Лекція 6 (2)

Числові розв’язування задачі лінійного програмування(ЛП)

План:

1. Симплекс-алгоритм розв’язування задачі ЛП:

А)Початкова симплекс-таблиця;

Б)Правила утворення наступної симплекс-таблиці.

2.Умови застосування класичного симплекс-метода.

3.Дослідження задачі ЛП.

4.Метод штучного базису.

5.Елементи теорії задачі ЛП.

Симплекс-таблиця задачі ЛП

Стандартна форма задачі:

-2x₁+x₂≤2;

x₁-2x₂≤2;

x₁+x₂≤5;

x₁≥0;

x₂≥0.

Z=(-x₁+x₂)  min,

для обмежень:

Канонічна форма задачі:

Z= -x₁+x₂+0*x₃+0*x₄+0*x₅min

додаткові змінні

-2x₁+x₂+x₃=2;

x₁-2x₂+0*x₃+x₄=2;

x₁+x₂+0*x₃+0*x₄+x₅=5;

x_j ≥0, де j=1, 2, ... ,5.

Інша форма запису канонічної задачі ЛП:

= , де

Табличне відображення:

СБj	або xj		-1	1	0	0	0
0	x3	2	-2	1	1	0	0
0	x4	2	1	-2	0	1	0
0	x5	5	1	1	0	0	1
Індексна строка ↔∆j		0 ∆0	1 ∆1	-1 ∆2	0 ∆3	0 ∆4	0 ∆5

Перший базисний розв’язок:

= (x₁; x₂; x₃; x₄; x₅) ≡ (0; 0; 2; 2; 5),

мовою економіки - нічого не виробляється.

Таблиця

СBj	(xj)		-1	1	0	0	0
0	x3	2	-2	1	1	0	0
0	x4	2	1	-2	0	1	0
0	x5	5	1	1	0	0	1
Індексна строка ∆j		0 ∆0	1 ∆1	-1 ∆2	0 ∆3	0 ∆4	∆5

Першу колонку С_Bj складають коефіцієнти цільової функції біля базисних змінних.

Друга колонка є базисні змінні.

Третя колонка відповідає координатам (обмеженням ресурсів).

Наступні 5 колонок відповідають коефіцієнтам біля невідомих системи обмежень, причому над стовпцями стоять коефіцієнти функції мети.

Як заповнюється індексна строка?

Величина = * є значення лінійної форми для початкового опорного плану;

відповідно = * ,- є числові оцінки вільних змінних.

Застосовується симплекс-алгоритм.

Розв’язок або опорний план буде оптимальний тоді, коли :

• Для задачі ЛП на min усі оцінки недодатні, тобто від’ємні або

• Для задачі ЛП на max усі величини невід’ємні , тобто додатні або 0

Умови застосування класичного симплекс-метода

1. Задача ЛП записується в канонічній формі

2. Для матриці системи обмежень (m рядків, n стовпців)  {\displaystyle \operatorname {rang} A}rangA=m, тобто всі рядки лінійно незалежні

3. Координати вектора запасів додатні

4. Відомий початковий базисний розв’язок

5. Усі допустимі базисні розв’язки (опорні плани) є всевироджені (базисні змінні≠0)

Дослідження задачі ЛП2

Симплекс-методом одночасно досліджується розв’язувана задача:

1. Опорний план (розв’язок) єдиний; коли серед величин – симплекс-різниць оптимального плану нульовими є лише базисні;

2. Немає розв’язку, коли система обмежень несумісна, що з’ясовується в процесі пошуку початкового базисного розв’язку (опорного плану);

3. Якщо в симплекс-таблиці задачі ЛП на max для деякої величини усі елементи k-го стовпця недодатні, тобто розв’язку немає, бо цільова функція необмежена зверху (у випадку задачі ЛП на min має місце і елементи k-го стовпця від’ємні, цільова функція необмежена знизу)

4. Коли серед величин індексної строки нульовими є не тільки базисні, а також інша .

Альтернативний оптимум

Для задачі ЛП:

має місце симплекс-таблиця:

СБj	Базис змінних		1	1	0	0
			x1	x2	x3	x4
0 0	x3	2 12 0	1 4 -1	1 3 -1	1 0 0	0 1 0
	x4
	σj
1 0	x1	2 4 2	1 0 0	1 -1 0	1 -4 1	0 1 0
	x4
	σj
1 0	x2	2 6 2	1 1 0	1 0 0	1 -3 1	0 1 0
	x4
	σj

На 2-ій ітерації досягли оптимального розв’язку

Але серед величин нульовими є не тільки базисні також небазисної .

Утворюється ще одна симплекс – таблиця (третя, остання), вводячи в базис замість :

Довільна оцінка лінійна комбінація оптимальних розв'язків також буде розв'язком задачі, що записується:

, де

ЗАУВАЖЕННЯ! Інший вигляд формули обчислення коефіцієнтів індексної строки:

Метод штучного базису (М-задача)

Застосовується там, де початковий базис безпосередньо не встановлюється (в обмеженнях не виділяється одинична матриця)

Приклад 1:

Жодного одиничного вектора.

Вводяться штучні змінні : стільки їх, скільки рівнянь в обмеженнях задачі ЛП. Цим самим утворюється базис. Оскільки задача ЛП на мінімізація лінійної форми, то в ній штучні змінні присутні з коефіцієнтами M>0, М досить велике число (для задачі на max число М<0). Таким чином, будується розширена задача( М-задача):

;

;

x_j ≥0, де j=1, 2, ... ,7.

Вона розв’язується симплексним методом. Якщо в такому розвязку всі штучні змінні=0, то є оптимальний план. Якщо хоча б одна штучна змінна в отриманому розв’язку ≠0,то не існує розвязку( оптимального плану початкової задачі.)

Приклад 2: max (5 );

=3

=3; Xj≥0, j=1…4

Нема одиничних векторів. Через штучні змінні i утворюється М-задача:

;

x_j ≥0, де j=1, 2, ... ,6.

Базові змінні	СБj		5	3	4	-1	-M	-M
			x1	x2	x3	x4	x5	x6
x5	-M	3	1	3	2	2	1	0
x6	-M	3	2	2	1	1	0	1
	(m+1)	0	-5	-3	-4	1	0	0
	(m+2)	-6M	-3M	-5M	-3M	-3M	0	0

В М- задачі ідексна строка зображується рядками: в першому (m+1) записується вільні члени виразів

i ;

В другому рядку (m+2) записуються коефіцієнти з величинами M.

ЗАУВАЖЕННЯ! Поки не виключені з базису штучні змінні, критерієм оптимальності служитиме рядок (m+2) індексної строки.

Продовження таблиці

Базові змінні	СБj		5	3	4	-1	-M	-M
			x1	x2	x3	x4	x5	x6
x2 x6	3 -M (m+1) (m+2)	1 1 3 -M	1/3 4/3 -4 -4/3M	1 0 0 0	2/3 -1/3 -2 1/3M	2/3 -1/3 3 1/3M	1/3 -2/3 1 5/3M	0 1 0 0
x2 x1	3 5 (m+1) (m+2)	3/4 3/4 6 6	0 1 0 0	1 0 0 0	3/4 -1/4 -3 -3	3/4 -1/4 2 2	1/2 -1/2 -1 -1	-1/4 3/4 3 3
x3 x1	4 5	1 1 9	0 1 0	4/3 1/3 4	1 1 0	1 0 5	2/3 -1/3 1	-1/3 2/3 2

X₂

Теорема 1. Випукла лінійна комбінація кутових точок обмеженого многогранника умов (конуса К) не виходить за нього.

Приклад

Нехай

X₁

0

Вектори утворюють лінійну комбінацію і лежить в куту, який називається конусом К. При умові буде випукла лінійна комбінація, причому , і є (0,1): множині всіх випуклих комбінацій векторів і відповідає прямолінійний відрізок кінців цих векторів.

Якщо такими є вершини багатогранника, то кінцевий згадуваному відрізку відповідає ребро.

Теорема 2.

Extr лінійної форми досягається в кутовий точці конуса К. (ОДЗ)

Теорема 3. Якщо існує множина лінійно незалежних векторів таких, що виконується

Для , то точка є кутова для випуклої множини К розв’язків системи обмежень задачі ЛП.

Теорема 4. (обернена до теор.3). Якщо кутова точка множини К, то існують лінійно незалежні вектори такі, що має місце

для