§ 5.3 Методы Адамса.
В одношаговых методах, после того как найдено очередное значение , предыдущее значение отбрасывают и уже не используют в предыдущих вычислениях. В том случае, когда значение вычисляют с помощью k предыдущих значений , ,…, , метод называется k- шаговым. Наибольшее распространение получили k-шаговые методы Адамса.
Рассмотрим исходную задачу Коши:
при (5.1)
Введем равномерную сетку и проинтегрируем дифференциальное уравнение по отрезку :
(5.5)
Интеграл слева вычисляется без труда. Интеграл справа вычислить, вообще говоря, нельзя, так как в подинтегральную функцию входит неизвестная (искомая) функция y(t).
Основная идея построения методов Адамса состоит в следующем:
По известным вычисленным приближенным значениям решения , ,…, , вычислить значения функции в соответствующих точках: , ,…, , а затем выполнить аппроксимацию функции f(t,y)
какой-либо легко интегрируемой функцией. Далее вычислить интеграл, стоящий в правой части и получить таким образом расчетную формулу.
Выделяют экстраполяционные методы Адамса (явные) и интерполяционные методы (неявные).
При построении экстраполяционных методов подинтегральная функция интерполируется по точкам , ,…, , далее эта функция интегрируется на отрезке , то есть выполняется экстраполирование. При этом получается такая расчетная формула:
При построении интерполяционных методов подинтегральная функция
интерполируется по точкам , ,…, . При вычислении интегралов получается расчетная формула :
Так как неизвестное входит и в левую часть и в правую, то получается неявный метод.
Построим простейшие формулы методов Адамса на основе интерполяции многочленами 1-ой степени.
Экстраполяционный метод Адамса.
Функцию на отрезке заменим многочленом первой степени. Для этого используем точки и . Тогда получим следующее :
Подставим в равенство ():
Таким образом, получили расчетную формулу Адамса-Башфорта:
(5.6).
Заметим, что метод получился явный, двухшаговый. Он требует для начала двух стартовых точек , .
Интерполяционный метод Адамса.
Функцию заменим многочленом первой степени, но на отрезке . Для этого используем точки и . Тогда получим следующее приближение :
Подставим в равенство ():
Таким образом, получили расчетную формулу Адамса-Моултона:
(5.7).
Заметим, что метод получился неявный, одношаговый. Он требует для начала только одной стартовой точки .
Справедлива следующая теорема
ТЕОРЕМА(без доказательства). Пусть решение задачи Коши y(t) непрерывно дифференцируемо k раз на отрезке . Тогда k- шаговый метод Адамса-Башфорта и (k-1) – шаговый метод Адамса-Моултона имеют порядок аппроксимации равный k.
ПРИМЕР. Найдем порядок аппроксимации метода Адамса-Башфорта. Для этого запишем
формулу (5.6) в канонической форме и вычислим величину порядка аппроксимации, раскладывая соответствующие … по формуле Тейлора:
Получили метод 2-го порядка аппроксимации.
Справедливо также следующее утверждение.
УТВЕРЖДЕНИЕ. Пусть выполнено условие . Тогда если k-шаговый метод Адамаса имеет p-ый порядок аппроксимации и начальные значения , ,…, определяются с p-ым порядком точности, то метод сходится также с p-ым порядком точности.
Приведем расчетные формулы методов Адамса-Башфорта и Адамса-Моултона 3-го порядка точности :
Может показаться, что при наличии явных формул Адамса высокого порядка точности нет необходимости в использовании неявных формул. Однако, на практике явные методы Адамса используются очень редко, так как неявные методы обладают лучшими свойствами устойчивости и позволяют вести расчет с существенно большими шагами, нежели явные методы. Чтобы избежать решения уравнений, применяют методы прогноза и коррекции.
Для методов Адамса используют для прогноза явные формулы Адамса-Башфорта, а затем для коррекции- неявные методы Адамса-Моултона. Например, для методов 3-его порядка будем иметь:
Прогноз:
Коррекция:
ПРИМЕР. Найдем решение задачи
1) методом 2 -го порядка точности Адамса-Башфорта
Метод требует двух стартовых точек:
Так как метод двухшаговый требуется найти 2 стартовые точки:
=1000, а вычислим точно, так как нам известно точное решение .
Итак,
2) метод Адамса-Моултона:
Метод одношаговый, но неявный. Для данного примера расчетная формула будет достаточно простой, так как правая часть уравнения линейна по y. Преобразуем ее так:
,
, ,
Заметим, что точное значение решения имеет вид:
, , |
0 |
0.1 |
0.2 |
0.3 |
Точное решение |
1000 |
1002.0020013 |
1004.00801068 |
1006.01803605 |
Метод А-Б |
1000 |
1002.0020013 |
1004.00800734 |
1006.01802936 |
|
|
0 |
3.3х10^-6 |
6.7х10^-6 |
Метод А- М |
1000 |
1002.002002 |
1004.00801135 |
1006.01803338 |
|
|
6.7х10^-7 |
6.7х10^-7 |
2.7х10^-6 |