве l, m 9, 6, 30

Тогда уравнение прямой А4М с учетом уравнения

виде

x 8		y 5	z 8
			30
9	6

x x k

A		y y
4
		l
		l

		z z
		m
		m

, запишется в

г) уравнение прямой А3N, параллельной прямой А1А2;

Составим уравнение прямой А3N, параллельной прямой А1А2 используя формулу

x x

y y

z z

- точка, через

где s = {m; n; p} − направляющий вектор искомой прямой; x A

; yA

;

которую проходит искомая прямая.

Так как прямая А3N параллельная прямой А1А2, то у них общий направляющий вектор

sA N sA A		2
3	1

4, 1,

1 , и уравнение прямой А3N, проходящей через точку A3(1, 7, 3),

имеет вид

											x 1				y 7				z 3
											4					1			1
											4					1			1
д) уравнение плоскости, проходящей через точку А4																						перпендикулярно к прямой А1А2.
Т.к. искомая плоскость проходящей через точку A4(8, 5, 8) перпендикулярна прямой A1A2, то
еѐ нормальным вектором будет
A A	2	x	A		x	A	, y	A		y	A	, z	A		z		A	1 3, 0 ( 1), 1 2 4,1, 1
1	2		A	2		A		A	2		A		A	2			A
				2		1			2		1			2			1
Всякий (не равный нулю) вектор, перпендикулярный к данной плоскости, называется еѐ
нормальным вектором. Уравнение																	B y yA				C z zA
											A x x A					4	B y yA			4	C z zA				4		0			(1)
																4				4					4				и имеющую нормальный
определяет плоскость, проходящую через точку																				A4 x A		4	, yA	4		, zA		4	и имеющую нормальный
																						4		4				4
вектор n A1A2						A, B, C .

Получаем искомое уравнение плоскости:

4 x 8 1 y 5 1 z 8 0

4x 32 y 5 z 8 0

4x y z 35 0

е) синус угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3

Учитывая уравнение прямой, проходящей через две точки, уравнение A1A4 можно записать в

	x x A			y yA			z zA
виде:			1			1			1	,
виде:	x A	4	x A	yA	4	yA	zA	4	zA	,
		4	1		4	1		4	1

тогда

x 3	y 1	z 2
8 3	5 1	8	2
8 3	5 1	8	2
x 3	y 1	z 2
5	6		6
5	6		6
				x x A	y yA	z zA
Получили каноническое уравнение прямой вида				1	1	1
Получили каноническое уравнение прямой вида				k	l	m
				k	l	m

Учитывая, 9x + 6y − 30z + 39 = 0 − уравнение плоскости А1А2А3 (Ax + By + Cz + D = 0)

Выпишем значения A = 9; B = 6; C = −30; k = 5; l = 6; m = 6

По формуле sin				Ak Bl Cm										вычисляем угол между прямой А1А4 и
По формуле sin														вычисляем угол между прямой А1А4 и
	A	2	B		2	C	2	k	2	l	2		m	2
	A		B			C		k		l			m
плоскостью А1А2А3
sin	9 5 6 6 ( 30) 6													45 36	180		99	0,315

																	31,89 9,85
	92 62 ( 30)2			52 62			62					81 36 900				25 36 36	31,89 9,85

arcsin 0,315 18

ж) косинус угла между координатной плоскостью Oxy и плоскостью А1А2А3;

Плоскость α задана уравнением A1x + B1y + C1z + D = 0 и ее вектор Плоскость β задана уравнением A2x + B2y + C2z + D = 0 и ее вектор Тогда согласно формуле угла φ между плоскостями

	n	n			A	A		2	B B			2	C C			2
сos					1			2			1	2			1	2
	n	n	A	2	B		2	C		2		A		2	B	2	C
				2			2			2				2		2
				1		1			1					2		2
				1		1			1					2		2

По условию:

вектор нормали координатной плоскости Oxy: nα = {0; 0; 1} вектор нормали плоскости А1А2А3: nβ = {9; 6; −30}

нормали nα = {A1; B1; C1} нормали nβ = {A2; B2; C2}

2 2

Находим косинус угла между плоскостью Oxy и плоскостью А1А2А3

сos	0 9 0 6 1 ( 30)	30	30	0,940
			31,89
	02 02 12 92 62 ( 30)2	1017

2. Решить следующие задачи

2.2 Составить уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка M1M2 перпендикулярно к этому отрезку, если M1(1, 5, 6), M2(−1, 7, 10).

Решение:

Найдем координаты отрезка M1M2

1 1, 7 5, 10 6 2, 2, 4

M M

, y

, z

Найдем середину отрезка M1M2.

x M

1 ( 1)

5 7

6 10

;

O 0; 6; 8

Составим уравнение плоскости проходящей через середину отрезка M1M2

перпендикулярно к этому отрезку

A x x

B y y

C z z

За направляющий вектор возьмем отрезок M1M2

n A, B, C 2, 2, 4

Искомое уравнение плоскости проходящей через середину отрезка M1M2

перпендикулярно к

этому отрезку

2 x 0 2 y 6 4 z 8 0

2x 2y 12 4z 32 0

2x 2y 4z 44 0

x y 2z 22 0

3. Решить следующие задачи

3.2 Доказать, что прямая					x 1		y 1		z
3.2 Доказать, что прямая					2		1		3
					2		1		3
x 2		y	z 4	лежит в этой плоскости
2		1	3	лежит в этой плоскости
2		1	3
	Решение:
Доказать, что прямая					x 1	y 1		z 3
Доказать, что прямая
					2		1		3

3	параллельна плоскости 2x + y – z = 0, а прямая

параллельна плоскости 2x + y – z = 0

Условие параллельности прямой и плоскости, если скалярное произведение равно нулю, то прямая параллельна плоскости

A l B m

C n

1 1

где направляющий вектор прямой

e l1; m1; n1 2; 1; 3

вектор нормали плоскости q A1; B1;C1 2; 1; 1

В итоге

2 2 1 ( 1) 1 3 4 1 3 0 что и требовалось доказать

прямая

x 2

z 4

лежит в этой плоскости 2x + y – z = 0

Условие

Ax1

By1

Cz1 0

− точка принадлежит плоскости

Al Bm Cn 0 − прямая и плоскость параллельны

где e l; m; n 2; 1; 3 ;

q A; B;C 2; 1; 1 ; точка

r 2; 0; 4

2 2



2 2



1 1



0 ( ( 1)

1) 4( 1)

0 − точка принадлежит плоскости3 0 - прямая и плоскость действительно параллельны

Соседние файлы в папке ИДЗ Рябушко РЕШЕНИЯ

#
20.12.2021217.2 Кб50ИДЗ 3.1-2.pdf
#
20.12.2021223.55 Кб52ИДЗ 3.2-2.pdf
#
20.12.2021187.01 Кб45ИДЗ 5.1-2.pdf

x 3	y 1	z 2		x 3	y 1	z 2
x 3	y 1	z 2		x 3	y 1	z 2
1 3	0 1	1 2	0	4	1	1	0
1 3	7 1	3 2		2	8	1

x 3	y 1	z 2		x 3	y 1	z 2
x 3	y 1	z 2		x 3	y 1	z 2
1 3	0 1	1 2	0	4	1	1	0
1 3	7 1	3 2		2	8	1

x 3	y 1	z 2		x 3	y 1	z 2
x 3	y 1	z 2		x 3	y 1	z 2
1 3	0 1	1 2	0	4	1	1	0
1 3	7 1	3 2		2	8	1